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Theorem hsmexlem4 8877
 Description: Lemma for hsmex 8880. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x
hsmexlem4.h har har
hsmexlem4.u
hsmexlem4.s
hsmexlem4.o OrdIso
Assertion
Ref Expression
hsmexlem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem hsmexlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.o . . . . . . 7 OrdIso
2 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
32imaeq2d 5174 . . . . . . . 8
4 oieq2 8046 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
53, 4syl 17 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
61, 5syl5eq 2517 . . . . . 6 OrdIso
76dmeqd 5042 . . . . 5 OrdIso
8 fveq2 5879 . . . . 5
97, 8eleq12d 2543 . . . 4 OrdIso
109ralbidv 2829 . . 3 OrdIso
11 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
1211imaeq2d 5174 . . . . . . . 8
13 oieq2 8046 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
151, 14syl5eq 2517 . . . . . 6 OrdIso
1615dmeqd 5042 . . . . 5 OrdIso
17 fveq2 5879 . . . . 5
1816, 17eleq12d 2543 . . . 4 OrdIso
1918ralbidv 2829 . . 3 OrdIso
20 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
2120imaeq2d 5174 . . . . . . . 8
22 oieq2 8046 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
241, 23syl5eq 2517 . . . . . 6 OrdIso
2524dmeqd 5042 . . . . 5 OrdIso
26 fveq2 5879 . . . . 5
2725, 26eleq12d 2543 . . . 4 OrdIso
2827ralbidv 2829 . . 3 OrdIso
29 imassrn 5185 . . . . . . 7
30 rankf 8283 . . . . . . . 8
31 frn 5747 . . . . . . . 8
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7
3329, 32sstri 3427 . . . . . 6
34 vex 3034 . . . . . . . . 9
35 hsmexlem4.u . . . . . . . . . 10
3635ituni0 8866 . . . . . . . . 9
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8
3837imaeq2i 5172 . . . . . . 7
39 ffun 5742 . . . . . . . . . 10
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9
41 wdomimag 8120 . . . . . . . . 9 *
4240, 34, 41mp2an 686 . . . . . . . 8 *
43 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . 13
4443fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
4544raleqdv 2979 . . . . . . . . . . 11
46 hsmexlem4.s . . . . . . . . . . 11
4745, 46elrab2 3186 . . . . . . . . . 10
4847simprbi 471 . . . . . . . . 9
49 snex 4641 . . . . . . . . . . . 12
50 tcid 8241 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
52 ssnid 3989 . . . . . . . . . . 11
5351, 52sselii 3415 . . . . . . . . . 10
54 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11
5554rspcv 3132 . . . . . . . . . 10
5653, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9
57 domwdom 8107 . . . . . . . . 9 *
5848, 56, 573syl 18 . . . . . . . 8 *
59 wdomtr 8108 . . . . . . . 8 * * *
6042, 58, 59sylancr 676 . . . . . . 7 *
6138, 60syl5eqbr 4429 . . . . . 6 *
62 eqid 2471 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
6362hsmexlem1 8874 . . . . . 6 * OrdIso har
6433, 61, 63sylancr 676 . . . . 5 OrdIso har
65 hsmexlem4.h . . . . . 6 har har
6665hsmexlem7 8871 . . . . 5 har
6764, 66syl6eleqr 2560 . . . 4 OrdIso
6867rgen 2766 . . 3 OrdIso
69 nfra1 2785 . . . . . 6 OrdIso
70 nfv 1769 . . . . . 6
7169, 70nfan 2031 . . . . 5 OrdIso
7235ituniiun 8870 . . . . . . . . . . . . 13
7334, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
7473imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . 11
75 imaiun 6168 . . . . . . . . . . 11
7674, 75eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
77 oieq2 8046 . . . . . . . . . 10 OrdIso OrdIso
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . 9 OrdIso OrdIso
7978dmeqi 5041 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
8058ad2antll 743 . . . . . . . . 9 OrdIso *
8165hsmexlem9 8873 . . . . . . . . . 10
8281ad2antrl 742 . . . . . . . . 9 OrdIso
83 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8446, 83eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 r1elssi 8294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9034tcss 8246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9249tcel 8247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9352, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9491, 93sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9748, 96mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101100, 46elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15
10288, 97, 101sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14
103102adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13
104103adantll 728 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
105 simpll 768 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso OrdIso
106 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 oieq2 8046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso OrdIso
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 OrdIso OrdIso
111110dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . 14 OrdIso OrdIso
112111eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13 OrdIso OrdIso
113112rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso OrdIso
114104, 105, 113sylc 61 . . . . . . . . . . 11 OrdIso OrdIso
115 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . 13
116115, 32sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12
117 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117funimaex 5671 . . . . . . . . . . . . . 14
11940, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
120119elpw 3948 . . . . . . . . . . . 12
121116, 120mpbir 214 . . . . . . . . . . 11
122114, 121jctil 546 . . . . . . . . . 10 OrdIso OrdIso
123122ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9 OrdIso OrdIso
124 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 OrdIso OrdIso
125 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 OrdIso OrdIso
126124, 125hsmexlem3 8876 . . . . . . . . 9 * OrdIso OrdIso har
12780, 82, 123, 126syl21anc 1291 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso har
12879, 127syl5eqel 2553 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso har
12965hsmexlem8 8872 . . . . . . . 8 har
130129ad2antrl 742 . . . . . . 7 OrdIso har
131128, 130eleqtrrd 2552 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
132131expr 626 . . . . 5 OrdIso OrdIso
13371, 132ralrimi 2800 . . . 4 OrdIso OrdIso
134133expcom 442 . . 3 OrdIso OrdIso
13510, 19, 28, 68, 134finds1 6741 . 2
136135r19.21bi 2776 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cep 4748   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842  con0 5430   csuc 5432   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  com 6711  crdg 7145   cdom 7585  OrdIsocoi 8042  harchar 8089   * cwdom 8090  ctc 8238  cr1 8251  crnk 8252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-smo 7083  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-oi 8043  df-har 8091  df-wdom 8092  df-tc 8239  df-r1 8253  df-rank 8254 This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8878
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