Theorem homco1 11364

Description: Associative law for scalar product and composition of operators.

Assertion

Ref	Expression
homco1	|- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U)))

Proof of Theorem homco1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homval 11151	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ (U` x) e. ~H) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
2		ffvelrn 4787	. . . . . . . . 9 |- ((U:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (U` x) e. ~H)
3	1, 2	syl3an3 1132	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ (U:~H-->~H /\ x e. ~H)) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
4	3	3expa 1067	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H) /\ (U:~H-->~H /\ x e. ~H)) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
5	4	exp43 415	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (T:~H-->~H -> (U:~H-->~H -> (x e. ~H -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x)))))))
6	5	3imp1 1081	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
7		fvco3 4739	. . . . . . . . 9 |- ((Fun (A .op T) /\ U:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x)))
8		homulcl 11322	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H) -> (A .op T):~H-->~H)
9		ffun 4565	. . . . . . . . . 10 |- ((A .op T):~H-->~H -> Fun (A .op T))
10	8, 9	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H) -> Fun (A .op T))
11	7, 10	syl3an1 1130	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H) /\ U:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x)))
12	11	3expia 1069	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H) /\ U:~H-->~H) -> (x e. ~H -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x))))
13	12	3impa 1062	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> (x e. ~H -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x))))
14	13	imp 377	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x)))
15		fvco3 4739	. . . . . . . . 9 |- ((Fun T /\ U:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((T o. U)` x) = (T` (U` x)))
16		ffun 4565	. . . . . . . . 9 |- (T:~H-->~H -> Fun T)
17	15, 16	syl3an1 1130	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-->~H /\ U:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((T o. U)` x) = (T` (U` x)))
18	17	3expa 1067	. . . . . . 7 |- (((T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> ((T o. U)` x) = (T` (U` x)))
19	18	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- (((T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (A .h ((T o. U)` x)) = (A .h (T` (U` x))))
20	19	3adantl1 1032	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (A .h ((T o. U)` x)) = (A .h (T` (U` x))))
21	6, 14, 20	3eqtr4d 1937	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (((A .op T) o. U)` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
22		homval 11151	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (T o. U):~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
23		fco 4573	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> (T o. U):~H-->~H)
24	22, 23	syl3an2 1131	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
25	24	3expia 1069	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (T:~H-->~H /\ U:~H-->~H)) -> (x e. ~H -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x))))
26	25	3impb 1063	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> (x e. ~H -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x))))
27	26	imp 377	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
28	21, 27	eqtr4d 1928	. . 3 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x))
29	28	r19.21aiva 2176	. 2 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> A.x e. ~H (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x))
30		fco 4573	. . . . 5 |- (((A .op T):~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> ((A .op T) o. U):~H-->~H)
31	30, 8	sylan 497	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T:~H-->~H) /\ U:~H-->~H) -> ((A .op T) o. U):~H-->~H)
32	31	3impa 1062	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> ((A .op T) o. U):~H-->~H)
33		homulcl 11322	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (T o. U):~H-->~H) -> (A .op (T o. U)):~H-->~H)
34	33, 23	sylan2 500	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (T:~H-->~H /\ U:~H-->~H)) -> (A .op (T o. U)):~H-->~H)
35	34	3impb 1063	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> (A .op (T o. U)):~H-->~H)
36		hoeq 11323	. . 3 |- ((((A .op T) o. U):~H-->~H /\ (A .op (T o. U)):~H-->~H) -> (A.x e. ~H (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x) <-> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U))))
37	32, 35, 36	syl11anc 524	. 2 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> (A.x e. ~H (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x) <-> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U))))
38	29, 37	mpbid 212	1 |- ((A e. CC /\ T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  ~Hchil 10420   .h csm 10422   .op chot 10440

This theorem is referenced by:  opsqrlem1 11711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvmul 10507

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-homul 11140

Copyright terms: Public domain