Theorem hsmexlem4 8857

Description: Lemma for hsmex 8860. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hsmexlem4.x	|- X e. _V
hsmexlem4.h	|- H = ( rec ( ( z e. _V |-> (har ` ~P ( X X. z ) ) ) , (har ` ~P X ) ) |` om )
hsmexlem4.u	|- U = ( x e. _V |-> ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , x ) |` om ) )
hsmexlem4.s	|- S = { a e. U. ( R1 " On ) | A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X }
hsmexlem4.o	|- O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hsmexlem4	|- ( ( c e. om /\ d e. S ) -> dom O e. ( H ` c ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, H   S, c, d   U, c, d   a, b, z, X   x, a, y   b, c, d, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, a, b)   U( x, y, z, a, b)   H( x, y, z, b)   O( x, y, z, a, b, c, d)   X( x, y, c, d)

Proof of Theorem hsmexlem4

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hsmexlem4.o	. . . . . . 7 |- O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) )
2		fveq2 5881	. . . . . . . . 9 |- ( c = (/) -> ( ( U ` d ) ` c ) = ( ( U ` d ) ` (/) ) )
3	2	imaeq2d 5188	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) )
4		oieq2 8028	. . . . . . . 8 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
6	1, 5	syl5eq 2482	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
7	6	dmeqd 5057	. . . . 5 |- ( c = (/) -> dom O = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) )
8		fveq2 5881	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( H ` c ) = ( H ` (/) ) )
9	7, 8	eleq12d 2511	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( dom O e. ( H ` c ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) ) ) )
10	9	ralbidv 2871	. . 3 |- ( c = (/) -> ( A. d e. S dom O e. ( H ` c ) <-> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) ) ) )
11		fveq2 5881	. . . . . . . . 9 |- ( c = e -> ( ( U ` d ) ` c ) = ( ( U ` d ) ` e ) )
12	11	imaeq2d 5188	. . . . . . . 8 |- ( c = e -> ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) )
13		oieq2 8028	. . . . . . . 8 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c = e -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
15	1, 14	syl5eq 2482	. . . . . 6 |- ( c = e -> O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
16	15	dmeqd 5057	. . . . 5 |- ( c = e -> dom O = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) )
17		fveq2 5881	. . . . 5 |- ( c = e -> ( H ` c ) = ( H ` e ) )
18	16, 17	eleq12d 2511	. . . 4 |- ( c = e -> ( dom O e. ( H ` c ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
19	18	ralbidv 2871	. . 3 |- ( c = e -> ( A. d e. S dom O e. ( H ` c ) <-> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
20		fveq2 5881	. . . . . . . . 9 |- ( c = suc e -> ( ( U ` d ) ` c ) = ( ( U ` d ) ` suc e ) )
21	20	imaeq2d 5188	. . . . . . . 8 |- ( c = suc e -> ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) )
22		oieq2 8028	. . . . . . . 8 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) = ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c = suc e -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` c ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
24	1, 23	syl5eq 2482	. . . . . 6 |- ( c = suc e -> O = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
25	24	dmeqd 5057	. . . . 5 |- ( c = suc e -> dom O = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) )
26		fveq2 5881	. . . . 5 |- ( c = suc e -> ( H ` c ) = ( H ` suc e ) )
27	25, 26	eleq12d 2511	. . . 4 |- ( c = suc e -> ( dom O e. ( H ` c ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
28	27	ralbidv 2871	. . 3 |- ( c = suc e -> ( A. d e. S dom O e. ( H ` c ) <-> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
29		imassrn 5199	. . . . . . 7 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) C_ ran rank
30		rankf 8264	. . . . . . . 8 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
31		frn 5752	. . . . . . . 8 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> ran rank C_ On )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran rank C_ On
33	29, 32	sstri 3479	. . . . . 6 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) C_ On
34		vex 3090	. . . . . . . . 9 |- d e. _V
35		hsmexlem4.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( x e. _V |-> ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , x ) |` om ) )
36	35	ituni0 8846	. . . . . . . . 9 |- ( d e. _V -> ( ( U ` d ) ` (/) ) = d )
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( U ` d ) ` (/) ) = d
38	37	imaeq2i 5186	. . . . . . 7 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) = ( rank " d )
39		ffun 5748	. . . . . . . . . 10 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Fun rank
41		wdomimag 8102	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun rank /\ d e. _V ) -> ( rank " d ) ~<_* d )
42	40, 34, 41	mp2an 676	. . . . . . . 8 |- ( rank " d ) ~<_* d
43		sneq 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = d -> { a } = { d } )
44	43	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( TC ` { a } ) = ( TC ` { d } ) )
45	44	raleqdv 3038	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X <-> A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X ) )
46		hsmexlem4.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = { a e. U. ( R1 " On ) | A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X }
47	45, 46	elrab2 3237	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. S <-> ( d e. U. ( R1 " On ) /\ A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X ) )
48	47	simprbi 465	. . . . . . . . 9 |- ( d e. S -> A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X )
49		snex 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- { d } e. _V
