Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvlelem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hoidmvlelem5 38539
 Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvlelem5.l
hoidmvlelem5.f
hoidmvlelem5.y
hoidmvlelem5.z
hoidmvlelem5.w
hoidmvlelem5.a
hoidmvlelem5.b
hoidmvlelem5.c
hoidmvlelem5.d
hoidmvlelem5.i Σ^
hoidmvlelem5.s
hoidmvlelem5.n
Assertion
Ref Expression
hoidmvlelem5 Σ^
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,,,,,,,,)   (,)

Proof of Theorem hoidmvlelem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . 5
2 nfre1 2846 . . . . 5
31, 2nfan 2031 . . . 4
4 hoidmvlelem5.l . . . 4
5 hoidmvlelem5.w . . . . . 6
6 hoidmvlelem5.f . . . . . . . 8
7 hoidmvlelem5.y . . . . . . . 8
8 ssfi 7810 . . . . . . . 8
96, 7, 8syl2anc 673 . . . . . . 7
10 snfi 7668 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
12 unfi 7856 . . . . . . 7
139, 11, 12syl2anc 673 . . . . . 6
145, 13syl5eqel 2553 . . . . 5
1514adantr 472 . . . 4
16 hoidmvlelem5.a . . . . 5
1716adantr 472 . . . 4
18 hoidmvlelem5.b . . . . 5
1918adantr 472 . . . 4
20 simpr 468 . . . 4
213, 4, 15, 17, 19, 20hoidmvval0 38527 . . 3
22 nnex 10637 . . . . . 6
2322a1i 11 . . . . 5
24 icossicc 11746 . . . . . . 7
2514adantr 472 . . . . . . . 8
26 hoidmvlelem5.c . . . . . . . . . 10
2726ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
28 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
30 hoidmvlelem5.d . . . . . . . . . 10
3130ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
32 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8
344, 25, 29, 33hoidmvcl 38522 . . . . . . 7
3524, 34sseldi 3416 . . . . . 6
36 eqid 2471 . . . . . 6
3735, 36fmptd 6061 . . . . 5
3823, 37sge0ge0 38340 . . . 4 Σ^
3938adantr 472 . . 3 Σ^
4021, 39eqbrtrd 4416 . 2 Σ^
41 icossxr 11744 . . . . . . 7
424, 14, 16, 18hoidmvcl 38522 . . . . . . 7
4341, 42sseldi 3416 . . . . . 6
4443adantr 472 . . . . 5 Σ^
4523, 37sge0xrcl 38341 . . . . . 6 Σ^
4645adantr 472 . . . . 5 Σ^ Σ^
47 rge0ssre 11766 . . . . . . . . 9
4847, 42sseldi 3416 . . . . . . . 8
49 ltpnf 11445 . . . . . . . 8
5048, 49syl 17 . . . . . . 7
5150adantr 472 . . . . . 6 Σ^
52 id 22 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
5352eqcomd 2477 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
5453adantl 473 . . . . . 6 Σ^ Σ^
5551, 54breqtrd 4420 . . . . 5 Σ^ Σ^
5644, 46, 55xrltled 37574 . . . 4 Σ^ Σ^
5756adantlr 729 . . 3 Σ^ Σ^
58 simpll 768 . . . 4 Σ^
59 simpr 468 . . . . . 6
6016ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
6118ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
6260, 61ltnled 9799 . . . . . . . . 9
6362ralbidva 2828 . . . . . . . 8
64 ralnex 2834 . . . . . . . . 9
6564a1i 11 . . . . . . . 8
6663, 65bitrd 261 . . . . . . 7
6766adantr 472 . . . . . 6
6859, 67mpbird 240 . . . . 5
6968adantr 472 . . . 4 Σ^
70 simpr 468 . . . . . 6 Σ^ Σ^
7122a1i 11 . . . . . . 7 Σ^
7237adantr 472 . . . . . . 7 Σ^
7371, 72sge0repnf 38342 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^
7470, 73mpbird 240 . . . . 5 Σ^ Σ^
7574adantlr 729 . . . 4 Σ^ Σ^
76 simpll 768 . . . . . . 7 Σ^
77 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
78 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
8079cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
8180fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
8281eleq1i 2540 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
8382biimpi 199 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
8483ad2antlr 741 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
85 simpr 468 . . . . . . 7 Σ^
866ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
877ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
88 hoidmvlelem5.n . . . . . . . . 9
8988ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
90 hoidmvlelem5.z . . . . . . . . 9
9190ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
9216ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
9318ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
94 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
95 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
9694, 95breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . 13
9796cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . 12
9897biimpi 199 . . . . . . . . . . 11
9998adantr 472 . . . . . . . . . 10
100 simpr 468 . . . . . . . . . 10
101 rspa 2774 . . . . . . . . . 10
10299, 100, 101syl2anc 673 . . . . . . . . 9
103102ad5ant25 1272 . . . . . . . 8 Σ^
10426ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
10530ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
10682biimpri 211 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
107106ad2antlr 741 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
108 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
109108breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
110109, 108ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . 13
111108, 110ifeq12d 3892 . . . . . . . . . . . 12
112111mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11
113 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
114 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
115114breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115, 114ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . 14
117113, 114, 116ifbieq12d 3899 . . . . . . . . . . . . 13
118117cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11
120112, 119eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
121120cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9
122121mpteq2i 4479 . . . . . . . 8
123 eqid 2471 . . . . . . . 8
124 simpr 468 . . . . . . . 8 Σ^
125 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
126125oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
127 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
129 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
130127, 128, 129ifbieq12d 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
131130ifeq2d 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
132131mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133132mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134133cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137135, 136fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138137fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
140139mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13
141 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143142fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144141, 143oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
145144cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . 14
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
147140, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
148147fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 Σ^ Σ^
149148oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 Σ^ Σ^
150126, 149breq12d 4408 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
151150cbvrabv 3030 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
152 eqid 2471 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
153 hoidmvlelem5.i . . . . . . . . 9 Σ^
154153ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
155 hoidmvlelem5.s . . . . . . . . 9
156155ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 Σ^
1574, 86, 87, 89, 91, 5, 92, 93, 103, 104, 105, 107, 122, 123, 124, 151, 152, 154, 156hoidmvlelem4 38538 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
15876, 84, 85, 157syl21anc 1291 . . . . . 6 Σ^ Σ^
159158ralrimiva 2809 . . . . 5 Σ^ Σ^
160 nfv 1769 . . . . . 6 Σ^
16143ad2antrr 740 . . . . . 6 Σ^
162 0xr 9705 . . . . . . . 8
163162a1i 11 . . . . . . 7 Σ^
164 pnfxr 11435 . . . . . . . 8
165164a1i 11 . . . . . . 7 Σ^
16645ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
16738ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
168 ltpnf 11445 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
169168adantl 473 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
170163, 165, 166, 167, 169elicod 11710 . . . . . 6 Σ^ Σ^
171160, 161, 170xralrple2 37664 . . . . 5 Σ^ Σ^ Σ^
172159, 171mpbird 240 . . . 4 Σ^ Σ^
17358, 69, 75, 172syl21anc 1291 . . 3 Σ^ Σ^
17457, 173pm2.61dan 808 . 2 Σ^
17540, 174pm2.61dan 808 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  cif 3872  csn 3959  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490  cixp 7540  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  crp 11325  cico 11662  cicc 11663  cprod 14036  cvol 22493  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  hoidmvle  38540
 Copyright terms: Public domain W3C validator