MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Unicode version

Theorem homarcl2 15025
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homarcl2.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
homarcl2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5828 . . . 4  |-  ( F  e.  ( H `  <. X ,  Y >. )  ->  <. X ,  Y >.  e.  dom  H )
2 df-ov 6206 . . . 4  |-  ( X H Y )  =  ( H `  <. X ,  Y >. )
31, 2eleq2s 2562 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  <. X ,  Y >.  e.  dom  H
)
4 homahom.h . . . . 5  |-  H  =  (Homa
`  C )
5 homarcl2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
64homarcl 15018 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  C  e.  Cat )
74, 5, 6homaf 15020 . . . 4  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  H : ( B  X.  B ) --> ~P (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
8 fdm 5674 . . . 4  |-  ( H : ( B  X.  B ) --> ~P (
( B  X.  B
)  X.  _V )  ->  dom  H  =  ( B  X.  B ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  dom  H  =  ( B  X.  B ) )
103, 9eleqtrd 2544 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
11 opelxp 4980 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
1210, 11sylib 196 1  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3971   <.cop 3994    X. cxp 4949   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295  Homachoma 15013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-homa 15016
This theorem is referenced by:  homarel  15026  homa1  15027  homahom2  15028  homadm  15030  homacd  15031  arwdm  15037  arwcd  15038  coahom  15060  arwlid  15062  arwrid  15063  arwass  15064
  Copyright terms: Public domain W3C validator