Theorem hoidmvlelem1 38535

Description: The supremum of U belongs to U. Step (c) in the proof of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvlelem1.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoidmvlelem1.y	|- ( ph -> Y C_ X )
hoidmvlelem1.z	|- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
hoidmvlelem1.w	|- W = ( Y u. { Z } )
hoidmvlelem1.a	|- ( ph -> A : W --> RR )
hoidmvlelem1.b	|- ( ph -> B : W --> RR )
hoidmvlelem1.c	|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
hoidmvlelem1.d	|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
hoidmvlelem1.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
hoidmvlelem1.h	|- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
hoidmvlelem1.g	|- G = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) )
hoidmvlelem1.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
hoidmvlelem1.u	|- U = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) }
hoidmvlelem1.s	|- S = sup ( U , RR , < )
hoidmvlelem1.ab	|- ( ph -> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) )

Assertion

Ref	Expression
hoidmvlelem1	|- ( ph -> S e. U )

Distinct variable groups:   A, a, b, j, k, x   A, c, j, k, x   z, A, j   B, a, b, k   B, c   z, B   C, a, b, k   C, c   z, C   D, a, b, k   D, c   z, D   E, c   z, E   G, c   z, G   H, a, b, k   H, c   z, H   L, c   z, L   S, a, b, j, k, x   S, c   z, S   U, a, b, j, k, x   U, c   z, U   W, a, b, j, k, x   W, c   z, W   Y, a, b, j, k, x   Y, c   Z, a, b, j, k, x   Z, c   z, Z   ph, a, b, j, k, x   ph, c

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( x, j)   C( x, j)   D( x, j)   E( x, j, k, a, b)   G( x, j, k, a, b)   H( x, j)   L( x, j, k, a, b)   X( x, z, j, k, a, b, c)   Y( z)

Proof of Theorem hoidmvlelem1

Dummy variables u h r s t v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvlelem1.s	. . . . . 6 |- S = sup ( U , RR , < )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> S = sup ( U , RR , < ) )
3		hoidmvlelem1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : W --> RR )
4		hoidmvlelem1.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) )
5		snidg 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. ( X \ Y ) -> Z e. { Z } )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. { Z } )
7		elun2 3593	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
9		hoidmvlelem1.w	. . . . . . . 8 |- W = ( Y u. { Z } )
10	8, 9	syl6eleqr 2560	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. W )
11	3, 10	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
12		hoidmvlelem1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : W --> RR )
13	12, 10	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
14		hoidmvlelem1.u	. . . . . . . 8 |- U = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) }
15		ssrab2 3500	. . . . . . . 8 |- { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) )
16	14, 15	eqsstri 3448	. . . . . . 7 |- U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) )
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
18	11	leidd 10201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ` Z ) <_ ( A ` Z ) )
19		hoidmvlelem1.ab	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` Z ) < ( B ` Z ) )
20	11, 13, 19	ltled 9800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ` Z ) <_ ( B ` Z ) )
21	11, 13, 11, 18, 20	eliccd 37697	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
22	11	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. CC )
23	22	subidd 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) = 0 )
24	23	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. 0 ) )
25		rge0ssre 11766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
26		hoidmvlelem1.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) )
27		hoidmvlelem1.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
28		hoidmvlelem1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. Fin )
29		hoidmvlelem1.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y C_ X )
30	28, 29	ssfid 37473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. Fin )
31		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
32	31, 9	sseqtr4i 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Y C_ W
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y C_ W )
34	3, 33	fssresd 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A |` Y ) : Y --> RR )
35	12, 33	fssresd 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B |` Y ) : Y --> RR )
36	27, 30, 34, 35	hoidmvcl 38522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
37	26, 36	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. ( 0 [,) +oo ) )
38	25, 37	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. RR )
39	38	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. CC )
40	39	mul01d 9850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G x. 0 ) = 0 )
41	24, 40	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) = 0 )
42		1red 9676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. RR )
43		hoidmvlelem1.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. RR+ )
44	43	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR )
45	42, 44	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + E ) e. RR )
46		0red 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
47		0lt1 10157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < 1 )
49	42, 43	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 < ( 1 + E ) )
50	46, 42, 45, 48, 49	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( 1 + E ) )
51	46, 45, 50	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 + E ) )
52		nnex 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN e. _V )
54		icossicc 11746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
55		snfi 7668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { Z } e. Fin
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { Z } e. Fin )
57		unfi 7856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. Fin /\ { Z } e. Fin ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
58	30, 56, 57	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
59	9, 58	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> W e. Fin )
60	59	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> W e. Fin )
61		hoidmvlelem1.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) )
62	61	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) )
63		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
65		hoidmvlelem1.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) )
66		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = h -> ( j e. Y <-> h e. Y ) )
67		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = h -> ( c ` j ) = ( c ` h ) )
68	67	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j = h -> ( ( c ` j ) <_ x <-> ( c ` h ) <_ x ) )
69	68, 67	ifbieq1d 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j = h -> if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) = if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) )
70	66, 67, 69	ifbieq12d 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = h -> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) = if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) )
71	70	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) = ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) )
72	71	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) ) )
73	72	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) ) ) )
74	65, 73	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( h e. W |-> if ( h e. Y , ( c ` h ) , if ( ( c ` h ) <_ x , ( c ` h ) , x ) ) ) ) )
75	11	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A ` Z ) e. RR )
76		hoidmvlelem1.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) )
77	76	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) )
78		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
80	74, 75, 60, 79	hsphoif 38516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) : W --> RR )
81	27, 60, 64, 80	hoidmvcl 38522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
82	54, 81	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
83		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) )
84	82, 83	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
85	53, 84	sge0cl 38337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
