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Theorem hoidmv1lelem2 38532
Description: This is the contradiction proven in step (c) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
hoidmv1lelem2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
hoidmv1lelem2.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.r  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
hoidmv1lelem2.u  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem2.e  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
hoidmv1lelem2.g  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
hoidmv1lelem2.l  |-  ( ph  ->  S  <  B )
hoidmv1lelem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
hoidmv1lelem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K ) ) )
hoidmv1lelem2.m  |-  M  =  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    C, j, z    D, j, z    j, K    j, M, z    u, M    S, j, z    u, S    u, U    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( z, u)    A( u, j)    B( u, j)    C( u)    D( u)    U( z, j)    K( z, u)

Proof of Theorem hoidmv1lelem2
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem2.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 hoidmv1lelem2.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 hoidmv1lelem2.m . . . . . . . 8  |-  M  =  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  if ( ( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
5 hoidmv1lelem2.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
6 hoidmv1lelem2.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
75, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  K
)  e.  RR )
87, 2ifcld 3915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  e.  RR )
94, 8eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10 hoidmv1lelem2.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
1110, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  e.  RR )
127rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D `  K
)  e.  RR* )
13 icossre 11740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR* )  ->  (
( C `  K
) [,) ( D `
 K ) ) 
C_  RR )
1411, 12, 13syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K )
)  C_  RR )
15 hoidmv1lelem2.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K ) ) )
1614, 15sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
17 hoidmv1lelem2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
1811rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  e.  RR* )
19 icoltub 37703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR*  /\  ( D `  K )  e.  RR*  /\  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K )
) )  ->  S  <  ( D `  K
) )
2018, 12, 15, 19syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( D `
 K ) )
2116, 7, 20ltled 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  <_  ( D `  K ) )
22 hoidmv1lelem2.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
2316, 2, 22ltled 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  <_  B )
2421, 23jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  <_  ( D `  K )  /\  S  <_  B ) )
25 lemin 11509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  <_  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B )  <->  ( S  <_  ( D `  K
)  /\  S  <_  B ) ) )
2616, 7, 2, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  <_  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <->  ( S  <_ 
( D `  K
)  /\  S  <_  B ) ) )
2724, 26mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  <_  if (
( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
281, 16, 8, 17, 27letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  if (
( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
294eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  =  M )
3028, 29breqtrd 4420 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  M )
31 min2 11507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D `  K
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  B )
327, 2, 31syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  B )
334, 32eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  B )
341, 2, 9, 30, 33eliccd 37697 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A [,] B ) )
359recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3616recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
371recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3835, 36, 37npncand 10029 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  =  ( M  -  A ) )
3938eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  -  A
)  =  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) ) )
409, 16resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  S
)  e.  RR )
4116, 1resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  A
)  e.  RR )
4240, 41readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  e.  RR )
43 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
45 volf 22561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
4710ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  RR )
485ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  RR )
4916adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
5048, 49ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR )
5150rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR* )
52 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
5347, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )  e.  dom  vol )
5446, 53ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
5654, 55fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
5744, 56sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e. 
RR* )
58 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
60 hoidmv1lelem2.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
6160rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
62 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j
ph
6348rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e. 
RR* )
64 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR* )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
6547, 63, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) )  e. 
dom  vol )
6646, 65ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6747rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e. 
RR* )
6847leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  <_ 
( C `  j
) )
69 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) )
7048, 49, 69syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <_  ( D `  j ) )
71 icossico 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
7267, 63, 68, 70, 71syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
73 volss 22565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
7453, 65, 72, 73syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
7562, 44, 54, 66, 74sge0lempt 38366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
7660ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
7757, 61, 59, 75, 76xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  < +oo )
7857, 59, 77xrltned 37667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =/= +oo )
7978neneqd 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo )
8044, 56sge0repnf 38342 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo ) )
8179, 80mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR )
8240, 81readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  e.  RR )
839adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
8448, 83ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  e.  RR )
8584rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  e.  RR* )
86 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
8747, 85, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )  e.  dom  vol )
8846, 87ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) )
9088, 89fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
9144, 90sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  e. 
