MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmex3 Structured version   Unicode version

Theorem hsmex3 8831
Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 8036, using strict comparison (an easy corollary by separation). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
hsmex3  |-  ( X  e.  V  ->  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x 
~<  X }  e.  _V )
Distinct variable group:    x, s, X
Allowed substitution hints:    V( x, s)

Proof of Theorem hsmex3
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7562 . . . 4  |-  ( x 
~<  X  ->  x  ~<_  X )
21ralimi 2850 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<  X  ->  A. x  e.  ( TC
`  { s } ) x  ~<_  X )
32ss2abi 3568 . 2  |-  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x 
~<  X }  C_  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x  ~<_  X }
4 hsmex2 8830 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x  ~<_  X }  e.  _V )
5 ssexg 4602 . 2  |-  ( ( { s  |  A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<  X }  C_ 
{ s  |  A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<_  X }  /\  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x  ~<_  X }  e.  _V )  ->  { s  | 
A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<  X }  e.  _V )
63, 4, 5sylancr 663 1  |-  ( X  e.  V  ->  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x 
~<  X }  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534   TCctc 8184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-reg 8036  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-smo 7035  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-oi 7953  df-har 8002  df-wdom 8003  df-tc 8185  df-r1 8199  df-rank 8200
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator