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Theorem hsmexlem4 8859
Description: Lemma for hsmex 8862. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x  |-  X  e. 
_V
hsmexlem4.h  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
hsmexlem4.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
hsmexlem4.s  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
hsmexlem4.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
hsmexlem4  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, H    S, c,
d    U, c, d    a,
b, z, X    x, a, y    b, c, d, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, a, b)    U( x, y, z, a, b)    H( x, y, z, b)    O( x, y, z, a, b, c, d)    X( x, y, c, d)

Proof of Theorem hsmexlem4
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.o . . . . . . 7  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
2 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( U `  d ) `
 c )  =  ( ( U `  d ) `  (/) ) )
32imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
4 oieq2 8028 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) )  -> OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
53, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) ) )
61, 5syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) ) )
76dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
8 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( H `
 c )  =  ( H `  (/) ) )
97, 8eleq12d 2523 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( dom 
O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
109ralbidv 2827 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
11 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  (
( U `  d
) `  c )  =  ( ( U `
 d ) `  e ) )
1211imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  e  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )
13 oieq2 8028 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( c  =  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
151, 14syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( c  =  e  ->  O  = OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) ) )
1615dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) ) )
17 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  ( H `  c )  =  ( H `  e ) )
1816, 17eleq12d 2523 . . . 4  |-  ( c  =  e  ->  ( dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
1918ralbidv 2827 . . 3  |-  ( c  =  e  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
20 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( ( U `  d ) `  c
)  =  ( ( U `  d ) `
 suc  e )
)
2120imaeq2d 5168 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )
22 oieq2 8028 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) )  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
241, 23syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  e  ->  O  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
2524dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
26 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( H `  c
)  =  ( H `
 suc  e )
)
2725, 26eleq12d 2523 . . . 4  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( dom  O  e.  ( H `  c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
2827ralbidv 2827 . . 3  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
)  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
29 imassrn 5179 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  ran  rank
30 rankf 8265 . . . . . . . 8  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
31 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  ran  rank  C_  On )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  rank  C_  On
3329, 32sstri 3441 . . . . . 6  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  On
34 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
35 hsmexlem4.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
3635ituni0 8848 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  (/) )  =  d )
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( U `  d ) `
 (/) )  =  d
3837imaeq2i 5166 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  =  (
rank " d )
39 ffun 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rank
41 wdomimag 8102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rank  /\  d  e.  _V )  ->  ( rank " d )  ~<_*  d
)
4240, 34, 41mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  ( rank " d )  ~<_*  d
43 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4443fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { d } ) )
4544raleqdv 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
46 hsmexlem4.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
4745, 46elrab2 3198 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  S  <->  ( d  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
4847simprbi 466 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  S  ->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X )
49 snex 4641 . . . . . . . . . . . 12  |-  { d }  e.  _V
50 tcid 8223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { d }  e.  _V  ->  { d }  C_  ( TC `  { d } ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  { d }  C_  ( TC `  { d } )
52 ssnid 3997 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
{ d }
5351, 52sselii 3429 . . . . . . . . . 10  |-  d  e.  ( TC `  {
d } )
54 breq1 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  (
b  ~<_  X  <->  d  ~<_  X ) )
5554rspcv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X ) )
5653, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X )
57 domwdom 8089 . . . . . . . . 9  |-  ( d  ~<_  X  ->  d  ~<_*  X )
5848, 56, 573syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  S  ->  d  ~<_*  X )
59 wdomtr 8090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank " d
)  ~<_*  d  /\  d  ~<_*  X
)  ->  ( rank " d )  ~<_*  X )
6042, 58, 59sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " d )  ~<_*  X
)
6138, 60syl5eqbr 4436 . . . . . 6  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )
62 eqid 2451 . . . . . . 7  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
6362hsmexlem1 8856 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) 
C_  On  /\  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
6433, 61, 63sylancr 669 . . . . 5  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
65 hsmexlem4.h . . . . . 6  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
6665hsmexlem7 8853 . . . . 5  |-  ( H `
 (/) )  =  (har
`  ~P X )
6764, 66syl6eleqr 2540 . . . 4  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  ( H `  (/) ) )
6867rgen 2747 . . 3  |-  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) )
