Theorem hoidmv1lelem3 38533

Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is the non-empty, finite generalized sum, sub case in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1lelem3.a	|- ( ph -> A e. RR )
hoidmv1lelem3.b	|- ( ph -> B e. RR )
hoidmv1lelem3.l	|- ( ph -> A < B )
hoidmv1lelem3.c	|- ( ph -> C : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.d	|- ( ph -> D : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.x	|- ( ph -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
hoidmv1lelem3.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
hoidmv1lelem3.u	|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem3.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1lelem3	|- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, z   B, j, z   C, j, z   D, j, z   S, j, z   U, j, z   ph, j, z

Proof of Theorem hoidmv1lelem3

Dummy variables y i u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1lelem3.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		hoidmv1lelem3.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3	1, 2	resubcld 10068	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
4		nnex 10637	. . . . . . 7 |- NN e. _V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
6		icossicc 11746	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
7		0xr 9705	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 e. RR* )
9		pnfxr 11435	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> +oo e. RR* )
11		hoidmv1lelem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C : NN --> RR )
12	11	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
13		hoidmv1lelem3.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D : NN --> RR )
14	13	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
15	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> B e. RR )
16	14, 15	ifcld 3915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR )
17		volicore 38521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR )
18	12, 16, 17	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR )
19	18	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR* )
20	16	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR* )
21		icombl 22596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol )
22	12, 20, 21	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol )
23		volge0 37935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
25	18	ltpnfd 11446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) < +oo )
26	8, 10, 19, 24, 25	elicod 11710	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
27	6, 26	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
28		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
29	27, 28	fmptd 6061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
30	5, 29	sge0xrcl 38341	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR* )
31	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> +oo e. RR* )
32		hoidmv1lelem3.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
33	32	rexrd 9708	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
34		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ j ph
35		volf 22561	. . . . . . . . 9 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
37	14	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
38		icombl 22596	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
39	12, 37, 38	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
40	36, 39	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41	12	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
42	12	leidd 10201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
43		min1 11506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) )
44	14, 15, 43	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) )
45		icossico 11729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
46	41, 37, 42, 44, 45	syl22anc 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
47		volss 22565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
48	22, 39, 46, 47	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
49	34, 5, 27, 40, 48	sge0lempt 38366	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
50	32	ltpnfd 11446	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
51	30, 33, 31, 49, 50	xrlelttrd 11480	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) < +oo )
52	30, 31, 51	xrltned 37667	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) =/= +oo )
53	52	neneqd 2648	. . 3 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) = +oo )
54	5, 29	sge0repnf 38342	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) = +oo ) )
55	53, 54	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR )
56	1	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
57	2, 1	iccssred 37698	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
58		hoidmv1lelem3.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
59		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } C_ ( A [,] B )
60	58, 59	eqsstri 3448	. . . . . . . . . 10 |- U C_ ( A [,] B )
61		hoidmv1lelem3.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
62		hoidmv1lelem3.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = sup ( U , RR , < )
63	2, 1, 61, 11, 13, 32, 58, 62	hoidmv1lelem1 38531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S e. U /\ A e. U /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
64	63	simp1d 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. U )
65	60, 64	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( A [,] B ) )
66	57, 65	sseldd 3419	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
67	66	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
68		simpl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> ph )
69		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> -. B <_ S )
70	68, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> S e. RR )
71	68, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> B e. RR )
72	70, 71	ltnled 9799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> ( S < B <-> -. B <_ S ) )
73	69, 72	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> S < B )
74		hoidmv1lelem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
75	74	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
76	2	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR* )
77	76	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A e. RR* )
78	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> B e. RR* )
79	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. RR* )
80	60, 57	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U C_ RR )
81		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. U -> U =/= (/) )
82	64, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U =/= (/) )
83	63	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
84	63	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. U )
85		suprub 10592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ A e. U ) -> A <_ sup ( U , RR , < ) )
86	80, 82, 83, 84, 85	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A <_ sup ( U , RR , < ) )
87	86, 62	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A <_ S )
88	87	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A <_ S )
89		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S < B )
90	77, 78, 79, 88, 89	elicod 11710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. ( A [,) B ) )
