Theorem homgrf 15151

Description: Homset of a composite. JFM CAT₁ th. 51

Hypotheses

Ref	Expression
homgrf.1	|- O = dom (id` T)
homgrf.2	|- H = ( hom ` T)
homgrf.3	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
homgrf	|- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> (GRF) e. (H` <.A, C>.)))

Proof of Theorem homgrf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homgrf.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = dom (id` T)
2		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		homgrf.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( hom ` T)
4	1, 2, 3	ehm 15140	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. dom (dom` T)))
5	4	3adant3r3 1079	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. dom (dom` T)))
6	5	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (F e. (H` <.A, B>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> F e. dom (dom` T)))
7	6	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> F e. dom (dom` T)))
8	7	impcom 378	. . . . . . . 8 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> F e. dom (dom` T))
9	1, 2, 3	ehm 15140	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ C e. O) -> (G e. (H` <.B, C>.) -> G e. dom (dom` T)))
10	9	3adant3r1 1077	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (G e. (H` <.B, C>.) -> G e. dom (dom` T)))
11	10	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (G e. (H` <.B, C>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> G e. dom (dom` T)))
12	11	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> G e. dom (dom` T)))
13	12	impcom 378	. . . . . . . 8 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> G e. dom (dom` T))
14		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (dom` T) = (dom` T)
15	1, 14, 3	dehm 15141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ C e. O) -> (G e. (H` <.B, C>.) -> ((dom` T)` G) = B))
16	15	3adant3r1 1077	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (G e. (H` <.B, C>.) -> ((dom` T)` G) = B))
17	16	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (G e. (H` <.B, C>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((dom` T)` G) = B))
18	17	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((dom` T)` G) = B))
19	18	impcom 378	. . . . . . . . 9 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((dom` T)` G) = B)
20		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (cod` T) = (cod` T)
21	1, 20, 3	cehm 15142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((cod` T)` F) = B))
22	21	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> ((cod` T)` F) = B)
23	22	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> B = ((cod` T)` F))
24	23	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> B = ((cod` T)` F)))
25	24	3adant3r3 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> B = ((cod` T)` F)))
26	25	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (F e. (H` <.A, B>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> B = ((cod` T)` F)))
27	26	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> B = ((cod` T)` F)))
28	27	impcom 378	. . . . . . . . 9 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> B = ((cod` T)` F))
29	19, 28	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((dom` T)` G) = ((cod` T)` F))
30	8, 13, 29	3jca 1050	. . . . . . 7 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> (F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` G) = ((cod` T)` F)))
31	30	ex 402	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> (F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` G) = ((cod` T)` F))))
32		homgrf.3	. . . . . . . . . 10 |- R = (o` T)
33	2, 14, 20, 32	cmpmorp 15126	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Cat /\ F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T)) -> (((dom` T)` G) = ((cod` T)` F) -> (GRF) e. dom (dom` T)))
34	33	3exp 1066	. . . . . . . 8 |- (T e. Cat -> (F e. dom (dom` T) -> (G e. dom (dom` T) -> (((dom` T)` G) = ((cod` T)` F) -> (GRF) e. dom (dom` T)))))
35	34	3impd 1082	. . . . . . 7 |- (T e. Cat -> ((F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` G) = ((cod` T)` F)) -> (GRF) e. dom (dom` T)))
36	35	adantr 425	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` G) = ((cod` T)` F)) -> (GRF) e. dom (dom` T)))
37	31, 36	syld 30	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> (GRF) e. dom (dom` T)))
38	37	imp 377	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> (GRF) e. dom (dom` T))
39		catded 15111	. . . . . . . 8 |- (T e. Cat -> T e. Ded )
40	39	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> T e. Ded )
41	40, 8, 13	3jca 1050	. . . . . 6 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> (T e. Ded /\ F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T)))
42	21	3adant3r3 1079	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((cod` T)` F) = B))
43	42	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (F e. (H` <.A, B>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((cod` T)` F) = B))
44	43	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((cod` T)` F) = B))
45	44	impcom 378	. . . . . . 7 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((cod` T)` F) = B)
46	19, 45	eqtr4d 1928	. . . . . 6 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((dom` T)` G) = ((cod` T)` F))
47	2, 14, 20, 32	domcmpd 15093	. . . . . 6 |- ((T e. Ded /\ F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T)) -> (((dom` T)` G) = ((cod` T)` F) -> ((dom` T)` (GRF)) = ((dom` T)` F)))
48	41, 46, 47	sylc 83	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((dom` T)` (GRF)) = ((dom` T)` F))
49	1, 14, 3	dehm 15141	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((dom` T)` F) = A))
50	49	3adant3r3 1079	. . . . . . . 8 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> ((dom` T)` F) = A))
51	50	com12 14	. . . . . . 7 |- (F e. (H` <.A, B>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((dom` T)` F) = A))
52	51	adantr 425	. . . . . 6 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((dom` T)` F) = A))
53	52	impcom 378	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((dom` T)` F) = A)
54	48, 53	eqtrd 1925	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((dom` T)` (GRF)) = A)
55	2, 14, 20, 32	codcmpd 15094	. . . . . 6 |- ((T e. Ded /\ F e. dom (dom` T) /\ G e. dom (dom` T)) -> (((dom` T)` G) = ((cod` T)` F) -> ((cod` T)` (GRF)) = ((cod` T)` G)))
56	41, 46, 55	sylc 83	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((cod` T)` (GRF)) = ((cod` T)` G))
57	1, 20, 3	cehm 15142	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ C e. O) -> (G e. (H` <.B, C>.) -> ((cod` T)` G) = C))
58	57	3adant3r1 1077	. . . . . . . 8 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> (G e. (H` <.B, C>.) -> ((cod` T)` G) = C))
59	58	com12 14	. . . . . . 7 |- (G e. (H` <.B, C>.) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((cod` T)` G) = C))
60	59	adantl 424	. . . . . 6 |- ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((cod` T)` G) = C))
61	60	impcom 378	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((cod` T)` G) = C)
62	56, 61	eqtrd 1925	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((cod` T)` (GRF)) = C)
63	38, 54, 62	3jca 1050	. . 3 |- (((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) /\ (F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.))) -> ((GRF) e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` (GRF)) = A /\ ((cod` T)` (GRF)) = C))
64	63	ex 402	. 2 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> ((GRF) e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` (GRF)) = A /\ ((cod` T)` (GRF)) = C)))
65	1, 2, 14, 20, 3	ishomd 15139	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ C e. O) -> ((GRF) e. (H` <.A, C>.) <-> ((GRF) e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` (GRF)) = A /\ ((cod` T)` (GRF)) = C)))
66	65	3adant3r2 1078	. 2 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((GRF) e. (H` <.A, C>.) <-> ((GRF) e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` (GRF)) = A /\ ((cod` T)` (GRF)) = C)))
67	64, 66	sylibrd 221	1 |- ((T e. Cat /\ (A e. O /\ B e. O /\ C e. O)) -> ((F e. (H` <.A, B>.) /\ G e. (H` <.B, C>.)) -> (GRF) e. (H` <.A, C>.)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Ded cded 15081   Cat ccat 15099   hom chom 15134

This theorem is referenced by:  cmpmon 15164  icmpmon 15165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100  df-hom 15135

Copyright terms: Public domain