Theorem hoscl 11156

Description: Closure of the sum of two Hilbert space operators.

Assertion

Ref	Expression
hoscl	|- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ A e. ~H) -> ((S +op T)` A) e. ~H)

Proof of Theorem hoscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosvalOLD 11150	. 2 |- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ A e. ~H) -> ((S +op T)` A) = ((S` A) +h (T` A)))
2		ffvelrn 4787	. . . . 5 |- ((S:~H-->~H /\ A e. ~H) -> (S` A) e. ~H)
3		ffvelrn 4787	. . . . 5 |- ((T:~H-->~H /\ A e. ~H) -> (T` A) e. ~H)
4	2, 3	anim12i 360	. . . 4 |- (((S:~H-->~H /\ A e. ~H) /\ (T:~H-->~H /\ A e. ~H)) -> ((S` A) e. ~H /\ (T` A) e. ~H))
5	4	anandirs 571	. . 3 |- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ A e. ~H) -> ((S` A) e. ~H /\ (T` A) e. ~H))
6		hvaddcl 10514	. . 3 |- (((S` A) e. ~H /\ (T` A) e. ~H) -> ((S` A) +h (T` A)) e. ~H)
7	5, 6	syl 12	. 2 |- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ A e. ~H) -> ((S` A) +h (T` A)) e. ~H)
8	1, 7	eqeltrd 1971	1 |- (((S:~H-->~H /\ T:~H-->~H) /\ A e. ~H) -> ((S +op T)` A) e. ~H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421   +op chos 10439

This theorem is referenced by:  hoscli 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-hosum 11139

Copyright terms: Public domain