Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hoiprodp1 38447
Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension  n  +  1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
hoiprodp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
hoiprodp1.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
hoiprodp1.z  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  Y
)
hoiprodp1.x  |-  X  =  ( Y  u.  { Z } )
hoiprodp1.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
hoiprodp1.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
hoiprodp1.g  |-  G  = 
prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  =  ( G  x.  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, k    B, a,
b, k    X, a,
b, k, x    k, Y    k, Z    ph, a, b, k, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x, k, a, b)    L( x, k, a, b)    V( x, k, a, b)    Y( x, a, b)    Z( x, a, b)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
2 hoiprodp1.x . . . 4  |-  X  =  ( Y  u.  { Z } )
3 hoiprodp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
4 snfi 7675 . . . . . 6  |-  { Z }  e.  Fin
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { Z }  e.  Fin )
6 unfi 7863 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  { Z }  e.  Fin )  ->  ( Y  u.  { Z } )  e. 
Fin )
73, 5, 6syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { Z } )  e.  Fin )
82, 7syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
10 snidg 4005 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  V  ->  Z  e.  { Z } )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  { Z } )
12 elun2 3613 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  { Z }  ->  Z  e.  ( Y  u.  { Z }
) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Y  u.  { Z }
) )
1413, 2syl6eleqr 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
15 ne0i 3748 . . . 4  |-  ( Z  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
17 hoiprodp1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
18 hoiprodp1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
191, 8, 16, 17, 18hoidmvn0val 38443 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
2017ffvelrnda 6044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
2118ffvelrnda 6044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
22 volicore 38440 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR )  -> 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  e.  RR )
2320, 21, 22syl2anc 671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  e.  RR )
2423recnd 9694 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  e.  CC )
25 fveq2 5887 . . . . . 6  |-  ( k  =  Z  ->  ( A `  k )  =  ( A `  Z ) )
26 fveq2 5887 . . . . . 6  |-  ( k  =  Z  ->  ( B `  k )  =  ( B `  Z ) )
2725, 26oveq12d 6332 . . . . 5  |-  ( k  =  Z  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )  =  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) ) )
2827fveq2d 5891 . . . 4  |-  ( k  =  Z  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) )
2928adantl 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  =  Z )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) )
308, 24, 14, 29fprodsplit1 37710 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  ( ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) ) )
312difeq1i 3558 . . . . . . . 8  |-  ( X 
\  { Z }
)  =  ( ( Y  u.  { Z } )  \  { Z } )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  \  { Z } )  =  ( ( Y  u.  { Z } )  \  { Z } ) )
33 difun2 3858 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  u.  { Z } )  \  { Z } )  =  ( Y  \  { Z } )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  u.  { Z } )  \  { Z } )  =  ( Y  \  { Z } ) )
35 hoiprodp1.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  Y
)
36 difsn 4118 . . . . . . . 8  |-  ( -.  Z  e.  Y  -> 
( Y  \  { Z } )  =  Y )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { Z } )  =  Y )
3832, 34, 373eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  \  { Z } )  =  Y )
3938prodeq1d 14023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
40 hoiprodp1.g . . . . . . 7  |-  G  = 
prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )
4140eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  G
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  G )
4339, 42eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  G )
4443oveq2d 6330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )  =  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  x.  G ) )
4517, 14ffvelrnd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  e.  RR )
4618, 14ffvelrnd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  e.  RR )
47 volicore 38440 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  ( B `  Z )  e.  RR )  -> 
( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  e.  RR )
4845, 46, 47syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  e.  RR )
4948recnd 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  e.  CC )
5017adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  A : X --> RR )
51 ssun1 3608 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  C_  ( Y  u.  { Z } )
5251, 2sseqtr4i 3476 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  C_  X
53 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Y  ->  k  e.  Y )
5452, 53sseldi 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Y  ->  k  e.  X )
5554adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  k  e.  X )
5650, 55ffvelrnd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
5718adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  B : X --> RR )
5857, 55ffvelrnd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
5956, 58, 22syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  e.  RR )
603, 59fprodrecl 14055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  e.  RR )
6140, 60syl5eqel 2543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
6261recnd 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
6349, 62mulcomd 9689 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  x.  G )  =  ( G  x.  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z ) ) ) ) )
6444, 63eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  x.  prod_ k  e.  ( X  \  { Z } ) ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )  =  ( G  x.  ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) ) ) ) )
6519, 30, 643eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  =  ( G  x.  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632    \ cdif 3412    u. cun 3413   (/)c0 3742   ifcif 3892   {csn 3979    |-> cmpt 4474   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316    ^m cmap 7497   Fincfn 7594   RRcr 9563   0cc0 9564    x. cmul 9569   [,)cico 11665   prod_cprod 14007   volcvol 22463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-prod 14008  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cmp 20450  df-ovol 22464  df-vol 22466
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  38455  hoidmvlelem4  38457
  Copyright terms: Public domain W3C validator