Theorem hsmexlem4 8859

Description: Lemma for hsmex 8862. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsmexlem4.x	|- X e. _V
hsmexlem4.h	|- H = ( rec ( ( z e. _V |-> (har ` ~P ( X X. z ) ) ) , (har ` ~P X ) ) |` om )
hsmexlem4.u	|- U = ( x e. _V |-> ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , x ) |` om ) )
hsmexlem4.s	|- S = { a e. U. ( R1 " On ) | A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X }
hsmexlem4.o	|- O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem4	|- ( ( c e. om /\ d e. S ) -> dom O e. ( H ` c ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, H   S, c, d   U, c, d   a, b, z, X   x, a, y   b, c, d, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, a, b)   U( x, y, z, a, b)   H( x, y, z, b)   O( x, y, z, a, b, c, d)   X( x, y, c, d)

Proof of Theorem hsmexlem4

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsmexlem4.o	. . . . . . 7 |- O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) )
2		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( c = (/) -> ( ( U ` d ) ` c ) = ( ( U ` d ) ` (/) ) )
3	2	imaeq2d 5168	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) )
4		oieq2 8028	. . . . . . . 8 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
6	1, 5	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
7	6	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( c = (/) -> dom O = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
8		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( H ` c ) = ( H ` (/) ) )
9	7, 8	eleq12d 2523	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( dom O e. ( H ` c ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) ) ) )
10	9	ralbidv 2827	. . 3 |- ( c = (/) -> ( A. d e. S dom O e. ( H ` c ) <-> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) ) ) )
11		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( c = e -> ( ( U ` d ) ` c ) = ( ( U ` d ) ` e ) )
12	11	imaeq2d 5168	. . . . . . . 8 |- ( c = e -> ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) )
13		oieq2 8028	. . . . . . . 8 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c = e -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
15	1, 14	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( c = e -> O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
16	15	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( c = e -> dom O = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
17		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( c = e -> ( H ` c ) = ( H ` e ) )
18	16, 17	eleq12d 2523	. . . 4 |- ( c = e -> ( dom O e. ( H ` c ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
19	18	ralbidv 2827	. . 3 |- ( c = e -> ( A. d e. S dom O e. ( H ` c ) <-> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
20		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( c = suc e -> ( ( U ` d ) ` c ) = ( ( U ` d ) ` suc e ) )
21	20	imaeq2d 5168	. . . . . . . 8 |- ( c = suc e -> ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) )
22		oieq2 8028	. . . . . . . 8 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c = suc e -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
24	1, 23	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( c = suc e -> O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
25	24	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( c = suc e -> dom O = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
26		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( c = suc e -> ( H ` c ) = ( H ` suc e ) )
27	25, 26	eleq12d 2523	. . . 4 |- ( c = suc e -> ( dom O e. ( H ` c ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
28	27	ralbidv 2827	. . 3 |- ( c = suc e -> ( A. d e. S dom O e. ( H ` c ) <-> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
29		imassrn 5179	. . . . . . 7 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) C_ ran rank
30		rankf 8265	. . . . . . . 8 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
31		frn 5735	. . . . . . . 8 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> ran rank C_ On )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran rank C_ On
33	29, 32	sstri 3441	. . . . . 6 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) C_ On
34		vex 3048	. . . . . . . . 9 |- d e. _V
35		hsmexlem4.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( x e. _V |-> ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , x ) |` om ) )
36	35	ituni0 8848	. . . . . . . . 9 |- ( d e. _V -> ( ( U ` d ) ` (/) ) = d )
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( U ` d ) ` (/) ) = d
38	37	imaeq2i 5166	. . . . . . 7 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) = ( rank " d )
39		ffun 5731	. . . . . . . . . 10 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Fun rank
41		wdomimag 8102	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun rank /\ d e. _V ) -> ( rank " d ) ~<_* d )
42	40, 34, 41	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- ( rank " d ) ~<_* d
43		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = d -> { a } = { d } )
44	43	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( TC ` { a } ) = ( TC ` { d } ) )
45	44	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X <-> A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X ) )
46		hsmexlem4.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = { a e. U. ( R1 " On ) | A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X }
47	45, 46	elrab2 3198	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. S <-> ( d e. U. ( R1 " On ) /\ A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X ) )
48	47	simprbi 466	. . . . . . . . 9 |- ( d e. S -> A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X )
49		snex 4641	. . . . . . . . . . . 12 |- { d } e. _V
50		tcid 8223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { d } e. _V -> { d } C_ ( TC ` { d } ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- { d } C_ ( TC ` { d } )
52		ssnid 3997	. . . . . . . . . . 11 |- d e. { d }
53	51, 52	sselii 3429	. . . . . . . . . 10 |- d e. ( TC ` { d } )
54		breq1 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( b ~<_ X <-> d ~<_ X ) )
55	54	rspcv 3146	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( TC ` { d } ) -> ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> d ~<_ X ) )
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> d ~<_ X )
57		domwdom 8089	. . . . . . . . 9 |- ( d ~<_ X -> d ~<_* X )
58	48, 56, 57	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( d e. S -> d ~<_* X )
59		wdomtr 8090	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rank " d ) ~<_* d /\ d ~<_* X ) -> ( rank " d ) ~<_* X )
60	42, 58, 59	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( d e. S -> ( rank " d ) ~<_* X )
61	38, 60	syl5eqbr 4436	. . . . . 6 |- ( d e. S -> ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ~<_* X )
62		eqid 2451	. . . . . . 7 |- OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) )
63	62	hsmexlem1 8856	. . . . . 6 |- ( ( ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) C_ On /\ ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ~<_* X ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. (har ` ~P X ) )
64	33, 61, 63	sylancr 669	. . . . 5 |- ( d e. S -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. (har ` ~P X ) )
65		hsmexlem4.h	. . . . . 6 |- H = ( rec ( ( z e. _V |-> (har ` ~P ( X X. z ) ) ) , (har ` ~P X ) ) |` om )
66	65	hsmexlem7 8853	. . . . 5 |- ( H ` (/) ) = (har ` ~P X )
67	64, 66	syl6eleqr 2540	. . . 4 |- ( d e. S -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) ) )
68	67	rgen 2747	. . 3 |- A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) )
69		nfra1 2769	. . . . . 6 |- F/ d A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e )
70		nfv 1761	. . . . . 6 |- F/ d e e. om
71	69, 70	nfan 2011	. . . . 5 |- F/ d ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ e e. om )
72	35	ituniiun 8852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. _V -> ( ( U ` d ) ` suc e ) = U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e ) )
