Theorem homulid2 11363

Description: An operator equals its scalar product with one.

Assertion

Ref	Expression
homulid2	|- (T:~H-->~H -> (1 .op T) = T)

Proof of Theorem homulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . . 5 |- 1 e. CC
2		homval 11151	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((1 .op T)` x) = (1 .h (T` x)))
3	1, 2	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((1 .op T)` x) = (1 .h (T` x)))
4		ffvelrn 4787	. . . . 5 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
5		ax-hvmulid 10508	. . . . 5 |- ((T` x) e. ~H -> (1 .h (T` x)) = (T` x))
6	4, 5	syl 12	. . . 4 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (1 .h (T` x)) = (T` x))
7	3, 6	eqtrd 1925	. . 3 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((1 .op T)` x) = (T` x))
8	7	r19.21aiva 2176	. 2 |- (T:~H-->~H -> A.x e. ~H ((1 .op T)` x) = (T` x))
9		homulcl 11322	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ T:~H-->~H) -> (1 .op T):~H-->~H)
10	1, 9	mpan 759	. . 3 |- (T:~H-->~H -> (1 .op T):~H-->~H)
11		hoeq 11323	. . 3 |- (((1 .op T):~H-->~H /\ T:~H-->~H) -> (A.x e. ~H ((1 .op T)` x) = (T` x) <-> (1 .op T) = T))
12	10, 11	mpancom 769	. 2 |- (T:~H-->~H -> (A.x e. ~H ((1 .op T)` x) = (T` x) <-> (1 .op T) = T))
13	8, 12	mpbid 212	1 |- (T:~H-->~H -> (1 .op T) = T)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  ~Hchil 10420   .h csm 10422   .op chot 10440

This theorem is referenced by:  honegneg 11369  ho2times 11382  leopmul 11705  nmopleid 11710  opsqrlem1 11711  opsqrlem6 11716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-1r 6324  df-c 6392  df-1 6394  df-r 6396  df-homul 11140

Copyright terms: Public domain