HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulcl Structured version   Unicode version

Theorem homulcl 27247
Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )

Proof of Theorem homulcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6035 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
2 hvmulcl 26501 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H )  -> 
( A  .h  ( T `  x )
)  e.  ~H )
31, 2sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( A  .h  ( T `  x
) )  e.  ~H )
43anassrs 652 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  .h  ( T `  x ) )  e.  ~H )
5 eqid 2429 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  |->  ( A  .h  ( T `  x ) ) )  =  ( x  e. 
~H  |->  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
64, 5fmptd 6061 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( x  e.  ~H  |->  ( A  .h  ( T `  x )
) ) : ~H --> ~H )
7 hommval 27224 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
)  =  ( x  e.  ~H  |->  ( A  .h  ( T `  x ) ) ) )
87feq1d 5732 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) : ~H --> ~H  <->  ( x  e.  ~H  |->  ( A  .h  ( T `  x ) ) ) : ~H --> ~H ) )
96, 8mpbird 235 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A  .op  T
) : ~H --> ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   ~Hchil 26407    .h csm 26409    .op chot 26427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-hilex 26487  ax-hfvmul 26493
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-homul 27219
This theorem is referenced by:  honegsubi  27284  homulid2  27288  homco1  27289  homulass  27290  hoadddi  27291  hoadddir  27292  hosubneg  27295  hosubdi  27296  honegsubdi  27298  honegsubdi2  27299  hosub4  27301  hosubsub4  27306  hosubeq0i  27314  nmopnegi  27453  homco2  27465  lnopmi  27488  hmopm  27509  nmophmi  27519  adjmul  27580  opsqrlem1  27628  opsqrlem6  27633
  Copyright terms: Public domain W3C validator