86	53, 84	sge0xrcl 38341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
87		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> +oo e. RR* )
89		hoidmvlelem1.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR )
90	89	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
91		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j ph
92	27, 60, 64, 79	hoidmvcl 38522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
93	54, 92	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94	4	eldifbd 3403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -. Z e. Y )
95	10, 94	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Z e. ( W \ Y ) )
96	95	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. ( W \ Y ) )
97	27, 60, 96, 9, 75, 74, 64, 79	hsphoidmvle 38526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) )
98	91, 53, 82, 93, 97	sge0lempt 38366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
99	89	ltpnfd 11446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) < +oo )
100	86, 90, 88, 98, 99	xrlelttrd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
101	86, 88, 100	xrltned 37667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) =/= +oo )
102		ge0xrre 37729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
103	85, 101, 102	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
104	53, 84	sge0ge0 38340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
105		mulge0 10153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 + E ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 + E ) ) /\ ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
106	45, 51, 103, 104, 105	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
107	41, 106	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
108	21, 107	jca 541	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
109		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( z - ( A ` Z ) ) = ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
110	109	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
111		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( H ` z ) = ( H ` ( A ` Z ) ) )
112	111	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) = ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) )
113	112	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) )
114	113	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) )
115	114	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( A ` Z ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
116	115	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
117	110, 116	breq12d 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( A ` Z ) -> ( ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <-> ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
118	117	elrab 3184	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ` Z ) e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } <-> ( ( A ` Z ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` ( A ` Z ) ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
119	108, 118	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } )
120	119, 14	syl6eleqr 2560	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. U )
121		ne0i 3728	. . . . . . 7 |- ( ( A ` Z ) e. U -> U =/= (/) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U =/= (/) )
123	11, 13, 17, 122	supicc 11806	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( U , RR , < ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
124	2, 123	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
125	2	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S - ( A ` Z ) ) = ( sup ( U , RR , < ) - ( A ` Z ) ) )
126	125	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( sup ( U , RR , < ) - ( A ` Z ) ) ) )
127	11, 13	iccssred 37698	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) C_ RR )
128	17, 127	sstrd 3428	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U C_ RR )
129	11, 13	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) )
130		iccsupr 11752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) /\ U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( A ` Z ) e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. U z <_ y ) )
131	129, 17, 120, 130	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. U z <_ y ) )
132	131	simp3d 1044	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. U z <_ y )
133		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } = { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) }
134	128, 122, 132, 11, 133	supsubc 37663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( U , RR , < ) - ( A ` Z ) ) = sup ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } , RR , < ) )
135	134	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. ( sup ( U , RR , < ) - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. sup ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } , RR , < ) ) )
136	46	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
137		icogelb 11711	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ G e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ G )
138	136, 88, 37, 137	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ G )
139		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- r e. _V
140		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = r -> ( w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> r = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
141	140	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = r -> ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> E. u e. U r = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
142	139, 141	elab 3173	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } <-> E. u e. U r = ( u - ( A ` Z ) ) )
143	142	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> E. u e. U r = ( u - ( A ` Z ) ) )
144	143	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> E. u e. U r = ( u - ( A ` Z ) ) )
145		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u ph
146		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ u r
147		nfre1 2846	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) )
148	147	nfab 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ u { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) }
149	146, 148	nfel 2624	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) }
150	145, 149	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ u ( ph /\ r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } )
151		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ u 0 <_ r
152	11	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR* )
153	152	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A ` Z ) e. RR* )
154	13	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR* )
155	154	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( B ` Z ) e. RR* )
156	17	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
157		iccgelb 11716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* /\ u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) -> ( A ` Z ) <_ u )
158	153, 155, 156, 157	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A ` Z ) <_ u )
159	128	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. RR )
160	11	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A ` Z ) e. RR )
161	159, 160	subge0d 10224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( 0 <_ ( u - ( A ` Z ) ) <-> ( A ` Z ) <_ u ) )
162	158, 161	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> 0 <_ ( u - ( A ` Z ) ) )
163	162	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U /\ r = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> 0 <_ ( u - ( A ` Z ) ) )
164		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = ( u - ( A ` Z ) ) -> r = ( u - ( A ` Z ) ) )
165	164	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( u - ( A ` Z ) ) -> ( u - ( A ` Z ) ) = r )
166	165	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U /\ r = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( u - ( A ` Z ) ) = r )
167	163, 166	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U /\ r = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> 0 <_ r )
168	167	3exp 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u e. U -> ( r = ( u - ( A ` Z ) ) -> 0 <_ r ) ) )
169	168	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> ( u e. U -> ( r = ( u - ( A ` Z ) ) -> 0 <_ r ) ) )
