Theorem hoiprodp1 38447

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension n + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoiprodp1.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
hoiprodp1.3	|- ( ph -> Z e. V )
hoiprodp1.z	|- ( ph -> -. Z e. Y )
hoiprodp1.x	|- X = ( Y u. { Z } )
hoiprodp1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hoiprodp1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
hoiprodp1.g	|- G = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, k   B, a, b, k   X, a, b, k, x   k, Y   k, Z   ph, a, b, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x, k, a, b)   L( x, k, a, b)   V( x, k, a, b)   Y( x, a, b)   Z( x, a, b)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
2		hoiprodp1.x	. . . 4 |- X = ( Y u. { Z } )
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
4		snfi 7675	. . . . . 6 |- { Z } e. Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { Z } e. Fin )
6		unfi 7863	. . . . 5 |- ( ( Y e. Fin /\ { Z } e. Fin ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
7	3, 5, 6	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
8	2, 7	syl5eqel 2543	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
10		snidg 4005	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. { Z } )
12		elun2 3613	. . . . . 6 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
14	13, 2	syl6eleqr 2550	. . . 4 |- ( ph -> Z e. X )
15		ne0i 3748	. . . 4 |- ( Z e. X -> X =/= (/) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
17		hoiprodp1.a	. . 3 |- ( ph -> A : X --> RR )
18		hoiprodp1.b	. . 3 |- ( ph -> B : X --> RR )
19	1, 8, 16, 17, 18	hoidmvn0val 38443	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
20	17	ffvelrnda 6044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
21	18	ffvelrnda 6044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
22		volicore 38440	. . . . 5 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
23	20, 21, 22	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
24	23	recnd 9694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
25		fveq2 5887	. . . . . 6 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
26		fveq2 5887	. . . . . 6 |- ( k = Z -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
27	25, 26	oveq12d 6332	. . . . 5 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
28	27	fveq2d 5891	. . . 4 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
29	28	adantl 472	. . 3 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
30	8, 24, 14, 29	fprodsplit1 37710	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
31	2	difeq1i 3558	. . . . . . . 8 |- ( X \ { Z } ) = ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) = ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } ) )
33		difun2 3858	. . . . . . . 8 |- ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } ) = ( Y \ { Z } )
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } ) = ( Y \ { Z } ) )
35		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. Z e. Y )
36		difsn 4118	. . . . . . . 8 |- ( -. Z e. Y -> ( Y \ { Z } ) = Y )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y \ { Z } ) = Y )
38	32, 34, 37	3eqtrd 2499	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) = Y )
39	38	prodeq1d 14023	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
40		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 |- G = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
41	40	eqcomi 2470	. . . . . 6 |- prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G )
43	39, 42	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G )
44	43	oveq2d 6330	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. G ) )
45	17, 14	ffvelrnd 6045	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
46	18, 14	ffvelrnd 6045	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
47		volicore 38440	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
48	45, 46, 47	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
49	48	recnd 9694	. . . 4 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. CC )
50	17	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> A : X --> RR )
51		ssun1 3608	. . . . . . . . . . . 12 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
52	51, 2	sseqtr4i 3476	. . . . . . . . . . 11 |- Y C_ X
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Y -> k e. Y )
54	52, 53	sseldi 3441	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Y -> k e. X )
55	54	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> k e. X )
56	50, 55	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( A ` k ) e. RR )
57	18	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> B : X --> RR )
58	57, 55	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( B ` k ) e. RR )
59	56, 58, 22	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
60	3, 59	fprodrecl 14055	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
61	40, 60	syl5eqel 2543	. . . . 5 |- ( ph -> G e. RR )
62	61	recnd 9694	. . . 4 |- ( ph -> G e. CC )
63	49, 62	mulcomd 9689	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. G ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )
64	44, 63	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )
65	19, 30, 64	3eqtrd 2499	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   \ cdif 3412   u. cun 3413   (/)c0 3742   ifcif 3892   {csn 3979   |-> cmpt 4474   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   |-> cmpt2 6316   ^m cmap 7497   Fincfn 7594   RRcr 9563   0cc0 9564   x. cmul 9569   [,)cico 11665   prod_cprod 14007   volcvol 22463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-prod 14008  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cmp 20450  df-ovol 22464  df-vol 22466

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  38455  hoidmvlelem4  38457