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Theorem hoidmvlelem4 38420
Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29, case nonempty interval and dimension of the space greater than  1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvlelem4.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
hoidmvlelem4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hoidmvlelem4.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
hoidmvlelem4.n  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
hoidmvlelem4.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( X 
\  Y ) )
hoidmvlelem4.w  |-  W  =  ( Y  u.  { Z } )
hoidmvlelem4.a  |-  ( ph  ->  A : W --> RR )
hoidmvlelem4.b  |-  ( ph  ->  B : W --> RR )
hoidmvlelem4.k  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A `  k )  <  ( B `  k
) )
hoidmvlelem4.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> ( RR 
^m  W ) )
hoidmvlelem4.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> ( RR 
^m  W ) )
hoidmvlelem4.r  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) )  e.  RR )
hoidmvlelem4.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  W ) 
|->  ( j  e.  W  |->  if ( j  e.  Y ,  ( c `
 j ) ,  if ( ( c `
 j )  <_  x ,  ( c `  j ) ,  x
) ) ) ) )
hoidmvlelem4.14  |-  G  =  ( ( A  |`  Y ) ( L `
 Y ) ( B  |`  Y )
)
hoidmvlelem4.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
hoidmvlelem4.u  |-  U  =  { z  e.  ( ( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) }
hoidmvlelem4.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
hoidmvlelem4.i  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( RR  ^m  Y ) A. f  e.  ( RR  ^m  Y ) A. g  e.  ( ( RR  ^m  Y
)  ^m  NN ) A. h  e.  (
( RR  ^m  Y
)  ^m  NN )
( X_ k  e.  Y  ( ( e `  k ) [,) (
f `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  Y  ( ( ( g `
 j ) `  k ) [,) (
( h `  j
) `  k )
)  ->  ( e
( L `  Y
) f )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( g `  j ) ( L `
 Y ) ( h `  j ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem4.i2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  W  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  W  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
hoidmvlelem4  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  <_  ( (
1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, h, j, k, x    A, c, h, j, k, x    A, e, f, g, h, j, k    z, A, h, j    B, a, b, h, j, k, x    B, c    B, f, g    z, B    C, a, b, h, j, k, x    C, c    C, g    z, C    D, a, b, h, j, k, x    D, c    D, g    z, D    E, a, b, h, k, x    E, c    z, E    G, a, b, h, k, x    G, c    z, G    H, a, b, j, k    H, c    z, H    L, a,
b, h, j, k, x    L, c    e, L, f, g    z, L    S, a, b, h, j, k, x    S, c    S, g    z, S    U, a, b, j, k, x    U, c    z, U    W, a, b, h, j, k, x    W, c    z, W    Y, a, b, h, j, k, x    Y, c   
e, Y, f, g    Z, a, b, h, j, k, x    Z, c   
g, Z    z, Z    ph, a, b, h, j, k, x    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( z, e, f, g)    B( e)    C( e, f)    D( e, f)    S( e, f)    U( e, f, g, h)    E( e, f, g, j)    G( e, f, g, j)    H( x, e, f, g, h)    W( e, f, g)    X( x, z, e, f, g, h, j, k, a, b, c)    Y( z)    Z( e, f)

Proof of Theorem hoidmvlelem4
Dummy variables  y  u  i  l  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 11740 . . 3  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2 hoidmvlelem4.l . . . 4  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
3 hoidmvlelem4.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4 hoidmvlelem4.w . . . . . 6  |-  W  =  ( Y  u.  { Z } )
5 hoidmvlelem4.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
6 hoidmvlelem4.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( X 
\  Y ) )
76eldifad 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
8 snssi 4116 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  X  ->  { Z }  C_  X )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  X )
105, 9unssd 3610 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { Z } )  C_  X
)
114, 10syl5eqss 3476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  X )
12 ssfi 7792 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  W  C_  X )  ->  W  e.  Fin )
133, 11, 12syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
14 hoidmvlelem4.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : W --> RR )
15 hoidmvlelem4.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B : W --> RR )
162, 13, 14, 15hoidmvcl 38404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
171, 16sseldi 3430 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  e.  RR )
18 1red 9658 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
19 hoidmvlelem4.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2019rpred 11341 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2118, 20readdcld 9670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  +  E
)  e.  RR )
22 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ j
ph
23 nnex 10615 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
25 icossicc 11721 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
2613adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  W  e. 
