Theorem homcardus 14894

Description: Homeomorphisms preserve the cardinality of the underlying sets.

Hypotheses

Ref	Expression
homcardus.1	|- X = U.J
homcardus.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
homcardus	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K -> X ~~ Y))

Proof of Theorem homcardus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homcardus.1	. . . 4 |- X = U.J
2		homcardus.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	hmeomap 10236	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (f e. (J Homeo K) -> f:X-1-1-onto->Y))
4	3	eximdv 1669	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (E.f f e. (J Homeo K) -> E.f f:X-1-1-onto->Y))
5		hmph 10241	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K <-> E.f f e. (J Homeo K)))
6		uniexg 3795	. . . . 5 |- (K e. Top -> U.K e. _V)
7	6, 2	syl5eqel 1975	. . . 4 |- (K e. Top -> Y e. _V)
8	7	adantl 424	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> Y e. _V)
9		breng 5434	. . 3 |- (Y e. _V -> (X ~~ Y <-> E.f f:X-1-1-onto->Y))
10	8, 9	syl 12	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (X ~~ Y <-> E.f f:X-1-1-onto->Y))
11	4, 5, 10	3imtr4d 602	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K -> X ~~ Y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884   ~~ cen 5423  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230   ~= chomeo 10231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-en 5427  df-homeo 10232  df-hmph 10233

Copyright terms: Public domain