Theorem hoidmv1lelem3 38425

Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is the non-empty, finite generalized sum, sub case in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1lelem3.a	|- ( ph -> A e. RR )
hoidmv1lelem3.b	|- ( ph -> B e. RR )
hoidmv1lelem3.l	|- ( ph -> A < B )
hoidmv1lelem3.c	|- ( ph -> C : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.d	|- ( ph -> D : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.x	|- ( ph -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
hoidmv1lelem3.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
hoidmv1lelem3.u	|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem3.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1lelem3	|- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, z   B, j, z   C, j, z   D, j, z   S, j, z   U, j, z   ph, j, z

Proof of Theorem hoidmv1lelem3

Dummy variables y i u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1lelem3.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		hoidmv1lelem3.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3	1, 2	resubcld 10054	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
4		nnex 10622	. . . . . . 7 |- NN e. _V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
6		icossicc 11728	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
7		0xr 9692	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 e. RR* )
9		pnfxr 11419	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> +oo e. RR* )
11		hoidmv1lelem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C : NN --> RR )
12	11	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
13		hoidmv1lelem3.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D : NN --> RR )
14	13	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
15	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> B e. RR )
16	14, 15	ifcld 3926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR )
17		volicore 38413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR )
18	12, 16, 17	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR )
19	18	rexrd 9695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR* )
20	16	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR* )
21		icombl 22529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol )
22	12, 20, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol )
23		volge0 37848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
25	18	ltpnfd 11430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) < +oo )
26	8, 10, 19, 24, 25	elicod 11692	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
27	6, 26	sseldi 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
28		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
29	27, 28	fmptd 6051	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
30	5, 29	sge0xrcl 38237	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR* )
31	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> +oo e. RR* )
32		hoidmv1lelem3.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
33	32	rexrd 9695	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
34		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ j ph
35		volf 22495	. . . . . . . . 9 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
37	14	rexrd 9695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
38		icombl 22529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
39	12, 37, 38	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
40	36, 39	ffvelrnd 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41	12	rexrd 9695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
42	12	leidd 10187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
43		min1 11490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) )
44	14, 15, 43	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) )
45		icossico 11711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
46	41, 37, 42, 44, 45	syl22anc 1270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
47		volss 22499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
48	22, 39, 46, 47	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
49	34, 5, 27, 40, 48	sge0lempt 38262	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
50	32	ltpnfd 11430	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
51	30, 33, 31, 49, 50	xrlelttrd 11464	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) < +oo )
52	30, 31, 51	xrltned 37590	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) =/= +oo )
53	52	neneqd 2631	. . 3 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) = +oo )
54	5, 29	sge0repnf 38238	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) = +oo ) )
55	53, 54	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR )
56	1	rexrd 9695	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
57	2, 1	iccssred 37612	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
58		hoidmv1lelem3.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
59		ssrab2 3516	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } C_ ( A [,] B )
60	58, 59	eqsstri 3464	. . . . . . . . . 10 |- U C_ ( A [,] B )
61		hoidmv1lelem3.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
62		hoidmv1lelem3.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = sup ( U , RR , < )
63	2, 1, 61, 11, 13, 32, 58, 62	hoidmv1lelem1 38423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S e. U /\ A e. U /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
64	63	simp1d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. U )
65	60, 64	sseldi 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( A [,] B ) )
66	57, 65	sseldd 3435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
67	66	rexrd 9695	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
68		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> ph )
69		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> -. B <_ S )
70	68, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> S e. RR )
71	68, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> B e. RR )
72	70, 71	ltnled 9787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> ( S < B <-> -. B <_ S ) )
73	69, 72	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> S < B )
74		hoidmv1lelem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
76	2	rexrd 9695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR* )
77	76	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A e. RR* )
78	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> B e. RR* )
79	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. RR* )
80	60, 57	syl5ss 3445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U C_ RR )
81		ne0i 3739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. U -> U =/= (/) )
82	64, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U =/= (/) )
83	63	simp3d 1023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
84	63	simp2d 1022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. U )
85		suprub 10577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ A e. U ) -> A <_ sup ( U , RR , < ) )
86	80, 82, 83, 84, 85	syl31anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A <_ sup ( U , RR , < ) )
87	86, 62	syl6breqr 4446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A <_ S )
88	87	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A <_ S )
89		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S < B )
90	77, 78, 79, 88, 89	elicod 11692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. ( A [,) B ) )
91	75, 90	sseldd 3435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