170	150, 151, 169	rexlimd 2866	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> ( E. u e. U r = ( u - ( A ` Z ) ) -> 0 <_ r ) )
171	144, 170	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> 0 <_ r )
172	171	ralrimiva 2809	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 <_ r )
173		simp3 1032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U /\ w = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> w = ( u - ( A ` Z ) ) )
174	159, 160	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u - ( A ` Z ) ) e. RR )
175	174	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U /\ w = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( u - ( A ` Z ) ) e. RR )
176	173, 175	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U /\ w = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> w e. RR )
177	176	3exp 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( u e. U -> ( w = ( u - ( A ` Z ) ) -> w e. RR ) ) )
178	177	rexlimdv 2870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) -> w e. RR ) )
179	178	alrimiv 1781	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. w ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) -> w e. RR ) )
180		abss 3484	. . . . . . . 8 |- ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } C_ RR <-> A. w ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) -> w e. RR ) )
181	179, 180	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } C_ RR )
182	23	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
183		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( A ` Z ) -> ( u - ( A ` Z ) ) = ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
184	183	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( A ` Z ) -> ( 0 = ( u - ( A ` Z ) ) <-> 0 = ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
185	184	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` Z ) e. U /\ 0 = ( ( A ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) -> E. u e. U 0 = ( u - ( A ` Z ) ) )
186	120, 182, 185	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. u e. U 0 = ( u - ( A ` Z ) ) )
187		c0ex 9655	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
188		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = 0 -> ( w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> 0 = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
189	188	rexbidv 2892	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 0 -> ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> E. u e. U 0 = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
190	187, 189	elab 3173	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } <-> E. u e. U 0 = ( u - ( A ` Z ) ) )
191	186, 190	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } )
192		ne0i 3728	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } =/= (/) )
193	191, 192	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } =/= (/) )
194	13, 11	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) e. RR )
195		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- s e. _V
196		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = s -> ( w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> s = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
197	196	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = s -> ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> E. u e. U s = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
198	195, 197	elab 3173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } <-> E. u e. U s = ( u - ( A ` Z ) ) )
199	198	biimpi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> E. u e. U s = ( u - ( A ` Z ) ) )
200	199	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> E. u e. U s = ( u - ( A ` Z ) ) )
201		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ u s
202	201, 148	nfel 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) }
203	145, 202	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u ( ph /\ s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } )
204		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) )
205		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> s = ( u - ( A ` Z ) ) )
206	160	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( A ` Z ) e. RR )
207	13	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( B ` Z ) e. RR )
208	156	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
209	21	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( A ` Z ) e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) )
210	206, 207, 208, 209	iccsuble 37716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( u - ( A ` Z ) ) <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
211	205, 210	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U /\ s = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
212	211	3exp 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. U -> ( s = ( u - ( A ` Z ) ) -> s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) )
213	212	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> ( u e. U -> ( s = ( u - ( A ` Z ) ) -> s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) )
214	203, 204, 213	rexlimd 2866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> ( E. u e. U s = ( u - ( A ` Z ) ) -> s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
215	200, 214	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
216	215	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
217		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) -> ( s <_ r <-> s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
218	217	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) -> ( A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ r <-> A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
219	218	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) e. RR /\ A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) -> E. r e. RR A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ r )
220	194, 216, 219	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. RR A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ r )
221		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } = { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) }
222		biid 244	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. RR /\ 0 <_ G /\ A. r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 <_ r ) /\ ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } C_ RR /\ { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } =/= (/) /\ E. r e. RR A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ r ) ) <-> ( ( G e. RR /\ 0 <_ G /\ A. r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 <_ r ) /\ ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } C_ RR /\ { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } =/= (/) /\ E. r e. RR A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ r ) ) )
223	221, 222	supmul1 10598	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. RR /\ 0 <_ G /\ A. r e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 <_ r ) /\ ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } C_ RR /\ { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } =/= (/) /\ E. r e. RR A. s e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } s <_ r ) ) -> ( G x. sup ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } , RR , < ) ) = sup ( { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } , RR , < ) )
224	38, 138, 172, 181, 193, 220, 223	syl33anc 1307	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. sup ( { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } , RR , < ) ) = sup ( { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } , RR , < ) )
225	126, 135, 224	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ph -> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) = sup ( { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } , RR , < ) )
226		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. _V
227		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = c -> ( v = ( G x. t ) <-> c = ( G x. t ) ) )
228	227	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = c -> ( E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) <-> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) ) )
229	226, 228	elab 3173	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } <-> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) )