Fin )
27 hoidmvlelem4.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C : NN --> ( RR 
^m  W ) )
2827ffvelrnda 6022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  ( RR  ^m  W
) )
29 elmapi 7493 . . . . . . . 8  |-  ( ( C `  j )  e.  ( RR  ^m  W )  ->  ( C `  j ) : W --> RR )
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j ) : W --> RR )
31 hoidmvlelem4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  W ) 
|->  ( j  e.  W  |->  if ( j  e.  Y ,  ( c `
 j ) ,  if ( ( c `
 j )  <_  x ,  ( c `  j ) ,  x
) ) ) ) )
32 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  h  ->  (
j  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
33 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  h  ->  (
c `  j )  =  ( c `  h ) )
3433breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  h  ->  (
( c `  j
)  <_  x  <->  ( c `  h )  <_  x
) )
3534, 33ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  h  ->  if ( ( c `  j )  <_  x ,  ( c `  j ) ,  x
)  =  if ( ( c `  h
)  <_  x , 
( c `  h
) ,  x ) )
3632, 33, 35ifbieq12d 3908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  h  ->  if ( j  e.  Y ,  ( c `  j ) ,  if ( ( c `  j )  <_  x ,  ( c `  j ) ,  x
) )  =  if ( h  e.  Y ,  ( c `  h ) ,  if ( ( c `  h )  <_  x ,  ( c `  h ) ,  x
) ) )
3736cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  W  |->  if ( j  e.  Y , 
( c `  j
) ,  if ( ( c `  j
)  <_  x , 
( c `  j
) ,  x ) ) )  =  ( h  e.  W  |->  if ( h  e.  Y ,  ( c `  h ) ,  if ( ( c `  h )  <_  x ,  ( c `  h ) ,  x
) ) )
3837mpteq2i 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( RR  ^m  W )  |->  ( j  e.  W  |->  if ( j  e.  Y , 
( c `  j
) ,  if ( ( c `  j
)  <_  x , 
( c `  j
) ,  x ) ) ) )  =  ( c  e.  ( RR  ^m  W ) 
|->  ( h  e.  W  |->  if ( h  e.  Y ,  ( c `
 h ) ,  if ( ( c `
 h )  <_  x ,  ( c `  h ) ,  x
) ) ) )
3938mpteq2i 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  W )  |->  ( j  e.  W  |->  if ( j  e.  Y , 
( c `  j
) ,  if ( ( c `  j
)  <_  x , 
( c `  j
) ,  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  W
)  |->  ( h  e.  W  |->  if ( h  e.  Y ,  ( c `  h ) ,  if ( ( c `  h )  <_  x ,  ( c `  h ) ,  x ) ) ) ) )
4031, 39eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  ( c  e.  ( RR  ^m  W ) 
|->  ( h  e.  W  |->  if ( h  e.  Y ,  ( c `
 h ) ,  if ( ( c `
 h )  <_  x ,  ( c `  h ) ,  x
) ) ) ) )
41 snidg 3994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  ( X  \  Y )  ->  Z  e.  { Z } )
426, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  { Z } )
43 elun2 3602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  { Z }  ->  Z  e.  ( Y  u.  { Z }
) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Y  u.  { Z }
) )
454a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  =  ( Y  u.  { Z }
) )
4645eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { Z } )  =  W )
4744, 46eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
4815, 47ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  e.  RR )
4948adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `
 Z )  e.  RR )
50 hoidmvlelem4.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D : NN --> ( RR 
^m  W ) )
5150ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  ( RR  ^m  W
) )
52 elmapi 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D `  j )  e.  ( RR  ^m  W )  ->  ( D `  j ) : W --> RR )
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j ) : W --> RR )
5440, 49, 26, 53hsphoif 38398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  ( B `
 Z ) ) `
 ( D `  j ) ) : W --> RR )
552, 26, 30, 54hoidmvcl 38404 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  W
) ( ( H `
 ( B `  Z ) ) `  ( D `  j ) ) )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
5625, 55sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  W
) ( ( H `
 ( B `  Z ) ) `  ( D `  j ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5722, 24, 56sge0clmpt 38267 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5822, 24, 56sge0xrclmpt 38270 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
59 pnfxr 11412 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
6059a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
61 hoidmvlelem4.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) )  e.  RR )
6261rexrd 9690 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) )  e. 
