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Theorem hoidmvlelem4 38538
 Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Induction step of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29, case nonempty interval and dimension of the space greater than . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvlelem4.l
hoidmvlelem4.x
hoidmvlelem4.y
hoidmvlelem4.n
hoidmvlelem4.z
hoidmvlelem4.w
hoidmvlelem4.a
hoidmvlelem4.b
hoidmvlelem4.k
hoidmvlelem4.c
hoidmvlelem4.d
hoidmvlelem4.r Σ^
hoidmvlelem4.h
hoidmvlelem4.14
hoidmvlelem4.e
hoidmvlelem4.u Σ^
hoidmvlelem4.s
hoidmvlelem4.i Σ^
hoidmvlelem4.i2
Assertion
Ref Expression
hoidmvlelem4 Σ^
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,   ,   ,,,,,,   ,   ,   ,   ,,,,,,   ,   ,   ,   ,,,,,   ,   ,   ,,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,   ,   ,,,   ,   ,,,,,,   ,   ,   ,   ,,,,,   ,   ,   ,,,,,,   ,   ,   ,,,,,,   ,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,   ,   ,,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,,,,,,,,)   ()   (,)

Proof of Theorem hoidmvlelem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 11766 . . 3
2 hoidmvlelem4.l . . . 4
3 hoidmvlelem4.x . . . . 5
4 hoidmvlelem4.w . . . . . 6
5 hoidmvlelem4.y . . . . . . 7
6 hoidmvlelem4.z . . . . . . . . 9
76eldifad 3402 . . . . . . . 8
8 snssi 4107 . . . . . . . 8
97, 8syl 17 . . . . . . 7
105, 9unssd 3601 . . . . . 6
114, 10syl5eqss 3462 . . . . 5
12 ssfi 7810 . . . . 5
133, 11, 12syl2anc 673 . . . 4
14 hoidmvlelem4.a . . . 4
15 hoidmvlelem4.b . . . 4
162, 13, 14, 15hoidmvcl 38522 . . 3
171, 16sseldi 3416 . 2
18 1red 9676 . . . 4
19 hoidmvlelem4.e . . . . 5
2019rpred 11364 . . . 4
2118, 20readdcld 9688 . . 3
22 nfv 1769 . . . . 5
23 nnex 10637 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 icossicc 11746 . . . . . 6
2613adantr 472 . . . . . . 7
27 hoidmvlelem4.c . . . . . . . . 9
2827ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
29 elmapi 7511 . . . . . . . 8
3028, 29syl 17 . . . . . . 7
31 hoidmvlelem4.h . . . . . . . . 9
32 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
33 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
3433breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
3534, 33ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . 13
3632, 33, 35ifbieq12d 3899 . . . . . . . . . . . 12
3736cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
3837mpteq2i 4479 . . . . . . . . . 10
3938mpteq2i 4479 . . . . . . . . 9
4031, 39eqtri 2493 . . . . . . . 8
41 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . 13
426, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12
43 elun2 3593 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11
454a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4645eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
4744, 46eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10
4815, 47ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
4948adantr 472 . . . . . . . 8
50 hoidmvlelem4.d . . . . . . . . . 10
5150ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
52 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8
5440, 49, 26, 53hsphoif 38516 . . . . . . 7
552, 26, 30, 54hoidmvcl 38522 . . . . . 6
5625, 55sseldi 3416 . . . . 5
5722, 24, 56sge0clmpt 38381 . . . 4 Σ^
5822, 24, 56sge0xrclmpt 38384 . . . . 5 Σ^
59 pnfxr 11435 . . . . . 6
6059a1i 11 . . . . 5
61 hoidmvlelem4.r . . . . . . 7 Σ^
6261rexrd 9708 . . . . . 6 Σ^
632, 26, 30, 53hoidmvcl 38522 . . . . . . . 8
6425, 63sseldi 3416 . . . . . . 7
656eldifbd 3403 . . . . . . . . . 10
6647, 65eldifd 3401 . . . . . . . . 9
6766adantr 472 . . . . . . . 8
682, 26, 67, 4, 49, 40, 30, 53hsphoidmvle 38526 . . . . . . 7
6922, 24, 56, 64, 68sge0lempt 38366 . . . . . 6 Σ^ Σ^
7061ltpnfd 11446 . . . . . 6 Σ^
7158, 62, 60, 69, 70xrlelttrd 11480 . . . . 5 Σ^
7258, 60, 71xrltned 37667 . . . 4 Σ^
73 ge0xrre 37729 . . . 4 Σ^ Σ^ Σ^
7457, 72, 73syl2anc 673 . . 3 Σ^
7521, 74remulcld 9689 . 2 Σ^
7621, 61remulcld 9689 . 2 Σ^
77 hoidmvlelem4.14 . . . . . . 7
78 hoidmvlelem4.u . . . . . . 7 Σ^
79 hoidmvlelem4.s . . . . . . 7
8047ancli 560 . . . . . . . 8
81 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
8281anbi2d 718 . . . . . . . . . 10
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
84 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
8583, 84breq12d 4408 . . . . . . . . . 10
8682, 85imbi12d 327 . . . . . . . . 9
87 hoidmvlelem4.k . . . . . . . . 9
8886, 87vtoclg 3093 . . . . . . . 8
8947, 80, 88sylc 61 . . . . . . 7
902, 3, 5, 6, 4, 14, 15, 27, 50, 61, 31, 77, 19, 78, 79, 89hoidmvlelem1 38535 . . . . . 6
9148rexrd 9708 . . . . . . . 8
92 iccssxr 11742 . . . . . . . . 9
93 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11 Σ^
9478, 93eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10
9594, 90sseldi 3416 . . . . . . . . 9
9692, 95sseldi 3416 . . . . . . . 8
97 simpl 464 . . . . . . . . . 10
98 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
9914, 47ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099, 48iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . . 14
101100, 95sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
10397, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103ltnled 9799 . . . . . . . . . . 11
10598, 104mpbird 240 . . . . . . . . . 10
1063adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1075adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1086adantr 472 . . . . . . . . . . 11
10914adantr 472 . . . . . . . . . . 11
11015adantr 472 . . . . . . . . . . 11
11187adantlr 729 . . . . . . . . . . 11
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
11327adantr 472 . . . . . . . . . . 11
114 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
118115, 117oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
119118eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13
120114reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . . 13
121119, 120ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . 12
122121cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
12350adantr 472 . . . . . . . . . . 11
124116reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . . 13
125119, 124ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . 12
126125cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
12761adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Σ^
