MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homa1 Structured version   Unicode version

Theorem homa1 15433
Description: The first component of an arrow is the ordered pair of domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
homahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
Assertion
Ref Expression
homa1  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  Z  =  <. X ,  Y >. )

Proof of Theorem homa1
StepHypRef Expression
1 df-br 4368 . . . 4  |-  ( Z ( X H Y ) F  <->  <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y ) )
2 homahom.h . . . . 5  |-  H  =  (Homa
`  C )
3 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
42homarcl 15424 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  C  e.  Cat )
5 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
62, 3homarcl2 15431 . . . . . 6  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  ( Base `  C
)  /\  Y  e.  ( Base `  C )
) )
76simpld 457 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
86simprd 461 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
92, 3, 4, 5, 7, 8elhoma 15428 . . . 4  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  ( Z
( X H Y ) F  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) ) ) )
101, 9sylbi 195 . . 3  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  ( Z ( X H Y ) F  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) ) ) )
1110ibi 241 . 2  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X ( Hom  `  C
) Y ) ) )
1211simpld 457 1  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  Z  =  <. X ,  Y >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   <.cop 3950   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   Hom chom 14713  Homachoma 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-homa 15422
This theorem is referenced by:  homadm  15436  homacd  15437  homadmcd  15438
  Copyright terms: Public domain W3C validator