RR* )
632, 26, 30, 53hoidmvcl 38404 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  W
) ( D `  j ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6425, 63sseldi 3430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  W
) ( D `  j ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
656eldifbd 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  Y
)
6647, 65eldifd 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( W 
\  Y ) )
6766adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  Z  e.  ( W  \  Y
) )
682, 26, 67, 4, 49, 40, 30, 53hsphoidmvle 38408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  W
) ( ( H `
 ( B `  Z ) ) `  ( D `  j ) ) )  <_  (
( C `  j
) ( L `  W ) ( D `
 j ) ) )
6922, 24, 56, 64, 68sge0lempt 38252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( D `
 j ) ) ) ) )
7061ltpnfd 11423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) )  < +oo )
7158, 62, 60, 69, 70xrlelttrd 11457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
7258, 60, 71xrltned 37580 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  =/= +oo )
73 ge0xrre 37633 . . . 4  |-  ( ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  =/= +oo )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
7457, 72, 73syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
7521, 74remulcld 9671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  ( B `
 Z ) ) `
 ( D `  j ) ) ) ) ) )  e.  RR )
7621, 61remulcld 9671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( D `
 j ) ) ) ) )  e.  RR )
77 hoidmvlelem4.14 . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( A  |`  Y ) ( L `
 Y ) ( B  |`  Y )
)
78 hoidmvlelem4.u . . . . . . 7  |-  U  =  { z  e.  ( ( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) }
79 hoidmvlelem4.s . . . . . . 7  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
8047ancli 554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  Z  e.  W ) )
81 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  Z  ->  (
k  e.  W  <->  Z  e.  W ) )
8281anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  Z  ->  (
( ph  /\  k  e.  W )  <->  ( ph  /\  Z  e.  W ) ) )
83 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  Z  ->  ( A `  k )  =  ( A `  Z ) )
84 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  Z  ->  ( B `  k )  =  ( B `  Z ) )
8583, 84breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  Z  ->  (
( A `  k
)  <  ( B `  k )  <->  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
) )
8682, 85imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  Z  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A `  k
)  <  ( B `  k ) )  <->  ( ( ph  /\  Z  e.  W
)  ->  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
) ) )
87 hoidmvlelem4.k . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( A `  k )  <  ( B `  k
) )
8886, 87vtoclg 3107 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  W  ->  (
( ph  /\  Z  e.  W )  ->  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) ) )
8947, 80, 88sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  <  ( B `  Z ) )
902, 3, 5, 6, 4, 14, 15, 27, 50, 61, 31, 77, 19, 78, 79, 89hoidmvlelem1 38417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
9148rexrd 9690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  e.  RR* )
92 iccssxr 11717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z ) )  C_  RR*
93 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  ( ( A `
 Z ) [,] ( B `  Z
) )  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z ) ) )  <_  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) } 
C_  ( ( A `
 Z ) [,] ( B `  Z
) )
9478, 93eqsstri 3462 . . . . . . . . . 10  |-  U  C_  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
)
9594, 90sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z ) ) )
9692, 95sseldi 3430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
97 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  ph )
98 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  -.  ( B `  Z )  <_  S )
9914, 47ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  e.  RR )
10099, 48iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
)  C_  RR )
101100, 95sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  S  e.  RR )
10397, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  ( B `  Z )  e.  RR )
104102, 103ltnled 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  ( S  <  ( B `  Z )  <->  -.  ( B `  Z )  <_  S ) )
10598, 104mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  S  <  ( B `  Z
) )
1063adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  X  e.  Fin )
1075adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  Y  C_  X
)
1086adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  Z  e.  ( X  \  Y ) )
10914adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  A : W
--> RR )
11015adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  B : W
--> RR )
11187adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  ( B `  Z
) )  /\  k  e.  W )  ->  ( A `  k )  <  ( B `  k
) )
112 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y  |->  0 )  =  ( y  e.  Y  |->  0 )
11327adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  C : NN
--> ( RR  ^m  W
) )
114 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
115114fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  (
( C `  i
) `  Z )  =  ( ( C `
 j ) `  Z ) )