69 nfra1 2769 . . . . . 6  |-  F/ d A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )
70 nfv 1761 . . . . . 6  |-  F/ d  e  e.  om
7169, 70nfan 2011 . . . . 5  |-  F/ d ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  e  e.  om )
7235ituniiun 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `
 f ) `  e ) )
7334, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  d ) `
 suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
)
7473imaeq2i 5166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  =  ( rank " U_ f  e.  d  (
( U `  f
) `  e )
)
75 imaiun 6150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
) )  =  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )
7674, 75eqtri 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)
77 oieq2 8028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
7978dmeqi 5036 . . . . . . . 8  |-  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) ) )
8058ad2antll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  d  ~<_*  X )
8165hsmexlem9 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  e )  e.  On )
8281ad2antrl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  e )  e.  On )
83 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { a  e.  U. ( R1
" On )  | 
A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X }  C_  U. ( R1 " On )
8446, 83eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  C_  U. ( R1 " On )
8584sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  S  ->  d  e.  U. ( R1 " On ) )
86 r1elssi 8276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  U. ( R1
" On )  -> 
d  C_  U. ( R1 " On ) )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  S  ->  d  C_ 
U. ( R1 " On ) )
8887sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  U. ( R1 " On ) )
89 snssi 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  d  ->  { f }  C_  d )
9034tcss 8228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f }  C_  d  ->  ( TC `  {
f } )  C_  ( TC `  d ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  d ) )
9249tcel 8229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  e.  { d }  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9352, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9491, 93sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } ) )
95 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X ) )
9748, 96mpan9 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X )
98 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  f  ->  { a }  =  { f } )
9998fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  f  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { f } ) )
10099raleqdv 2993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
101100, 46elrab2 3198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
10288, 97, 101sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
103102adantll 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  om  /\  d  e.  S )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
104103adantll 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
105 simpll 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) )
106 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  f  ->  ( U `  d )  =  ( U `  f ) )
107106fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  f  ->  (
( U `  d
) `  e )  =  ( ( U `
 f ) `  e ) )
108107imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  f  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
109 oieq2 8028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  f  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
111110dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  f  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) ) )
112111eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  f  ->  ( dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
113112rspcv 3146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  S  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
114104, 105, 113sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) )
115 imassrn 5179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  ran  rank
116115, 32sstri 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  On
117 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  f ) `
 e )  e. 
_V
118117funimaex 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
rank  ->  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  e.  _V )
11940, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
_V
120119elpw 3957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  <->  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) )  C_  On )
121116, 120mpbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On
122114, 121jctil 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
123122ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  A. f  e.  d  ( ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
124 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
125 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
126124, 125hsmexlem3 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  ~<_*  X  /\  ( H `
 e )  e.  On )  /\  A. f  e.  d  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) )  e.  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
12780, 82, 123, 126syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12879, 127syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12965hsmexlem8 8854 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
130129ad2antrl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
131128, 130eleqtrrd 2532 . . . . . 6  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
132131expr 620 . . . . 5  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  (
d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
13371, 132ralrimi 2788 . . . 4  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
134133expcom 437 . . 3  |-  ( e  e.  om  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) ) )
13510, 19, 28, 68, 134finds1 6722 . 2  |-  ( c  e.  om  ->  A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
) )
136135r19.21bi 2757 1  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    _E cep 4743    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   Oncon0 5423   suc csuc 5425   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582   omcom 6692   reccrdg 7127    ~<_ cdom 7567  OrdIsocoi 8024  harchar 8071    ~<_* cwdom 8072   TCctc 8220   R1cr1 8233   rankcrnk 8234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-smo 7065  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-oi 8025  df-har 8073  df-wdom 8074  df-tc 8221  df-r1 8235  df-rank 8236
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