230	229	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } -> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) )
231		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) )
232		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- t e. _V
233		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = t -> ( w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> t = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
234	233	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = t -> ( E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) <-> E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) ) )
235	232, 234	elab 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } <-> E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) )
236	235	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) )
237	236	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } /\ c = ( G x. t ) ) -> E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) )
238		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c = ( G x. t ) /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c = ( G x. t ) )
239		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = ( u - ( A ` Z ) ) -> ( G x. t ) = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
240	239	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c = ( G x. t ) /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( G x. t ) = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
241	238, 240	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c = ( G x. t ) /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
242	241	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( G x. t ) -> ( t = ( u - ( A ` Z ) ) -> c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) )
243	242	reximdv 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( G x. t ) -> ( E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) )
244	243	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } /\ c = ( G x. t ) ) -> ( E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) )
245	237, 244	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } /\ c = ( G x. t ) ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
246	245	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> ( c = ( G x. t ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) )
247	231, 246	rexlimi 2864	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } -> ( E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) )
249	230, 248	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
250	249	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
251		simp3 1032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U /\ c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) -> c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
252	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> G e. RR )
253	252, 174	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) e. RR )
254	45	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( 1 + E ) e. RR )
255	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> NN e. _V )
256	60	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> W e. Fin )
257	64	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : W --> RR )
258	159	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> u e. RR )
259	79	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : W --> RR )
260	74, 258, 256, 259	hsphoif 38516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) : W --> RR )
261	27, 256, 257, 260	hoidmvcl 38522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
262	54, 261	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
263		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) )
264	262, 263	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
265	255, 264	sge0cl 38337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
266	255, 264	sge0xrcl 38341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
267	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> +oo e. RR* )
268	90	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
269		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ j ( ph /\ u e. U )
270	93	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
271	96	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> Z e. ( W \ Y ) )
272	27, 256, 271, 9, 258, 74, 257, 259	hsphoidmvle 38526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) )
273	269, 255, 262, 270, 272	sge0lempt 38366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) )
274	99	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) < +oo )
275	266, 268, 267, 273, 274	xrlelttrd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
276	266, 267, 275	xrltned 37667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) =/= +oo )
277		ge0xrre 37729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) =/= +oo ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
278	265, 276, 277	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
279	254, 278	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR )
280	127, 124	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S e. RR )
281	27, 30, 95, 9, 61, 76, 89, 65, 280	sge0hsphoire 38529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
282	45, 281	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR )
283	282	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR )
284	14	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. U <-> u e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } )
285	284	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. U -> u e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } )
286		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = u -> ( z - ( A ` Z ) ) = ( u - ( A ` Z ) ) )
287	286	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = u -> ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) )
288		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = u -> ( H ` z ) = ( H ` u ) )
289	288	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = u -> ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) = ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) )
290	289	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = u -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) )
291	290	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = u -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) )
292	291	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = u -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
293	292	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = u -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
294	287, 293	breq12d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = u -> ( ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <-> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
295	294	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } <-> ( u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
296	285, 295	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. U -> ( u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
297	296	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. U -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
298	297	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
299	281	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
300	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> 0 <_ ( 1 + E ) )
301	280	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. RR )
302	74, 301, 60, 79	hsphoif 38516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) : W --> RR )
303	27, 60, 64, 302	hoidmvcl 38522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
304	54, 303	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
305	304	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
306	301	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> S e. RR )
307	128	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ RR )
308	122	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U =/= (/) )
309	132	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. y e. RR A. z e. U z <_ y )
310		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
311		suprub 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. U z <_ y ) /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
312	307, 308, 309, 310, 311	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