116 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  ( D `  i )  =  ( D `  j ) )
117116fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  (
( D `  i
) `  Z )  =  ( ( D `
 j ) `  Z ) )
118115, 117oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) )  =  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
119118eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  ( S  e.  ( (
( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  <->  S  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) )
120114reseq1d 5104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( C `  i
)  |`  Y )  =  ( ( C `  j )  |`  Y ) )
121119, 120ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  if ( S  e.  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) )  =  if ( S  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 j )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )
122121cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( C `  i
)  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ,  ( ( C `  j
)  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )
12350adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  D : NN
--> ( RR  ^m  W
) )
124116reseq1d 5104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( D `  i
)  |`  Y )  =  ( ( D `  j )  |`  Y ) )
125119, 124ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  if ( S  e.  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) )  =  if ( S  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 j )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )
126125cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( D `  i
)  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ,  ( ( D `  j
)  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )
12761adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) )  e.  RR )
12819adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  E  e.  RR+ )
12990adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  S  e.  U )
130 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  S  <  ( B `  Z ) )
131 biid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  <->  S  e.  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
) )
132 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  y  ->  0  =  0 )
133132cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Y  |->  0 )  =  ( y  e.  Y  |->  0 )
134131, 133ifbieq2i 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( S  e.  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( C `  i
)  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) )  =  if ( S  e.  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
) ,  ( ( C `  i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) )
135134mpteq2i 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( C `  i
)  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( C `  i
)  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  j  ->  (
i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) )
137 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  j  ->  l  =  j )
138136, 137fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  j  ->  (
( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  l )  =  ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  j ) )
139131, 133ifbieq2i 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( S  e.  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( D `  i
)  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) )  =  if ( S  e.  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
) ,  ( ( D `  i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) )
140139mpteq2i 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( D `  i
)  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( D `  i
)  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) )
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  j  ->  (
i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) )
142141, 137fveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  j  ->  (
( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  l )  =  ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  j ) )
143138, 142oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  j  ->  (
( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( C `  i
)  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) ) `
 l ) ( L `  Y ) ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) ,  ( ( D `  i
)  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) ) `
 l ) )  =  ( ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  j ) ( L `
 Y ) ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  j ) ) )
144143cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  |->  ( ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  l ) ( L `
 Y ) ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( w  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  l ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( C `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  j ) ( L `
 Y ) ( ( i  e.  NN  |->  if ( S  e.  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ,  ( ( D `
 i )  |`  Y ) ,  ( y  e.  Y  |->  0 ) ) ) `  j ) ) )
145 hoidmvlelem4.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( RR  ^m  Y ) A. f  e.  ( RR  ^m  Y ) A. g  e.  ( ( RR  ^m  Y
)  ^m  NN ) A. h  e.  (
( RR  ^m  Y
)  ^m  NN )
( X_ k  e.  Y  ( ( e `  k ) [,) (
