Theorem homib 15145

Description: The homset which ((id` T)` A) belongs to. JFM CAT₁ th. 55.

Hypotheses

Ref	Expression
homib.1	|- O = dom (id` T)
homib.2	|- J = (id` T)
homib.3	|- H = ( hom ` T)

Assertion

Ref	Expression
homib	|- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. (H` <.A, A>.))

Proof of Theorem homib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
2		homib.1	. . . 4 |- O = dom (id` T)
3		homib.2	. . . 4 |- J = (id` T)
4	1, 2, 3	jdmo 15125	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. dom (dom` T))
5		homib.3	. . . . 5 |- H = ( hom ` T)
6		eqid 1884	. . . . 5 |- (dom` T) = (dom` T)
7		eqid 1884	. . . . 5 |- (cod` T) = (cod` T)
8	1, 5, 6, 7	mrdmcd 15143	. . . 4 |- (T e. Cat -> ((J` A) e. dom (dom` T) -> (J` A) e. (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.)))
9	8	adantr 425	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((J` A) e. dom (dom` T) -> (J` A) e. (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.)))
10	4, 9	mpd 29	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.))
11		eqid 1884	. . . . . 6 |- (id` T) = (id` T)
12	2, 6, 11, 7	idosc 15116	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (((dom` T)` ((id` T)` A)) = A /\ ((cod` T)` ((id` T)` A)) = A))
13	3	eqcomi 1888	. . . . . . . . . 10 |- (id` T) = J
14	13	fveq1i 4682	. . . . . . . . 9 |- ((id` T)` A) = (J` A)
15	14	fveq2i 4684	. . . . . . . 8 |- ((dom` T)` ((id` T)` A)) = ((dom` T)` (J` A))
16	15	eqeq1i 1891	. . . . . . 7 |- (((dom` T)` ((id` T)` A)) = A <-> ((dom` T)` (J` A)) = A)
17	16	biimpi 168	. . . . . 6 |- (((dom` T)` ((id` T)` A)) = A -> ((dom` T)` (J` A)) = A)
18	17	adantr 425	. . . . 5 |- ((((dom` T)` ((id` T)` A)) = A /\ ((cod` T)` ((id` T)` A)) = A) -> ((dom` T)` (J` A)) = A)
19	12, 18	syl 12	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((dom` T)` (J` A)) = A)
20		catded 15111	. . . . . 6 |- (T e. Cat -> T e. Ded )
21	20	anim1i 361	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (T e. Ded /\ A e. O))
22	13	dmeqi 4158	. . . . . . . 8 |- dom (id` T) = dom J
23	2, 22	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- O = dom J
24	23, 6, 3, 7	idosd 15091	. . . . . 6 |- ((T e. Ded /\ A e. O) -> (((dom` T)` (J` A)) = A /\ ((cod` T)` (J` A)) = A))
25		ancom 482	. . . . . 6 |- ((((dom` T)` (J` A)) = A /\ ((cod` T)` (J` A)) = A) <-> (((cod` T)` (J` A)) = A /\ ((dom` T)` (J` A)) = A))
26	24, 25	sylib 215	. . . . 5 |- ((T e. Ded /\ A e. O) -> (((cod` T)` (J` A)) = A /\ ((dom` T)` (J` A)) = A))
27		simpl 346	. . . . 5 |- ((((cod` T)` (J` A)) = A /\ ((dom` T)` (J` A)) = A) -> ((cod` T)` (J` A)) = A)
28	21, 26, 27	3syl 24	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((cod` T)` (J` A)) = A)
29	19, 28	opeq12d 3166	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>. = <.A, A>.)
30	29	fveq2d 4685	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.) = (H` <.A, A>.))
31	10, 30	eleqtrd 1973	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. (H` <.A, A>.))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061   Ded cded 15081   Cat ccat 15099   hom chom 15134

This theorem is referenced by:  hine 15146  immon 15167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100  df-hom 15135

Copyright terms: Public domain