92		eliun 4286	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) <-> E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
93	91, 92	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < B ) -> E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
94	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A e. RR )
95	94	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> A e. RR )
96	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> B e. RR )
97	96	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> B e. RR )
98	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> C : NN --> RR )
99	98	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> C : NN --> RR )
100	13	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> D : NN --> RR )
101	100	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> D : NN --> RR )
102		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
103		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( D ` i ) = ( D ` j ) )
104	102, 103	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) = ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
105	104	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
106	105	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
107	106	fveq2i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) )
108	107, 32	syl5eqel 2535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
109	108	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
110	109	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
111	103	breq1d 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = j -> ( ( D ` i ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ z ) )
112	111, 103	ifbieq1d 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = j -> if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) )
113	102, 112	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) )
114	113	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
115	114	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
116	115	eqcomi 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) )
117	116	fveq2i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) )
118	117	breq2i 4413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A [,] B ) -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) ) )
120	119	rabbiia 3035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) }
121	58, 120	eqtri 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) }
122	64	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. U )
123	122	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S e. U )
124	88	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> A <_ S )
125	89	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S < B )
126		simp2 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> j e. NN )
127		simp3 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
128		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) = if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B )
129	95, 97, 99, 101, 110, 121, 123, 124, 125, 126, 127, 128	hoidmv1lelem2 38424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> E. u e. U S < u )
130	129	3exp 1208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( j e. NN -> ( S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> E. u e. U S < u ) ) )
131	130	rexlimdv 2879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> E. u e. U S < u ) )
132	93, 131	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < B ) -> E. u e. U S < u )
133	68, 73, 132	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> E. u e. U S < u )
134	57	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
135	60, 134	syl5ss 3445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ RR )
136	82	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U =/= (/) )
137	2, 1	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
138	137	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
139	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
140	64	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. U )
141		iccsupr 11734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ U C_ ( A [,] B ) /\ S e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
142	138, 139, 140, 141	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
143	142	simp3d 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
144		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
145		suprub 10577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
146	135, 136, 143, 144, 145	syl31anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
147	146, 62	syl6breqr 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ S )
148	147	ralrimiva 2804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. u e. U u <_ S )
149	60	sseli 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. U -> u e. ( A [,] B ) )
150	149	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. ( A [,] B ) )
151	134, 150	sseldd 3435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. RR )
152	66	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. RR )
153	151, 152	lenltd 9786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u <_ S <-> -. S < u ) )
154	153	ralbidva 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. u e. U u <_ S <-> A. u e. U -. S < u ) )
155	148, 154	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. U -. S < u )
156		ralnex 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. U -. S < u <-> -. E. u e. U S < u )
157	155, 156	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. u e. U S < u )
158	157	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> -. E. u e. U S < u )
159	133, 158	condan 804	. . . . . . 7 |- ( ph -> B <_ S )
160		iccleub 11697	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ S e. ( A [,] B ) ) -> S <_ B )
161	76, 56, 65, 160	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ B )
162	56, 67, 159, 161	xrletrid 11459	. . . . . 6 |- ( ph -> B = S )
163	162, 64	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ph -> B e. U )
164	163, 58	syl6eleq 2541	. . . 4 |- ( ph -> B e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
165		oveq1 6302	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( z - A ) = ( B - A ) )
166		breq2 4409	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ B ) )
167		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> z = B )
168	166, 167	ifbieq2d 3908	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) )
169	168	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) )
170	169	fveq2d 5874	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
171	170	mpteq2dv 4493	. . . . . . 7 |- ( z = B -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) )
172	171	fveq2d 5874	. . . . . 6 |- ( z = B -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) )
173	165, 172	breq12d 4418	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
174	173	elrab 3198	. . . 4 |- ( B e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( B e. ( A [,] B ) /\ ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
175	164, 174	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> ( B e. ( A [,] B ) /\ ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
176	175	simprd 465	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) )
177	3, 55, 32, 176, 49	letrd 9797	1 |- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   0cc0 9544   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   NNcn 10616   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   volcvol 22427  Σ^{^}csumge0 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215

This theorem is referenced by:  hoidmv1le  38426