f `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  Y  ( ( ( g `
 j ) `  k ) [,) (
( h `  j
) `  k )
)  ->  ( e
( L `  Y
) f )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( g `  j ) ( L `
 Y ) ( h `  j ) ) ) ) ) )
146145adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  A. e  e.  ( RR  ^m  Y
) A. f  e.  ( RR  ^m  Y
) A. g  e.  ( ( RR  ^m  Y )  ^m  NN ) A. h  e.  ( ( RR  ^m  Y
)  ^m  NN )
( X_ k  e.  Y  ( ( e `  k ) [,) (
f `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  Y  ( ( ( g `
 j ) `  k ) [,) (
( h `  j
) `  k )
)  ->  ( e
( L `  Y
) f )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( g `  j ) ( L `
 Y ) ( h `  j ) ) ) ) ) )
147 hoidmvlelem4.i2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  W  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  W  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
148147adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  X_ k  e.  W  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) )  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  W  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
149 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X_ y  e.  Y  ( ( A `  y ) [,) ( B `  y )
)  |->  ( y  e.  W  |->  if ( y  e.  Y ,  ( x `  y ) ,  S ) ) )  =  ( x  e.  X_ y  e.  Y  ( ( A `  y ) [,) ( B `  y )
)  |->  ( y  e.  W  |->  if ( y  e.  Y ,  ( x `  y ) ,  S ) ) )
150 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  ( A `  y )  =  ( A `  k ) )
151 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  ( B `  y )  =  ( B `  k ) )
152150, 151oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  k  ->  (
( A `  y
) [,) ( B `
 y ) )  =  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )
153152cbvixpv 7540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ y  e.  Y  ( ( A `  y ) [,) ( B `  y
) )  =  X_ k  e.  Y  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )
154 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  (
y  e.  Y  <->  k  e.  Y ) )
155 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  (
x `  y )  =  ( x `  k ) )
156154, 155ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  e.  Y ,  ( x `  y ) ,  S
)  =  if ( k  e.  Y , 
( x `  k
) ,  S ) )
157156cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  W  |->  if ( y  e.  Y , 
( x `  y
) ,  S ) )  =  ( k  e.  W  |->  if ( k  e.  Y , 
( x `  k
) ,  S ) )
158153, 157mpteq12i 4487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X_ y  e.  Y  ( ( A `  y ) [,) ( B `  y )
)  |->  ( y  e.  W  |->  if ( y  e.  Y ,  ( x `  y ) ,  S ) ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  Y  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  |->  ( k  e.  W  |->  if ( k  e.  Y ,  ( x `  k ) ,  S ) ) )
159149, 158eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X_ y  e.  Y  ( ( A `  y ) [,) ( B `  y )
)  |->  ( y  e.  W  |->  if ( y  e.  Y ,  ( x `  y ) ,  S ) ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  Y  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  |->  ( k  e.  W  |->  if ( k  e.  Y ,  ( x `  k ) ,  S ) ) )
1602, 106, 107, 108, 4, 109, 110, 111, 112, 113, 122, 123, 126, 127, 31, 77, 128, 78, 129, 130, 144, 146, 148, 159hoidmvlelem3 38419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
16197, 105, 160syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
16294a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  C_  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z
) ) )
163162, 100sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
164163adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  C_  RR )
165 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
166165adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  =/=  (/) )
16799rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  e.  RR* )
168167adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A `  Z )  e.  RR* )
16991adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( B `  Z )  e.  RR* )
170162sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
) )
171 iccleub 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR*  /\  ( B `  Z )  e.  RR*  /\  u  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
) )  ->  u  <_  ( B `  Z
) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  ( B `  Z
) )
173172ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  u  <_  ( B `  Z ) )
174 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( B `  Z )  ->  (
u  <_  y  <->  u  <_  ( B `  Z ) ) )
175174ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( B `  Z )  ->  ( A. u  e.  U  u  <_  y  <->  A. u  e.  U  u  <_  ( B `  Z ) ) )
176175rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B `  Z
)  e.  RR  /\  A. u  e.  U  u  <_  ( B `  Z ) )  ->  E. y  e.  RR  A. u  e.  U  u  <_  y )
17748, 173, 176syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. u  e.  U  u  <_  y )
178177adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  E. y  e.  RR  A. u  e.  U  u  <_  y
)
179 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  U )
180 suprub 10570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. u  e.  U  u  <_  y )  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
181164, 166, 178, 179, 180syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
182181, 79syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  S )
183182ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  u  <_  S )
