Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hoimbl 38571
 Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x
hoimbl.s voln
hoimbl.a
hoimbl.b
Assertion
Ref Expression
hoimbl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5
21adantr 472 . . . 4
32rrnmbl 38554 . . 3 voln
4 reex 9648 . . . . . . . . 9
5 mapdm0 37542 . . . . . . . . 9
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8
76eqcomi 2480 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 id 22 . . . . . . . 8
109ixpeq1d 7552 . . . . . . 7
11 ixp0x 7568 . . . . . . . 8
1211a1i 11 . . . . . . 7
1310, 12eqtrd 2505 . . . . . 6
14 oveq2 6316 . . . . . 6
158, 13, 143eqtr4d 2515 . . . . 5
1615adantl 473 . . . 4
17 hoimbl.s . . . . 5 voln
1817a1i 11 . . . 4 voln
1916, 18eleq12d 2543 . . 3 voln
203, 19mpbird 240 . 2
229necon3bi 2669 . . . 4
24 hoimbl.a . . . 4
26 hoimbl.b . . . 4
28 id 22 . . . . . 6
29 eqidd 2472 . . . . . 6
3028ixpeq1d 7552 . . . . . . 7
31 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
3231ifbid 3894 . . . . . . . . 9
3332cbvixpv 7558 . . . . . . . 8
3433a1i 11 . . . . . . 7
3530, 34eqtrd 2505 . . . . . 6
3628, 29, 35mpt2eq123dv 6372 . . . . 5
37 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9
3837ifbid 3894 . . . . . . . 8
3938ixpeq2dv 7556 . . . . . . 7
40 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
4140ifeq1d 3890 . . . . . . . 8
4241ixpeq2dv 7556 . . . . . . 7
4339, 42cbvmpt2v 6390 . . . . . 6
4443a1i 11 . . . . 5
4536, 44eqtrd 2505 . . . 4
4645cbvmptv 4488 . . 3
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 38570 . 2
4820, 47pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031  c0 3722  cif 3872  csn 3959   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490  cixp 7540  cfn 7587  cr 9556   cmnf 9691  cioo 11660  cico 11662  volncvoln 38478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-salg 38282  df-sumge0 38319  df-mea 38404  df-ome 38430  df-caragen 38432  df-ovoln 38477  df-voln 38479 This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  38573
 Copyright terms: Public domain W3C validator