Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hoimbl 38571
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hoimbl.s  |-  S  =  dom  (voln `  X
)
hoimbl.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
hoimbl.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
Assertion
Ref Expression
hoimbl  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  e.  S )
Distinct variable groups:    A, i    B, i    S, i    i, X    ph, i

Proof of Theorem hoimbl
Dummy variables  l  x  y  h  j  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoimbl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
21adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X  e.  Fin )
32rrnmbl 38554 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  e.  dom  (voln `  X ) )
4 reex 9648 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
5 mapdm0 37542 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
}
76eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  { (/) }  =  ( RR  ^m  (/) )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  { (/) }  =  ( RR  ^m  (/) ) )
9 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  X  =  (/) )
109ixpeq1d 7552 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  =  X_ i  e.  (/)  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i ) ) )
11 ixp0x 7568 . . . . . . . 8  |-  X_ i  e.  (/)  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) )  =  { (/)
}
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ i  e.  (/)  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) )  =  { (/)
} )
1310, 12eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  =  { (/)
} )
14 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
158, 13, 143eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  =  ( RR  ^m  X ) )
1615adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X_ i  e.  X  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) )  =  ( RR  ^m  X ) )
17 hoimbl.s . . . . 5  |-  S  =  dom  (voln `  X
)
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  S  =  dom  (voln `  X )
)
1916, 18eleq12d 2543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( X_ i  e.  X  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) )  e.  S  <->  ( RR  ^m  X )  e.  dom  (voln `  X ) ) )
203, 19mpbird 240 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  X_ i  e.  X  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) )  e.  S
)
211adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  e.  Fin )
229necon3bi 2669 . . . 4  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
2322adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
24 hoimbl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
2524adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  A : X --> RR )
26 hoimbl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
2726adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  B : X --> RR )
28 id 22 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  w  =  x )
29 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  RR  =  RR )
3028ixpeq1d 7552 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  X_ j  e.  w  if (
j  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR )  =  X_ j  e.  x  if ( j  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )
31 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
j  =  h  <->  i  =  h ) )
3231ifbid 3894 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR )  =  if (
i  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR ) )
3332cbvixpv 7558 . . . . . . . 8  |-  X_ j  e.  x  if (
j  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR )  =  X_ i  e.  x  if ( i  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  X_ j  e.  x  if (
j  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR )  =  X_ i  e.  x  if ( i  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )
3530, 34eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  X_ j  e.  w  if (
j  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR )  =  X_ i  e.  x  if ( i  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )
3628, 29, 35mpt2eq123dv 6372 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
h  e.  w ,  z  e.  RR  |->  X_ j  e.  w  if ( j  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )  =  ( h  e.  x ,  z  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) ) )
37 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  l  ->  (
i  =  h  <->  i  =  l ) )
3837ifbid 3894 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  l  ->  if ( i  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR )  =  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) z
) ,  RR ) )
3938ixpeq2dv 7556 . . . . . . 7  |-  ( h  =  l  ->  X_ i  e.  x  if (
i  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR )  =  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )
40 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( -oo (,) z )  =  ( -oo (,) y
) )
4140ifeq1d 3890 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) z ) ,  RR )  =  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
4241ixpeq2dv 7556 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) z
) ,  RR )  =  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) )
4339, 42cbvmpt2v 6390 . . . . . 6  |-  ( h  e.  x ,  z  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if (
i  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR ) )  =  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
h  e.  x ,  z  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )  =  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
4536, 44eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
h  e.  w ,  z  e.  RR  |->  X_ j  e.  w  if ( j  =  h ,  ( -oo (,) z ) ,  RR ) )  =  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
4645cbvmptv 4488 . . 3  |-  ( w  e.  Fin  |->  ( h  e.  w ,  z  e.  RR  |->  X_ j  e.  w  if (
j  =  h ,  ( -oo (,) z
) ,  RR ) ) )  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
4721, 23, 17, 25, 27, 46hoimbllem 38570 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  e.  S
)
4820, 47pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   -oocmnf 9691   (,)cioo 11660   [,)cico 11662  volncvoln 38478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-salg 38282  df-sumge0 38319  df-mea 38404  df-ome 38430  df-caragen 38432  df-ovoln 38477  df-voln 38479
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  38573
  Copyright terms: Public domain W3C validator