184164, 179sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  RR )
185101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  S  e.  RR )
186184, 185lenltd 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u  <_  S  <->  -.  S  <  u ) )
187186ralbidva 2824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  U  u  <_  S  <->  A. u  e.  U  -.  S  <  u ) )
188183, 187mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  -.  S  <  u )
189 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  U  -.  S  <  u  <->  -.  E. u  e.  U  S  <  u )
190188, 189sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E. u  e.  U  S  <  u
)
191190adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  ( B `  Z ) )  ->  -.  E. u  e.  U  S  <  u )
19297, 105, 191syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( B `  Z )  <_  S )  ->  -.  E. u  e.  U  S  <  u )
193161, 192condan 803 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  <_  S )
194 iccleub 11690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR*  /\  ( B `  Z )  e.  RR*  /\  S  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
) )  ->  S  <_  ( B `  Z
) )
195167, 91, 95, 194syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  <_  ( B `  Z ) )
19691, 96, 193, 195xrletrid 11452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  =  S )
19778eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ( ( A `
 Z ) [,] ( B `  Z
) )  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z ) ) )  <_  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) }  =  U
198197a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( ( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) }  =  U )
199196, 198eleq12d 2523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B `  Z )  e.  {
z  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z ) )  |  ( G  x.  (
z  -  ( A `
 Z ) ) )  <_  ( (
1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) }  <-> 
S  e.  U ) )
20090, 199mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  e.  { z  e.  ( ( A `
 Z ) [,] ( B `  Z
) )  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z ) ) )  <_  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) } )
201 oveq1 6297 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (
z  -  ( A `
 Z ) )  =  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) )
202201oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z ) ) )  =  ( G  x.  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) ) )
203 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  ( H `  z )  =  ( H `  ( B `  Z ) ) )
204203fveq1d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (
( H `  z
) `  ( D `  j ) )  =  ( ( H `  ( B `  Z ) ) `  ( D `
 j ) ) )
205204oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (
( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  z ) `
 ( D `  j ) ) )  =  ( ( C `
 j ) ( L `  W ) ( ( H `  ( B `  Z ) ) `  ( D `
 j ) ) ) )
206205mpteq2dv 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  z ) `
 ( D `  j ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `  W
) ( ( H `
 ( B `  Z ) ) `  ( D `  j ) ) ) ) )
207206fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  z ) `
 ( D `  j ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  ( B `
 Z ) ) `
 ( D `  j ) ) ) ) ) )
208207oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) )  =  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  ( B `
 Z ) ) `
 ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
209202, 208breq12d 4415 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( B `  Z )  ->  (
( G  x.  (
z  -  ( A `
 Z ) ) )  <_  ( (
1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) )  <->  ( G  x.  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
210209elrab 3196 . . . . 5  |-  ( ( B `  Z )  e.  { z  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
)  |  ( G  x.  ( z  -  ( A `  Z ) ) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  z
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) }  <-> 
( ( B `  Z )  e.  ( ( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  /\  ( G  x.  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
211200, 210sylib 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B `  Z )  e.  ( ( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  /\  ( G  x.  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
212211simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  x.  (
( B `  Z
)  -  ( A `
 Z ) ) )  <_  ( (
1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
2133, 5ssfid 37414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
214 eqid 2451 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
2152, 213, 6, 65, 4, 14, 15, 214hoiprodp1 38410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  =  ( prod_
k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  x.  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) ) )
216 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Y  ( ( B `  k )  -  ( A `  k )
)  =  prod_ k  e.  Y  ( ( B `  k )  -  ( A `  k ) ) )
21714adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  A : W --> RR )
218 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  C_  ( Y  u.  { Z } )
2194eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  u.  { Z }
)  =  W
220218, 219sseqtri 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  C_  W
221 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  k  e.  Y )