313	312, 1	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ S )
314	313	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> u <_ S )
315	27, 256, 271, 9, 258, 306, 314, 74, 257, 259	hsphoidmvle2 38525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) )
316	269, 255, 262, 305, 315	sge0lempt 38366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) )
317	278, 299, 254, 300, 316	lemul2ad 10569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` u ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
318	253, 279, 283, 298, 317	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
319	318	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U /\ c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
320	251, 319	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U /\ c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) -> c <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
321	320	3exp 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( u e. U -> ( c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) )
322	321	rexlimdv 2870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
323	322	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> ( E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
324	250, 323	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> c <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
325	324	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
326	230	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) )
327		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ph
328		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t c
329		nfre1 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t )
330	329	nfab 2616	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) }
331	328, 330	nfel 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) }
332	327, 331	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } )
333		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t c e. RR
334	236	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) )
335		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) /\ c = ( G x. t ) ) -> c = ( G x. t ) )
336	252	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> G e. RR )
337		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> t = ( u - ( A ` Z ) ) )
338	174	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( u - ( A ` Z ) ) e. RR )
339	337, 338	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> t e. RR )
340	336, 339	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( G x. t ) e. RR )
341	340	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) /\ c = ( G x. t ) ) -> ( G x. t ) e. RR )
342	335, 341	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) /\ c = ( G x. t ) ) -> c e. RR )
343	342	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U /\ t = ( u - ( A ` Z ) ) ) -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) )
344	343	3exp 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( u e. U -> ( t = ( u - ( A ` Z ) ) -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) ) ) )
345	344	rexlimdv 2870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) ) )
346	345	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> ( E. u e. U t = ( u - ( A ` Z ) ) -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) ) )
347	334, 346	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } ) -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) )
348	347	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) ) )
349	348	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> ( t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } -> ( c = ( G x. t ) -> c e. RR ) ) )
350	332, 333, 349	rexlimd 2866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> ( E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } c = ( G x. t ) -> c e. RR ) )
351	326, 350	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> c e. RR )
352	351	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c e. RR )
353		dfss3 3408	. . . . . . . 8 |- ( { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } C_ RR <-> A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c e. RR )
354	352, 353	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } C_ RR )
355	40	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( G x. 0 ) )
356		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = 0 -> ( G x. t ) = ( G x. 0 ) )
357	356	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( 0 = ( G x. t ) <-> 0 = ( G x. 0 ) ) )
358	357	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } /\ 0 = ( G x. 0 ) ) -> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 = ( G x. t ) )
359	191, 355, 358	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 = ( G x. t ) )
360		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = 0 -> ( v = ( G x. t ) <-> 0 = ( G x. t ) ) )
361	360	rexbidv 2892	. . . . . . . . . 10 |- ( v = 0 -> ( E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) <-> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 = ( G x. t ) ) )
362	187, 361	elab 3173	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } <-> E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } 0 = ( G x. t ) )
363	359, 362	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } )
364		ne0i 3728	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } -> { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } =/= (/) )
365	363, 364	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } =/= (/) )
366	38, 194	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) e. RR )
367	194	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) e. RR )
368	138	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> 0 <_ G )
369	13	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( B ` Z ) e. RR )
370		iccleub 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* /\ u e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) -> u <_ ( B ` Z ) )
371	153, 155, 156, 370	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ ( B ` Z ) )
372	159, 369, 160, 371	lesub1dd 10250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u - ( A ` Z ) ) <_ ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) )
373	174, 367, 252, 368, 372	lemul2ad 10569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
374	373	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U /\ c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) -> ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
375	251, 374	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U /\ c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) ) -> c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
376	375	3exp 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. U -> ( c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) ) )
377	376	rexlimdv 2870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) )
378	377	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> ( E. u e. U c = ( G x. ( u - ( A ` Z ) ) ) -> c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) )
379	250, 378	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } ) -> c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
380	379	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) )
381		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) -> ( c <_ y <-> c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) )
382	381	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) -> ( A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ y <-> A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) )
383	382	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) e. RR /\ A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ ( G x. ( ( B ` Z ) - ( A ` Z ) ) ) ) -> E. y e. RR A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ y )
384	366, 380, 383	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. y e. RR A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ y )
385		suprleub 10595	. . . . . . 7 |- ( ( ( { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } C_ RR /\ { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } =/= (/) /\ E. y e. RR A. c e. { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } c <_ y ) /\ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( sup ( { v | E. t e. { w | E. u e. U w = ( u - ( A ` Z ) ) } v = ( G x. t ) } , RR , < ) <_ ( ( 1 + E ) x. (Σ^ ` ( j e. NN