MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem4 Structured version   Unicode version

Theorem hsmexlem4 8594
Description: Lemma for hsmex 8597. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x  |-  X  e. 
_V
hsmexlem4.h  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
hsmexlem4.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
hsmexlem4.s  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
hsmexlem4.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
hsmexlem4  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, H    S, c,
d    U, c, d    a,
b, z, X    x, a, y    b, c, d, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, a, b)    U( x, y, z, a, b)    H( x, y, z, b)    O( x, y, z, a, b, c, d)    X( x, y, c, d)

Proof of Theorem hsmexlem4
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.o . . . . . . 7  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
2 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( U `  d ) `
 c )  =  ( ( U `  d ) `  (/) ) )
32imaeq2d 5166 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
4 oieq2 7723 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) )  -> OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) ) )
61, 5syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) ) )
76dmeqd 5038 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
8 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( H `
 c )  =  ( H `  (/) ) )
97, 8eleq12d 2509 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( dom 
O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
109ralbidv 2733 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
11 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  (
( U `  d
) `  c )  =  ( ( U `
 d ) `  e ) )
1211imaeq2d 5166 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  e  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )
13 oieq2 7723 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
151, 14syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( c  =  e  ->  O  = OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) ) )
1615dmeqd 5038 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) ) )
17 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  ( H `  c )  =  ( H `  e ) )
1816, 17eleq12d 2509 . . . 4  |-  ( c  =  e  ->  ( dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
1918ralbidv 2733 . . 3  |-  ( c  =  e  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
20 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( ( U `  d ) `  c
)  =  ( ( U `  d ) `
 suc  e )
)
2120imaeq2d 5166 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )
22 oieq2 7723 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) )  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
241, 23syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  e  ->  O  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
2524dmeqd 5038 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
26 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( H `  c
)  =  ( H `
 suc  e )
)
2725, 26eleq12d 2509 . . . 4  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( dom  O  e.  ( H `  c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
2827ralbidv 2733 . . 3  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
)  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
29 imassrn 5177 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  ran  rank
30 rankf 7997 . . . . . . . 8  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
31 frn 5562 . . . . . . . 8  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  ran  rank  C_  On )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  rank  C_  On
3329, 32sstri 3362 . . . . . 6  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  On
34 vex 2973 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
35 hsmexlem4.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
3635ituni0 8583 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  (/) )  =  d )
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( U `  d ) `
 (/) )  =  d
3837imaeq2i 5164 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  =  (
rank " d )
39 ffun 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rank
41 wdomimag 7798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rank  /\  d  e.  _V )  ->  ( rank " d )  ~<_*  d
)
4240, 34, 41mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( rank " d )  ~<_*  d
43 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4443fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { d } ) )
4544raleqdv 2921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
46 hsmexlem4.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
4745, 46elrab2 3116 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  S  <->  ( d  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
4847simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  S  ->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X )
49 snex 4530 . . . . . . . . . . . 12  |-  { d }  e.  _V
50 tcid 7955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { d }  e.  _V  ->  { d }  C_  ( TC `  { d } ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  { d }  C_  ( TC `  { d } )
52 ssnid 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
{ d }
5351, 52sselii 3350 . . . . . . . . . 10  |-  d  e.  ( TC `  {
d } )
54 breq1 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  (
b  ~<_  X  <->  d  ~<_  X ) )
5554rspcv 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X )
57 domwdom 7785 . . . . . . . . 9  |-  ( d  ~<_  X  ->  d  ~<_*  X )
5848, 56, 573syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  S  ->  d  ~<_*  X )
59 wdomtr 7786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank " d
)  ~<_*  d  /\  d  ~<_*  X
)  ->  ( rank " d )  ~<_*  X )
6042, 58, 59sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " d )  ~<_*  X
)
6138, 60syl5eqbr 4322 . . . . . 6  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )
62 eqid 2441 . . . . . . 7  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
6362hsmexlem1 8591 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) 
C_  On  /\  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
6433, 61, 63sylancr 658 . . . . 5  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
65 hsmexlem4.h . . . . . 6  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
6665hsmexlem7 8588 . . . . 5  |-  ( H `
 (/) )  =  (har
`  ~P X )
6764, 66syl6eleqr 2532 . . . 4  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  ( H `  (/) ) )
6867rgen 2779 . . 3  |-  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) )
69 nfra1 2764 . . . . . 6  |-  F/ d A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )
70 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ d  e  e.  om
7169, 70nfan 1865 . . . . 5  |-  F/ d ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  e  e.  om )
7235ituniiun 8587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `
 f ) `  e ) )
7334, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  d ) `
 suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
)
7473imaeq2i 5164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  =  ( rank " U_ f  e.  d  (
( U `  f
) `  e )
)
75 imaiun 5959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
) )  =  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )
7674, 75eqtri 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)
77 oieq2 7723 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
7978dmeqi 5037 . . . . . . . 8  |-  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) ) )
8058ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  d  ~<_*  X )
8165hsmexlem9 8590 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  e )  e.  On )
8281ad2antrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  e )  e.  On )
83 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { a  e.  U. ( R1
" On )  | 
A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X }  C_  U. ( R1 " On )
8446, 83eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  C_  U. ( R1 " On )
8584sseli 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  S  ->  d  e.  U. ( R1 " On ) )
86 r1elssi 8008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  U. ( R1
" On )  -> 
d  C_  U. ( R1 " On ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  S  ->  d  C_ 
U. ( R1 " On ) )
8887sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  U. ( R1 " On ) )
89 snssi 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  d  ->  { f }  C_  d )
9034tcss 7960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f }  C_  d  ->  ( TC `  {
f } )  C_  ( TC `  d ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  d ) )
9249tcel 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  e.  { d }  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9352, 92mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9491, 93sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } ) )
95 ssralv 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X ) )
9748, 96mpan9 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X )
98 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  f  ->  { a }  =  { f } )
9998fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  f  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { f } ) )
10099raleqdv 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
101100, 46elrab2 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
10288, 97, 101sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
103102adantll 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  om  /\  d  e.  S )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
104103adantll 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
105 simpll 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) )
106 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  f  ->  ( U `  d )  =  ( U `  f ) )
107106fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  f  ->  (
( U `  d
) `  e )  =  ( ( U `
 f ) `  e ) )
108107imaeq2d 5166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  f  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
109 oieq2 7723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  f  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
111110dmeqd 5038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  f  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) ) )
112111eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  f  ->  ( dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
113112rspcv 3066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  S  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
114104, 105, 113sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) )
115 imassrn 5177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  ran  rank
116115, 32sstri 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  On
117 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  f ) `
 e )  e. 
_V
118117funimaex 5493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
rank  ->  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  e.  _V )
11940, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
_V
120119elpw 3863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  <->  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) )  C_  On )
121116, 120mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On
122114, 121jctil 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
123122ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  A. f  e.  d  ( ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
124 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
125 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
126124, 125hsmexlem3 8593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  ~<_*  X  /\  ( H `
 e )  e.  On )  /\  A. f  e.  d  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) )  e.  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
12780, 82, 123, 126syl21anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12879, 127syl5eqel 2525 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12965hsmexlem8 8589 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
130129ad2antrl 722 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
131128, 130eleqtrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
132131expr 612 . . . . 5  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  (
d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
13371, 132ralrimi 2795 . . . 4  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
134133expcom 435 . . 3  |-  ( e  e.  om  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) ) )
13510, 19, 28, 68, 134finds1 6504 . 2  |-  ( c  e.  om  ->  A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
) )
136135r19.21bi 2812 1  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   U_ciun 4168   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    _E cep 4626   Oncon0 4715   suc csuc 4717    X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415   omcom 6475   reccrdg 6861    ~<_ cdom 7304  OrdIsocoi 7719  harchar 7767    ~<_* cwdom 7768   TCctc 7952   R1cr1 7965   rankcrnk 7966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-smo 6803  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-oi 7720  df-har 7769  df-wdom 7770  df-tc 7953  df-r1 7967  df-rank 7968
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8595
  Copyright terms: Public domain W3C validator