73	34, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U ` d ) ` suc e ) = U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e )
74	73	imaeq2i 5166	. . . . . . . . . . 11 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) = ( rank " U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e ) )
75		imaiun 6150	. . . . . . . . . . 11 |- ( rank " U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e ) ) = U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) )
76	74, 75	eqtri 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) = U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) )
77		oieq2 8028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) = U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) = OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) = OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
79	78	dmeqi 5036	. . . . . . . 8 |- dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) = dom OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
80	58	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> d ~<_* X )
81	65	hsmexlem9 8855	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. om -> ( H ` e ) e. On )
82	81	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> ( H ` e ) e. On )
83		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { a e. U. ( R1 " On ) | A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X } C_ U. ( R1 " On )
84	46, 83	eqsstri 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S C_ U. ( R1 " On )
85	84	sseli 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. S -> d e. U. ( R1 " On ) )
86		r1elssi 8276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. U. ( R1 " On ) -> d C_ U. ( R1 " On ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. S -> d C_ U. ( R1 " On ) )
88	87	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. S /\ f e. d ) -> f e. U. ( R1 " On ) )
89		snssi 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. d -> { f } C_ d )
90	34	tcss 8228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { f } C_ d -> ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` d ) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. d -> ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` d ) )
92	49	tcel 8229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d e. { d } -> ( TC ` d ) C_ ( TC ` { d } ) )
93	52, 92	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. d -> ( TC ` d ) C_ ( TC ` { d } ) )
94	91, 93	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. d -> ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` { d } ) )
95		ssralv 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` { d } ) -> ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. d -> ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
97	48, 96	mpan9 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. S /\ f e. d ) -> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X )
98		sneq 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = f -> { a } = { f } )
99	98	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = f -> ( TC ` { a } ) = ( TC ` { f } ) )
100	99	raleqdv 2993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = f -> ( A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X <-> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
101	100, 46	elrab2 3198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. S <-> ( f e. U. ( R1 " On ) /\ A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
102	88, 97, 101	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( d e. S /\ f e. d ) -> f e. S )
103	102	adantll 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. om /\ d e. S ) /\ f e. d ) -> f e. S )
104	103	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> f e. S )
105		simpll 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) )
106		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = f -> ( U ` d ) = ( U ` f ) )
107	106	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = f -> ( ( U ` d ) ` e ) = ( ( U ` f ) ` e ) )
108	107	imaeq2d 5168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = f -> ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) = ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
109		oieq2 8028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) = ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = f -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
111	110	dmeqd 5037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = f -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
112	111	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = f -> ( dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
113	112	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. S -> ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
114	104, 105, 113	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) )
115		imassrn 5179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) C_ ran rank
116	115, 32	sstri 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) C_ On
117		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U ` f ) ` e ) e. _V
118	117	funimaex 5661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun rank -> ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. _V )
119	40, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. _V
120	119	elpw 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On <-> ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) C_ On )
121	116, 120	mpbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On
122	114, 121	jctil 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On /\ dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
123	122	ralrimiva 2802	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> A. f e. d ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On /\ dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
124		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
125		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
126	124, 125	hsmexlem3 8858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d ~<_* X /\ ( H ` e ) e. On ) /\ A. f e. d ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On /\ dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) ) -> dom OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
127	80, 82, 123, 126	syl21anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> dom OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
128	79, 127	syl5eqel 2533	. . . . . . 7 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
129	65	hsmexlem8 8854	. . . . . . . 8 |- ( e e. om -> ( H ` suc e ) = (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
130	129	ad2antrl 734	. . . . . . 7 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> ( H ` suc e ) = (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
131	128, 130	eleqtrrd 2532	. . . . . 6 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) )
132	131	expr 620	. . . . 5 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ e e. om ) -> ( d e. S -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
133	71, 132	ralrimi 2788	. . . 4 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ e e. om ) -> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) )
134	133	expcom 437	. . 3 |- ( e e. om -> ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) -> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
135	10, 19, 28, 68, 134	finds1 6722	. 2 |- ( c e. om -> A. d e. S dom O e. ( H ` c ) )
136	135	r19.21bi 2757	1 |- ( ( c e. om /\ d e. S ) -> dom O e. ( H ` c ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   _E cep 4743   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   Oncon0 5423   suc csuc 5425   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582   omcom 6692   reccrdg 7127   ~<_ cdom 7567  OrdIsocoi 8024  harchar 8071   ~<_^* cwdom 8072   TCctc 8220   R1cr1 8233   rankcrnk 8234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-smo 7065  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-oi 8025  df-har 8073  df-wdom 8074  df-tc 8221  df-r1 8235  df-rank 8236

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8860