50		tcid 8222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { d } e. _V -> { d } C_ ( TC ` { d } ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- { d } C_ ( TC ` { d } )
52		ssnid 4031	. . . . . . . . . . 11 |- d e. { d }
53	51, 52	sselii 3467	. . . . . . . . . 10 |- d e. ( TC ` { d } )
54		breq1 4429	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( b ~<_ X <-> d ~<_ X ) )
55	54	rspcv 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( TC ` { d } ) -> ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> d ~<_ X ) )
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> d ~<_ X )
57		domwdom 8089	. . . . . . . . 9 |- ( d ~<_ X -> d ~<_* X )
58	48, 56, 57	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( d e. S -> d ~<_* X )
59		wdomtr 8090	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rank " d ) ~<_* d /\ d ~<_* X ) -> ( rank " d ) ~<_* X )
60	42, 58, 59	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( d e. S -> ( rank " d ) ~<_* X )
61	38, 60	syl5eqbr 4459	. . . . . 6 |- ( d e. S -> ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ~<_* X )
62		eqid 2429	. . . . . . 7 |- OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) )
63	62	hsmexlem1 8854	. . . . . 6 |- ( ( ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) C_ On /\ ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ~<_* X ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. (har ` ~P X ) )
64	33, 61, 63	sylancr 667	. . . . 5 |- ( d e. S -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. (har ` ~P X ) )
65		hsmexlem4.h	. . . . . 6 |- H = ( rec ( ( z e. _V |-> (har ` ~P ( X X. z ) ) ) , (har ` ~P X ) ) |` om )
66	65	hsmexlem7 8851	. . . . 5 |- ( H ` (/) ) = (har ` ~P X )
67	64, 66	syl6eleqr 2528	. . . 4 |- ( d e. S -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) ) )
68	67	rgen 2792	. . 3 |- A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` (/) ) ) ) e. ( H ` (/) )
69		nfra1 2813	. . . . . 6 |- F/ d A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e )
70		nfv 1754	. . . . . 6 |- F/ d e e. om
71	69, 70	nfan 1986	. . . . 5 |- F/ d ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ e e. om )
72	35	ituniiun 8850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. _V -> ( ( U ` d ) ` suc e ) = U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e ) )
73	34, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U ` d ) ` suc e ) = U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e )
74	73	imaeq2i 5186	. . . . . . . . . . 11 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) = ( rank " U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e ) )
75		imaiun 6165	. . . . . . . . . . 11 |- ( rank " U_ f e. d ( ( U ` f ) ` e ) ) = U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) )
76	74, 75	eqtri 2458	. . . . . . . . . 10 |- ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) = U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) )
77		oieq2 8028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) = U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) = OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) = OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
79	78	dmeqi 5056	. . . . . . . 8 |- dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) = dom OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
80	58	ad2antll 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> d ~<_* X )
81	65	hsmexlem9 8853	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. om -> ( H ` e ) e. On )
82	81	ad2antrl 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> ( H ` e ) e. On )
83		ssrab2 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { a e. U. ( R1 " On ) | A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X } C_ U. ( R1 " On )
84	46, 83	eqsstri 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S C_ U. ( R1 " On )
85	84	sseli 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. S -> d e. U. ( R1 " On ) )
86		r1elssi 8275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. U. ( R1 " On ) -> d C_ U. ( R1 " On ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. S -> d C_ U. ( R1 " On ) )
88	87	sselda 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. S /\ f e. d ) -> f e. U. ( R1 " On ) )
89		snssi 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. d -> { f } C_ d )
90	34	tcss 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { f } C_ d -> ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` d ) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. d -> ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` d ) )
92	49	tcel 8228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d e. { d } -> ( TC ` d ) C_ ( TC ` { d } ) )
93	52, 92	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. d -> ( TC ` d ) C_ ( TC ` { d } ) )
94	91, 93	sstrd 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. d -> ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` { d } ) )
95		ssralv 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( TC ` { f } ) C_ ( TC ` { d } ) -> ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. d -> ( A. b e. ( TC ` { d } ) b ~<_ X -> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
97	48, 96	mpan9 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. S /\ f e. d ) -> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X )
98		sneq 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = f -> { a } = { f } )
99	98	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = f -> ( TC ` { a } ) = ( TC ` { f } ) )