12819adantr 472 . . . . . . . . . . 11
12990adantr 472 . . . . . . . . . . 11
130 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
131 biid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133132cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134131, 133ifbieq2i 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135134mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
137 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
138136, 137fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . 13
139131, 133ifbieq2i 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140139mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
142141, 137fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . . 13
143138, 142oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
144143cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
145 hoidmvlelem4.i . . . . . . . . . . . 12 Σ^
146145adantr 472 . . . . . . . . . . 11 Σ^
147 hoidmvlelem4.i2 . . . . . . . . . . . 12
148147adantr 472 . . . . . . . . . . 11
149 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
150 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
152150, 151oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
153152cbvixpv 7558 . . . . . . . . . . . . 13
154 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
156154, 155ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . 14
157156cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . 13
158153, 157mpteq12i 4480 . . . . . . . . . . . 12
159149, 158eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11
1602, 106, 107, 108, 4, 109, 110, 111, 112, 113, 122, 123, 126, 127, 31, 77, 128, 78, 129, 130, 144, 146, 148, 159hoidmvlelem3 38537 . . . . . . . . . 10
16197, 105, 160syl2anc 673 . . . . . . . . 9
16294a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163162, 100sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166165adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16799rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16991adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
170162sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
171 iccleub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
172168, 169, 170, 171syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
173172ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
174 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
175174ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
176175rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17748, 173, 176syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178177adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
181164, 166, 178, 179, 180syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15
182181, 79syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . 14
183182ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13
184164, 179sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15
185101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
186184, 185lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . 14
187186ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . 13
188183, 187mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
189 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . 12
190188, 189sylib 201 . . . . . . . . . . 11
191190adantr 472 . . . . . . . . . 10
19297, 105, 191syl2anc 673 . . . . . . . . 9
193161, 192condan 811 . . . . . . . 8
194 iccleub 11715 . . . . . . . . 9
195167, 91, 95, 194syl3anc 1292 . . . . . . . 8
19691, 96, 193, 195xrletrid 11475 . . . . . . 7
19778eqcomi 2480 . . . . . . . 8 Σ^
198197a1i 11 . . . . . . 7 Σ^
199196, 198eleq12d 2543 . . . . . 6 Σ^
20090, 199mpbird 240 . . . . 5 Σ^
201 oveq1 6315 . . . . . . . 8
202201oveq2d 6324 . . . . . . 7
203 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
204203fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
205204oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
206205mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9
207206fveq2d 5883 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
208207oveq2d 6324 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
209202, 208breq12d 4408 . . . . . 6 Σ^ Σ^
210209elrab 3184 . . . . 5 Σ^ Σ^
211200, 210sylib 201 . . . 4 Σ^
212211simprd 470 . . 3 Σ^
2133, 5ssfid 37473 . . . . . 6
214 eqid 2471 . . . . . 6
2152, 213, 6, 65, 4, 14, 15, 214hoiprodp1 38528 . . . . 5
216 eqidd 2472 . . . . . . 7
21714adantr 472 . . . . . . . . . 10
218 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . 12
2194eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12
220218, 219sseqtri 3450 . . . . . . . . . . 11
221 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
222220, 221sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
223217, 222ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
22415adantr 472 . . . . . . . . . 10
225224, 222ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
226222, 87syldan 478 . . . . . . . . 9
227223, 225, 226volicon0 38515 . . . . . . . 8
228227prodeq2dv 14054 . . . . . . 7
22977a1i 11 . . . . . . . 8
230 hoidmvlelem4.n . . . . . . . . 9
231220a1i 11 . . . . . . . . . 10
23214, 231fssresd 5762 . . . . . . . . 9
23315, 231fssresd 5762 . . . . . . . . 9
2342, 213, 230, 232, 233hoidmvn0val 38524 . . . . . . . 8
235 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13
236 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13
237235, 236oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
238237fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
239238adantl 473 . . . . . . . . . 10
240 volico 37958 . . . . . . . . . . 11
241223, 225, 240syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
242241, 227eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10
243239, 241, 2423eqtrd 2509 . . . . . . . . 9
244243prodeq2dv 14054 . . . . . . . 8
245229, 234, 2443eqtrd 2509 . . . . . . 7
246216, 228, 2453eqtr4d 2515 . . . . . 6
24799, 48, 89volicon0 38515 . . . . . 6
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 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  cif 3872  csn 3959  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490  cixp 7540  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  crp 11325  cico 11662  cicc 11663  cprod 14036  cvol 22493  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  38539
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