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Theorem hoidmv1lelem3 38533
 Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is the non-empty, finite generalized sum, sub case in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem3.a
hoidmv1lelem3.b
hoidmv1lelem3.l
hoidmv1lelem3.c
hoidmv1lelem3.d
hoidmv1lelem3.x
hoidmv1lelem3.r Σ^
hoidmv1lelem3.u Σ^
hoidmv1lelem3.s
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem3 Σ^
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem hoidmv1lelem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem3.b . . 3
2 hoidmv1lelem3.a . . 3
31, 2resubcld 10068 . 2
4 nnex 10637 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
6 icossicc 11746 . . . . . . . 8
7 0xr 9705 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
9 pnfxr 11435 . . . . . . . . . 10
109a1i 11 . . . . . . . . 9
11 hoidmv1lelem3.c . . . . . . . . . . . 12
1211ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
13 hoidmv1lelem3.d . . . . . . . . . . . . 13
1413ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
151adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15ifcld 3915 . . . . . . . . . . 11
17 volicore 38521 . . . . . . . . . . 11
1812, 16, 17syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
1918rexrd 9708 . . . . . . . . 9
2016rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
21 icombl 22596 . . . . . . . . . . 11
2212, 20, 21syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
23 volge0 37935 . . . . . . . . . 10
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9
2518ltpnfd 11446 . . . . . . . . 9
268, 10, 19, 24, 25elicod 11710 . . . . . . . 8
276, 26sseldi 3416 . . . . . . 7
28 eqid 2471 . . . . . . 7
2927, 28fmptd 6061 . . . . . 6
305, 29sge0xrcl 38341 . . . . 5 Σ^
319a1i 11 . . . . 5
32 hoidmv1lelem3.r . . . . . . 7 Σ^
3332rexrd 9708 . . . . . 6 Σ^
34 nfv 1769 . . . . . . 7
35 volf 22561 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
3714rexrd 9708 . . . . . . . . 9
38 icombl 22596 . . . . . . . . 9
3912, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . 8
4036, 39ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
4112rexrd 9708 . . . . . . . . 9
4212leidd 10201 . . . . . . . . 9
43 min1 11506 . . . . . . . . . 10
4414, 15, 43syl2anc 673 . . . . . . . . 9
45 icossico 11729 . . . . . . . . 9
4641, 37, 42, 44, 45syl22anc 1293 . . . . . . . 8
47 volss 22565 . . . . . . . 8
4822, 39, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . 7
4934, 5, 27, 40, 48sge0lempt 38366 . . . . . 6 Σ^ Σ^
5032ltpnfd 11446 . . . . . 6 Σ^
5130, 33, 31, 49, 50xrlelttrd 11480 . . . . 5 Σ^
5230, 31, 51xrltned 37667 . . . 4 Σ^
5352neneqd 2648 . . 3 Σ^
545, 29sge0repnf 38342 . . 3 Σ^ Σ^
5553, 54mpbird 240 . 2 Σ^
561rexrd 9708 . . . . . . 7
572, 1iccssred 37698 . . . . . . . . 9
58 hoidmv1lelem3.u . . . . . . . . . . 11 Σ^
59 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11 Σ^
6058, 59eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10
61 hoidmv1lelem3.l . . . . . . . . . . . 12
62 hoidmv1lelem3.s . . . . . . . . . . . 12
632, 1, 61, 11, 13, 32, 58, 62hoidmv1lelem1 38531 . . . . . . . . . . 11
6463simp1d 1042 . . . . . . . . . 10
6560, 64sseldi 3416 . . . . . . . . 9
6657, 65sseldd 3419 . . . . . . . 8
6766rexrd 9708 . . . . . . 7
68 simpl 464 . . . . . . . . 9
69 simpr 468 . . . . . . . . . 10
7068, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11
7168, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11
7270, 71ltnled 9799 . . . . . . . . . 10
7369, 72mpbird 240 . . . . . . . . 9
74 hoidmv1lelem3.x . . . . . . . . . . . . 13
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
762rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
7856adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
7967adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
8060, 57syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8264, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8363simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8463simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8680, 82, 83, 84, 85syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786, 62syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . 14
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
89 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
9077, 78, 79, 88, 89elicod 11710 . . . . . . . . . . . 12
9175, 90sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
92 eliun 4274 . . . . . . . . . . 11
9391, 92sylib 201 . . . . . . . . . 10
942adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
95943ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
961adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
97963ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
9811adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
99983ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
10013adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
1011003ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
102 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104102, 103oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^ Σ^
108107, 32syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ^
1101093ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^
111103breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112111, 103ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113102, 112oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116115eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117116fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^ Σ^
118117breq2i 4403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^ Σ^
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^ Σ^
120119rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ^ Σ^
12158, 120eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^
12264adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
1231223ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
124883ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
125893ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
126 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . 13
127 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13
128 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
12995, 97, 99, 101, 110, 121, 123, 124, 125, 126, 127, 128hoidmv1lelem2 38532 . . . . . . . . . . . 12
1301293exp 1230 . . . . . . . . . . 11
131130rexlimdv 2870 . . . . . . . . . 10
13293, 131mpd 15 . . . . . . . . 9
13368, 73, 132syl2anc 673 . . . . . . . 8
13457adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
13560, 134syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . 14
13682adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
1372, 1jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14064adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141 iccsupr 11752 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142138, 139, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14
144 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
145 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . 14
146135, 136, 143, 144, 145syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13
147146, 62syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . 12
148147ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11
14960sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15
150149adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
151134, 150sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13
15266adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
153151, 152lenltd 9798 . . . . . . . . . . . 12
154153ralbidva 2828 . . . . . . . . . . 11
155148, 154mpbid 215 . . . . . . . . . 10
156 ralnex 2834 . . . . . . . . . 10
157155, 156sylib 201 . . . . . . . . 9
158157adantr 472 . . . . . . . 8
159133, 158condan 811 . . . . . . 7
160 iccleub 11715 . . . . . . . 8
16176, 56, 65, 160syl3anc 1292 . . . . . . 7
16256, 67, 159, 161xrletrid 11475 . . . . . 6
163162, 64eqeltrd 2549 . . . . 5
164163, 58syl6eleq 2559 . . . 4 Σ^
165 oveq1 6315 . . . . . 6
166 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11
167 id 22 . . . . . . . . . . 11
168166, 167ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . 10
169168oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
170169fveq2d 5883 . . . . . . . 8
171170mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
172171fveq2d 5883 . . . . . 6 Σ^ Σ^
173165, 172breq12d 4408 . . . . 5 Σ^ Σ^
174173elrab 3184 . . . 4 Σ^ Σ^
175164, 174sylib 201 . . 3 Σ^
176175simprd 470 . 2 Σ^
1773, 55, 32, 176, 49letrd 9809 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cif 3872  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cico 11662  cicc 11663  cvol 22493  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  hoidmv1le  38534
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