MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgid Structured version   Unicode version

Theorem hpgid 24795
Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
hpgid.i  |-  I  =  (Itv `  G )
hpgid.l  |-  L  =  (LineG `  G )
hpgid.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
hpgid.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
hpgid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
hpgid.o  |-  O  =  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  D )  /\  b  e.  ( P  \  D ) )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( a I b ) ) }
hpgid.1  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  D
)
Assertion
Ref Expression
hpgid  |-  ( ph  ->  A ( (hpG `  G ) `  D
) A )
Distinct variable groups:    t, A    D, a, b, t    G, a, b, t    I, a, b, t    O, a, b, t    P, a, b, t    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a, b)    L( t, a, b)

Proof of Theorem hpgid
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  P  /\  A O c ) )  ->  A O c )
21, 1jca 534 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  P  /\  A O c ) )  -> 
( A O c  /\  A O c ) )
3 hpgid.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 hpgid.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
5 hpgid.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
6 hpgid.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
7 hpgid.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ran  L
)
8 hpgid.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
9 hpgid.o . . . 4  |-  O  =  { <. a ,  b
>.  |  ( (
a  e.  ( P 
\  D )  /\  b  e.  ( P  \  D ) )  /\  E. t  e.  D  t  e.  ( a I b ) ) }
10 hpgid.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  D
)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hpgerlem 24794 . . 3  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  A O c )
122, 11reximddv 2901 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  ( A O c  /\  A O c ) )
133, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8hpgbr 24789 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( (hpG
`  G ) `  D ) A  <->  E. c  e.  P  ( A O c  /\  A O c ) ) )
1412, 13mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  A ( (hpG `  G ) `  D
) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776    \ cdif 3433   class class class wbr 4420   {copab 4478   ran crn 4851   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Basecbs 15109  TarskiGcstrkg 24465  Itvcitv 24471  LineGclng 24472  hpGchpg 24786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-hash 12516  df-word 12657  df-concat 12659  df-s1 12660  df-s2 12935  df-s3 12936  df-trkgc 24483  df-trkgb 24484  df-trkgcb 24485  df-trkg 24488  df-cgrg 24543  df-hpg 24787
This theorem is referenced by:  tgasa1  24876
  Copyright terms: Public domain W3C validator