MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Unicode version

Theorem homarcl2 15881
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homarcl2.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
homarcl2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5907 . . . 4  |-  ( F  e.  ( H `  <. X ,  Y >. )  ->  <. X ,  Y >.  e.  dom  H )
2 df-ov 6308 . . . 4  |-  ( X H Y )  =  ( H `  <. X ,  Y >. )
31, 2eleq2s 2537 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  <. X ,  Y >.  e.  dom  H
)
4 homahom.h . . . . 5  |-  H  =  (Homa
`  C )
5 homarcl2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
64homarcl 15874 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  C  e.  Cat )
74, 5, 6homaf 15876 . . . 4  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  H : ( B  X.  B ) --> ~P (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
8 fdm 5750 . . . 4  |-  ( H : ( B  X.  B ) --> ~P (
( B  X.  B
)  X.  _V )  ->  dom  H  =  ( B  X.  B ) )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  dom  H  =  ( B  X.  B ) )
103, 9eleqtrd 2519 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
11 opelxp 4884 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
1210, 11sylib 199 1  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   ~Pcpw 3985   <.cop 4008    X. cxp 4852   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084  Homachoma 15869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-homa 15872
This theorem is referenced by:  homarel  15882  homa1  15883  homahom2  15884  homadm  15886  homacd  15887  arwdm  15893  arwcd  15894  coahom  15916  arwlid  15918  arwrid  15919  arwass  15920
  Copyright terms: Public domain W3C validator