91	75, 90	sseldd 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
92		eliun 4274	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) <-> E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
93	91, 92	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < B ) -> E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
94	2	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A e. RR )
95	94	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> A e. RR )
96	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> B e. RR )
97	96	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> B e. RR )
98	11	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> C : NN --> RR )
99	98	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> C : NN --> RR )
100	13	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> D : NN --> RR )
101	100	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> D : NN --> RR )
102		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
103		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( D ` i ) = ( D ` j ) )
104	102, 103	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) = ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
105	104	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
106	105	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
107	106	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) )
108	107, 32	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
109	108	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
110	109	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
111	103	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = j -> ( ( D ` i ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ z ) )
112	111, 103	ifbieq1d 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = j -> if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) )
113	102, 112	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) )
114	113	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
115	114	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
116	115	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) )
117	116	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) )
118	117	breq2i 4403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A [,] B ) -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) ) )
120	119	rabbiia 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) }
121	58, 120	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) }
122	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. U )
123	122	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S e. U )
124	88	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> A <_ S )
125	89	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S < B )
126		simp2 1031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> j e. NN )
127		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
128		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) = if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B )
129	95, 97, 99, 101, 110, 121, 123, 124, 125, 126, 127, 128	hoidmv1lelem2 38532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> E. u e. U S < u )
130	129	3exp 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( j e. NN -> ( S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> E. u e. U S < u ) ) )
131	130	rexlimdv 2870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> E. u e. U S < u ) )
132	93, 131	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < B ) -> E. u e. U S < u )
133	68, 73, 132	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> E. u e. U S < u )
134	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
135	60, 134	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ RR )
136	82	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U =/= (/) )
137	2, 1	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
138	137	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
139	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
140	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. U )
141		iccsupr 11752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ U C_ ( A [,] B ) /\ S e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
142	138, 139, 140, 141	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
143	142	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
144		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
145		suprub 10592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
146	135, 136, 143, 144, 145	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
147	146, 62	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ S )
148	147	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. u e. U u <_ S )
149	60	sseli 3414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. U -> u e. ( A [,] B ) )
150	149	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. ( A [,] B ) )
151	134, 150	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. RR )
152	66	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. RR )
153	151, 152	lenltd 9798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u <_ S <-> -. S < u ) )
154	153	ralbidva 2828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. u e. U u <_ S <-> A. u e. U -. S < u ) )
155	148, 154	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. U -. S < u )
156		ralnex 2834	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. U -. S < u <-> -. E. u e. U S < u )
157	155, 156	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. u e. U S < u )
158	157	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> -. E. u e. U S < u )
159	133, 158	condan 811	. . . . . . 7 |- ( ph -> B <_ S )
160		iccleub 11715	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ S e. ( A [,] B ) ) -> S <_ B )
161	76, 56, 65, 160	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ B )
162	56, 67, 159, 161	xrletrid 11475	. . . . . 6 |- ( ph -> B = S )
163	162, 64	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> B e. U )
164	163, 58	syl6eleq 2559	. . . 4 |- ( ph -> B e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
165		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( z - A ) = ( B - A ) )
166		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ B ) )
167		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> z = B )
168	166, 167	ifbieq2d 3897	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) )
169	168	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) )
170	169	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
171	170	mpteq2dv 4483	. . . . . . 7 |- ( z = B -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) )
172	171	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( z = B -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) )
173	165, 172	breq12d 4408	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
174	173	elrab 3184	. . . 4 |- ( B e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( B e. ( A [,] B ) /\ ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
175	164, 174	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> ( B e. ( A [,] B ) /\ ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
176	175	simprd 470	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) )
177	3, 55, 32, 176, 49	letrd 9809	1 |- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   volcvol 22493  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  hoidmv1le  38534