100	99	raleqdv 3038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = f -> ( A. b e. ( TC ` { a } ) b ~<_ X <-> A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
101	100, 46	elrab2 3237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. S <-> ( f e. U. ( R1 " On ) /\ A. b e. ( TC ` { f } ) b ~<_ X ) )
102	88, 97, 101	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( d e. S /\ f e. d ) -> f e. S )
103	102	adantll 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. om /\ d e. S ) /\ f e. d ) -> f e. S )
104	103	adantll 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> f e. S )
105		simpll 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) )
106		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = f -> ( U ` d ) = ( U ` f ) )
107	106	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = f -> ( ( U ` d ) ` e ) = ( ( U ` f ) ` e ) )
108	107	imaeq2d 5188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = f -> ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) = ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
109		oieq2 8028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) = ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = f -> OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
111	110	dmeqd 5057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = f -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) = dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) )
112	111	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = f -> ( dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) <-> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
113	112	rspcv 3184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. S -> ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
114	104, 105, 113	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) )
115		imassrn 5199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) C_ ran rank
116	115, 32	sstri 3479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) C_ On
117		fvex 5891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U ` f ) ` e ) e. _V
118	117	funimaex 5679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun rank -> ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. _V )
119	40, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. _V
120	119	elpw 3991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On <-> ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) C_ On )
121	116, 120	mpbir 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On
122	114, 121	jctil 539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) /\ f e. d ) -> ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On /\ dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
123	122	ralrimiva 2846	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> A. f e. d ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On /\ dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) )
124		eqid 2429	. . . . . . . . . 10 |- OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
125		eqid 2429	. . . . . . . . . 10 |- OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) = OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) )
126	124, 125	hsmexlem3 8856	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( d ~<_* X /\ ( H ` e ) e. On ) /\ A. f e. d ( ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) e. ~P On /\ dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) ) ) -> dom OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
127	80, 82, 123, 126	syl21anc 1263	. . . . . . . 8 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> dom OrdIso ( _E , U_ f e. d ( rank " ( ( U ` f ) ` e ) ) ) e. (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
128	79, 127	syl5eqel 2521	. . . . . . 7 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
129	65	hsmexlem8 8852	. . . . . . . 8 |- ( e e. om -> ( H ` suc e ) = (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
130	129	ad2antrl 732	. . . . . . 7 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> ( H ` suc e ) = (har ` ~P ( X X. ( H ` e ) ) ) )
131	128, 130	eleqtrrd 2520	. . . . . 6 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ ( e e. om /\ d e. S ) ) -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) )
132	131	expr 618	. . . . 5 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ e e. om ) -> ( d e. S -> dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
133	71, 132	ralrimi 2832	. . . 4 |- ( ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) /\ e e. om ) -> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) )
134	133	expcom 436	. . 3 |- ( e e. om -> ( A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` e ) ) ) e. ( H ` e ) -> A. d e. S dom OrdIso ( _E , ( rank " ( ( U ` d ) ` suc e ) ) ) e. ( H ` suc e ) ) )
135	10, 19, 28, 68, 134	finds1 6736	. 2 |- ( c e. om -> A. d e. S dom O e. ( H ` c ) )
136	135	r19.21bi 2801	1 |- ( ( c e. om /\ d e. S ) -> dom O e. ( H ` c ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087   C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   U_ciun 4302   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   _E cep 4763   X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855   |` cres 4856   "cima 4857   Oncon0 5442   suc csuc 5444   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601   omcom 6706   reccrdg 7135   ~<_ cdom 7575  OrdIsocoi 8024  harchar 8071   ~<_^* cwdom 8072   TCctc 8219   R1cr1 8232   rankcrnk 8233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-smo 7073  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-oi 8025  df-har 8073  df-wdom 8074  df-tc 8220  df-r1 8234  df-rank 8235

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8858