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Theorem hoidmv1lelem3 38425
Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is the non-empty, finite generalized sum, sub case in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
hoidmv1lelem3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
hoidmv1lelem3.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
hoidmv1lelem3.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.x  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  C_  U_ j  e.  NN  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
hoidmv1lelem3.r  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
hoidmv1lelem3.u  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem3.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem3  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, j,
z    B, j, z    C, j, z    D, j, z    S, j, z    U, j, z    ph, j, z

Proof of Theorem hoidmv1lelem3
Dummy variables  y 
i  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem3.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 hoidmv1lelem3.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31, 2resubcld 10054 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
4 nnex 10622 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
6 icossicc 11728 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
7 0xr 9692 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  0  e. 
RR* )
9 pnfxr 11419 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  -> +oo  e.  RR* )
11 hoidmv1lelem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
1211ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  RR )
13 hoidmv1lelem3.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
1413ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  RR )
151adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
1614, 15ifcld 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B )  e.  RR )
17 volicore 38413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B ) ) )  e.  RR )
1812, 16, 17syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  e.  RR )
1918rexrd 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  e. 
RR* )
2016rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B )  e.  RR* )
21 icombl 22529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) )  e.  dom  vol )
2212, 20, 21syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) )  e.  dom  vol )
23 volge0 37848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B ) )  e.  dom  vol  ->  0  <_  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B ) ) ) )
2518ltpnfd 11430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  < +oo )
268, 10, 19, 24, 25elicod 11692 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
276, 26sseldi 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
28 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B ) ) ) )
2927, 28fmptd 6051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
305, 29sge0xrcl 38237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  e. 
RR* )
319a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
32 hoidmv1lelem3.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
3332rexrd 9695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
34 nfv 1763 . . . . . . 7  |-  F/ j
ph
35 volf 22495 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
3714rexrd 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e. 
RR* )
38 icombl 22529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR* )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
3912, 37, 38syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) )  e. 
dom  vol )
4036, 39ffvelrnd 6028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4112rexrd 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e. 
RR* )
4212leidd 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  <_ 
( C `  j
) )
43 min1 11490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
)  <_  ( D `  j ) )
4414, 15, 43syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B )  <_  ( D `  j ) )
45 icossico 11711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
4641, 37, 42, 44, 45syl22anc 1270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
47 volss 22499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
4822, 39, 46, 47syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
4934, 5, 27, 40, 48sge0lempt 38262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
5032ltpnfd 11430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
5130, 33, 31, 49, 50xrlelttrd 11464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  < +oo )
5230, 31, 51xrltned 37590 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  =/= +oo )
5352neneqd 2631 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  = +oo )
545, 29sge0repnf 38238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  = +oo ) )
5553, 54mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )  e.  RR )
561rexrd 9695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
572, 1iccssred 37612 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
58 hoidmv1lelem3.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
59 ssrab2 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } 
C_  ( A [,] B )
6058, 59eqsstri 3464 . . . . . . . . . 10  |-  U  C_  ( A [,] B )
61 hoidmv1lelem3.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <  B )
62 hoidmv1lelem3.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
632, 1, 61, 11, 13, 32, 58, 62hoidmv1lelem1 38423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  /\  A  e.  U  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
6463simp1d 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
6560, 64sseldi 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
6657, 65sseldd 3435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
6766rexrd 9695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
68 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  ph )
69 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  -.  B  <_  S )
7068, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  S  e.  RR )
7168, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  B  e.  RR )
7270, 71ltnled 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  ( S  <  B  <->  -.  B  <_  S ) )
7369, 72mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  S  <  B )
74 hoidmv1lelem3.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  C_  U_ j  e.  NN  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  ( A [,) B )  C_  U_ j  e.  NN  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
762rexrd 9695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  A  e.  RR* )
7856adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  B  e.  RR* )
7967adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  S  e.  RR* )
8060, 57syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
81 ne0i 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
8264, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
8363simp3d 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )
8463simp2d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
85 suprub 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )  /\  A  e.  U )  ->  A  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
8680, 82, 83, 84, 85syl31anc 1272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
8786, 62syl6breqr 4446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
8887adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  A  <_  S )
89 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  S  <  B )
9077, 78, 79, 88, 89elicod 11692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  S  e.  ( A [,) B ) )
9175, 90sseldd 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  S  e.  U_ j  e.  NN  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
92 eliun 4286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U_ j  e.  NN  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  <->  E. j  e.  NN  S  e.  ( ( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
9391, 92sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  E. j  e.  NN  S  e.  ( ( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
942adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  A  e.  RR )
