Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hsmexlem2 8857
 Description: Lemma for hsmex 8862. Bound the order type of a union of sets of ordinals, each of limited order type. Vaguely reminiscent of unictb 9000 but use of order types allows to canonically choose the sub-bijections, removing the choice requirement. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem.f OrdIso
hsmexlem.g OrdIso
Assertion
Ref Expression
hsmexlem2 har
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem hsmexlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3960 . . . . . 6
21adantr 467 . . . . 5
32ralimi 2781 . . . 4
4 iunss 4319 . . . 4
53, 4sylibr 216 . . 3
653ad2ant3 1031 . 2
7 xpexg 6593 . . . 4
873adant3 1028 . . 3
9 nfv 1761 . . . . . . . . 9
10 nfra1 2769 . . . . . . . . 9
119, 10nfan 2011 . . . . . . . 8
12 rsp 2754 . . . . . . . . 9
13 onelss 5465 . . . . . . . . . . . . . 14
1413imp 431 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantrl 722 . . . . . . . . . . . 12
16153adant3 1028 . . . . . . . . . . 11
17 hsmexlem.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 OrdIso
1817oismo 8055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
2217oif 8045 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22jctil 540 . . . . . . . . . . . . . 14
24 dffo2 5797 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13
26 dffo3 6037 . . . . . . . . . . . . . 14
2726simprbi 466 . . . . . . . . . . . . 13
28 rsp 2754 . . . . . . . . . . . . 13
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12
30293impia 1205 . . . . . . . . . . 11
31 ssrexv 3494 . . . . . . . . . . 11
3216, 30, 31sylc 62 . . . . . . . . . 10
33323exp 1207 . . . . . . . . 9
3412, 33sylan9r 664 . . . . . . . 8
3511, 34reximdai 2856 . . . . . . 7
36353adant1 1026 . . . . . 6
37 nfv 1761 . . . . . . 7
38 nfcv 2592 . . . . . . . 8
39 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
40 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . 11
4139, 40nfoi 8029 . . . . . . . . . 10 OrdIso
42 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10
4341, 42nffv 5872 . . . . . . . . 9 OrdIso
4443nfeq2 2607 . . . . . . . 8 OrdIso
4538, 44nfrex 2850 . . . . . . 7 OrdIso
46 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . 12
47 oieq2 8028 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso OrdIso
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 OrdIso OrdIso
4917, 48syl5eq 2497 . . . . . . . . . 10 OrdIso
5049fveq1d 5867 . . . . . . . . 9 OrdIso
5150eqeq2d 2461 . . . . . . . 8 OrdIso
5251rexbidv 2901 . . . . . . 7 OrdIso
5337, 45, 52cbvrex 3016 . . . . . 6 OrdIso
5436, 53syl6ib 230 . . . . 5 OrdIso
55 eliun 4283 . . . . 5
56 vex 3048 . . . . . . . . . . 11
57 vex 3048 . . . . . . . . . . 11
5856, 57op1std 6803 . . . . . . . . . 10
5958csbeq1d 3370 . . . . . . . . 9
60 oieq2 8028 . . . . . . . . 9 OrdIso OrdIso
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
6256, 57op2ndd 6804 . . . . . . . 8
6361, 62fveq12d 5871 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
6463eqeq2d 2461 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
6564rexxp 4977 . . . . 5 OrdIso OrdIso
6654, 55, 653imtr4g 274 . . . 4 OrdIso
6766imp 431 . . 3 OrdIso
688, 67wdomd 8096 . 2 *
69 hsmexlem.g . . 3 OrdIso
7069hsmexlem1 8856 . 2 * har
716, 68, 70syl2anc 667 1 har
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045  csb 3363   wss 3404  cpw 3951  cop 3974  ciun 4278   class class class wbr 4402   cep 4743   cxp 4832   cdm 4834   crn 4835  con0 5423  wf 5578  wfo 5580  cfv 5582  c1st 6791  c2nd 6792   wsmo 7064  OrdIsocoi 8024  harchar 8071   * cwdom 8072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-smo 7065  df-recs 7090  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-oi 8025  df-har 8073  df-wdom 8074 This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8858
 Copyright terms: Public domain W3C validator