222220, 221sseldi 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  k  e.  W )
223217, 222ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
22415adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  B : W --> RR )
225224, 222ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
226222, 87syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( A `  k )  <  ( B `  k
) )
227223, 225, 226volicon0 38397 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  ( ( B `  k )  -  ( A `  k )
) )
228227prodeq2dv 13977 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  prod_ k  e.  Y  ( ( B `  k )  -  ( A `  k )
) )
22977a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( A  |`  Y )
( L `  Y
) ( B  |`  Y ) ) )
230 hoidmvlelem4.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
231220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  W )
23214, 231fssresd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  |`  Y ) : Y --> RR )
23315, 231fssresd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  |`  Y ) : Y --> RR )
2342, 213, 230, 232, 233hoidmvn0val 38406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  Y ) ( L `
 Y ) ( B  |`  Y )
)  =  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( ( A  |`  Y ) `  k
) [,) ( ( B  |`  Y ) `  k ) ) ) )
235 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Y  ->  (
( A  |`  Y ) `
 k )  =  ( A `  k
) )
236 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Y  ->  (
( B  |`  Y ) `
 k )  =  ( B `  k
) )
237235, 236oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Y  ->  (
( ( A  |`  Y ) `  k
) [,) ( ( B  |`  Y ) `  k ) )  =  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
238237fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Y  ->  ( vol `  ( ( ( A  |`  Y ) `  k ) [,) (
( B  |`  Y ) `
 k ) ) )  =  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
239238adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( vol `  ( ( ( A  |`  Y ) `  k ) [,) (
( B  |`  Y ) `
 k ) ) )  =  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
240 volico 38363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR )  -> 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  if ( ( A `  k
)  <  ( B `  k ) ,  ( ( B `  k
)  -  ( A `
 k ) ) ,  0 ) )
241223, 225, 240syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  if ( ( A `
 k )  < 
( B `  k
) ,  ( ( B `  k )  -  ( A `  k ) ) ,  0 ) )
242241, 227eqtr3d 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  if ( ( A `  k )  <  ( B `  k ) ,  ( ( B `
 k )  -  ( A `  k ) ) ,  0 )  =  ( ( B `
 k )  -  ( A `  k ) ) )
243239, 241, 2423eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Y )  ->  ( vol `  ( ( ( A  |`  Y ) `  k ) [,) (
( B  |`  Y ) `
 k ) ) )  =  ( ( B `  k )  -  ( A `  k ) ) )
244243prodeq2dv 13977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( ( A  |`  Y ) `
 k ) [,) ( ( B  |`  Y ) `  k
) ) )  = 
prod_ k  e.  Y  ( ( B `  k )  -  ( A `  k )
) )
245229, 234, 2443eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  prod_ k  e.  Y  ( ( B `  k )  -  ( A `  k ) ) )
246216, 228, 2453eqtr4d 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  G )
24799, 48, 89volicon0 38397 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  =  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z ) ) )
248246, 247oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  Y  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  x.  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) )  =  ( G  x.  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z ) ) ) )
249215, 248eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  =  ( G  x.  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) ) )
250249breq1d 4412 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( L `  W ) B )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) )  <->  ( G  x.  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) )  <_  (
( 1  +  E
)  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) ) )
251212, 250mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  <_  ( (
1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( ( H `  ( B `  Z )
) `  ( D `  j ) ) ) ) ) ) )
252 0le1 10137 . . . . 5  |-  0  <_  1
253252a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
25419rpge0d 11345 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  E )
25518, 20, 253, 254addge0d 10189 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  +  E ) )
25674, 61, 21, 255, 69lemul2ad 10547 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( ( H `  ( B `
 Z ) ) `
 ( D `  j ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( 1  +  E )  x.  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) ( L `  W ) ( D `
 j ) ) ) ) ) )
25717, 75, 76, 251, 256letrd 9792 1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 W ) B )  <_  ( (
1  +  E )  x.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 W ) ( D `  j ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292    ^m cmap 7472   X_cixp 7522   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   RR+crp 11302   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   prod_cprod 13959   volcvol 22415  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-prod 13960  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-sumge0 38205
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  38421
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