95943ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  A  e.  RR )
961adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  B  e.  RR )
97963ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  B  e.  RR )
9811adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  C : NN
--> RR )
99983ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  C : NN --> RR )
10013adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  D : NN
--> RR )
1011003ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  D : NN --> RR )
102 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
103 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  ( D `  i )  =  ( D `  j ) )
104102, 103oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (
( C `  i
) [,) ( D `
 i ) )  =  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
105104fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  ( vol `  ( ( C `
 i ) [,) ( D `  i
) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
106105cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i )
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) )
107106fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )
108107, 32syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i ) ) ) ) )  e.  RR )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i ) ) ) ) )  e.  RR )
1101093ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  (Σ^ `  (
i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) ( D `  i ) ) ) ) )  e.  RR )
111103breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  (
( D `  i
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  z
) )
112111, 103ifbieq1d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )
113102, 112oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  j  ->  (
( C `  i
) [,) if ( ( D `  i
)  <_  z , 
( D `  i
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) )
114113fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  ( vol `  ( ( C `
 i ) [,)
if ( ( D `
 i )  <_ 
z ,  ( D `
 i ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) ) )
115114cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) ) )
116115eqcomi 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  i
) [,) if ( ( D `  i
)  <_  z , 
( D `  i
) ,  z ) ) ) )
117116fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z ) ) ) ) )
118117breq2i 4413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z ) ) ) ) ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A [,] B )  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z ) ) ) ) ) ) )
120119rabbiia 3035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  =  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z ) ) ) ) ) }
12158, 120eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  i ) [,) if ( ( D `  i )  <_  z ,  ( D `  i ) ,  z ) ) ) ) ) }
12264adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  S  e.  U )
1231223ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  S  e.  U )
124883ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  A  <_  S )
125893ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  S  <  B )
126 simp2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  j  e.  NN )
127 simp3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )
128 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B )  =  if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B )
12995, 97, 99, 101, 110, 121, 123, 124, 125, 126, 127, 128hoidmv1lelem2 38424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  <  B )  /\  j  e.  NN  /\  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
1301293exp 1208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  ( j  e.  NN  ->  ( S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
)  ->  E. u  e.  U  S  <  u ) ) )
131130rexlimdv 2879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  ( E. j  e.  NN  S  e.  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
)  ->  E. u  e.  U  S  <  u ) )
13293, 131mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  <  B )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
13368, 73, 132syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
13457adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
13560, 134syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  C_  RR )
13682adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  =/=  (/) )
1372, 1jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
138137adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
14064adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  S  e.  U )
141 iccsupr 11734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  U  C_  ( A [,] B )  /\  S  e.  U )  ->  ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
142138, 139, 140, 141syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x
) )
143142simp3d 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x
)
144 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  U )
145 suprub 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
146135, 136, 143, 144, 145syl31anc 1272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
147146, 62syl6breqr 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  <_  S )
148147ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  u  <_  S )
14960sseli 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  U  ->  u  e.  ( A [,] B
) )
150149adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  ( A [,] B
) )
151134, 150sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  RR )
15266adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  S  e.  RR )
153151, 152lenltd 9786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u  <_  S  <->  -.  S  <  u ) )
154153ralbidva 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  U  u  <_  S  <->  A. u  e.  U  -.  S  <  u ) )
155148, 154mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  -.  S  <  u )
156 ralnex 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  U  -.  S  <  u  <->  -.  E. u  e.  U  S  <  u )
157155, 156sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  E. u  e.  U  S  <  u
)
158157adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  S )  ->  -.  E. u  e.  U  S  <  u )
159133, 158condan 804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  S )
160 iccleub 11697 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  S  e.  ( A [,] B
) )  ->  S  <_  B )
16176, 56, 65, 160syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  B )
16256, 67, 159, 161xrletrid 11459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  S )
163162, 64eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
164163, 58syl6eleq 2541 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
165 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  A )  =  ( B  -  A ) )
166 breq2 4409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  B
) )
167 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  z  =  B )
168166, 167ifbieq2d 3908 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B ) )
169168oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) )
170169fveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  B , 
( D `  j
) ,  B ) ) ) )
171170mpteq2dv 4493 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) )
172171fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) ) )
173165, 172breq12d 4418 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( B  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) ) ) )
174173elrab 3198 . . . 4  |-  ( B  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( B  e.  ( A [,] B )  /\  ( B  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) ) ) )
175164, 174sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  /\  ( B  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) ) ) )
176175simprd 465 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  B ,  ( D `  j ) ,  B ) ) ) ) ) )
1773, 55, 32, 176, 49letrd 9797 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   U_ciun 4281   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   0cc0 9544   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865   NNcn 10616   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   volcvol 22427  Σ^csumge0 38214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215
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