RR* )
92 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  <_  ( D `  j ) )
9348, 83, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  <_  ( D `  j ) )
94 icossico 11729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
9567, 63, 68, 93, 94syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
96 volss 22565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
9787, 65, 95, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
9862, 44, 88, 66, 97sge0lempt 38366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
9991, 61, 59, 98, 76xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  < +oo )
10091, 59, 99xrltned 37667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  =/= +oo )
101100neneqd 2648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  = +oo )
10244, 90sge0repnf 38342 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  = +oo ) )
103101, 102mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  e.  RR )
104 hoidmv1lelem2.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
105 hoidmv1lelem2.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
106104, 105syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  A )  =  ( S  -  A ) )
108 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  z  =  S )
109108breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( D `  j )  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  S ) )
110109, 108ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )
111110oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  =  ( ( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )
112111fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) )  =  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) )
113112mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )
114113fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
115107, 114breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
116115elrab 3184 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
117106, 116sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
118117simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
11941, 81, 40, 118leadd2dd 10249 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  <_  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
120 difssd 3550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( NN  \  { K } )  C_  NN )
12162, 44, 54, 81, 120sge0ssrempt 38361 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  e.  RR )
122 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( NN  \  { K }
)  e.  _V )
12343, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
\  { K }
)  e.  _V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( NN  \  { K } )  e.  _V )
12545a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
126 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  ph )
127 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  -> 
j  e.  NN )
128127adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
j  e.  NN )
129126, 128, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( C `  j
)  e.  RR )
130128, 85syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR* )
131129, 130, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
132125, 131ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
13362, 124, 132sge0xrclmpt 38384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR* )
13444, 88, 120sge0lessmpt 38355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
135133, 91, 59, 134, 99xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  < +oo )
136133, 59, 135xrltned 37667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  =/= +oo )
137136neneqd 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  = +oo )
13862, 124, 132sge0repnfmpt 38395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) ) )  = +oo ) )
139137, 138mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR )
1409, 11resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  ( C `  K )
)  e.  RR )
141128, 54syldan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
142128, 53syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
143128, 67syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( C `  j
)  e.  RR* )
144128, 68syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( C `  j
)  <_  ( C `  j ) )
145 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D `  j )  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
14748leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  <_ 
( D `  j
) )
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  ( D `  j
) )
14948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  e.  RR )
15083adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  M  e.  RR )
15149adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  e.  RR )
152 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  S )
15320, 22jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( D `  K )  /\  S  <  B ) )
154 ltmin 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B )  <->  ( S  <  ( D `  K
)  /\  S  <  B ) ) )
15516, 7, 2, 154syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <->  ( S  < 
( D `  K
)  /\  S  <  B ) ) )
156153, 155mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  <  if ( ( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
157156, 29breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  <  M )
158157ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  M )
159149, 151, 150, 152, 158lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <  M )
160149, 150, 159ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  M )
161148, 160jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  (
( D `  j
)  <_  ( D `  j )  /\  ( D `  j )  <_  M ) )
162 lemin 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( D `  j
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  <-> 
( ( D `  j )  <_  ( D `  j )  /\  ( D `  j
)  <_  M )
) )
163149, 149, 150, 162syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  (
( D `  j
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  <-> 
( ( D `  j )  <_  ( D `  j )  /\  ( D `  j
)  <_  M )
) )
164161, 163mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )
165146, 164eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
166 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( D `  j
)  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
167166adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
16849adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  e.  RR )
16984adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR )
170 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  -.  ( D `  j
)  <_  S )
17148adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( D `  j
)  e.  RR )
172168, 171ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( S  <  ( D `  j )  <->  -.  ( D `  j
)  <_  S )
)
173170, 172mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  ( D `  j ) )
174157ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  M )
175173, 174jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( S  <  ( D `  j )  /\  S  <  M ) )
17683adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  M  e.  RR )
177 ltmin 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( S  <  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M )  <->  ( S  <  ( D `  j
)  /\  S  <  M ) ) )
178168, 171, 176, 177syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( S  <  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  <->  ( S  < 
( D `  j
)  /\  S  <  M ) ) )
179175, 178mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )
180168, 169, 179ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <_  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )
181167, 180eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
182165, 181pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <_  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )
183128, 182syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
184 icossico 11729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )
185143, 130, 144, 183, 184syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )
186 volss 22565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) )
187142, 131, 185, 186syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )  <_  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) )
18862, 124, 141, 132, 187sge0lempt 38366 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) )
189121, 139, 140, 188leadd2dd 10249 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) )  <_  (
( M  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
190 difsnid 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( NN  \  { K } )  u.  { K } )  =  NN )
1916, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( NN  \  { K } )  u. 
{ K } )  =  NN )
192191eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } ) )
193192mpteq1d 4477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) )  =  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )
194193fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) )
195 neldifsnd 4091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  K  e.  ( NN  \  { K } ) )
196 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  K  ->  ( C `  j )  =  ( C `  K ) )
197 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  K  ->  ( D `  j )  =  ( D `  K ) )
198197breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  K  ->  (
( D `  j
)  <_  S  <->  ( D `  K )  <_  S
) )
199198, 197ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  K  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) )
200196, 199oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  K  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )  =  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) )
201200fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  K  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  =  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) ) )
20245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
)
2037, 16ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR )
204203rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR* )
205 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
20611, 204, 205syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
207202, 206ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
20862, 124, 6, 195, 141, 201, 207sge0splitsn 38397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) ) )
209 volicore 38521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  e.  RR )
21011, 203, 209syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  e.  RR )
211 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) ) )
212121, 210, 211syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) ) )
213 volico 37958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
21411, 203, 213syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
21516, 7ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( D `  K )  <->  -.  ( D `  K
)  <_  S )
)
21620, 215mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  K )  <_  S
)
217216iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  =  S )
218217breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  <->  ( C `  K )  <  S
) )
219218ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( ( C `
 K )  < 
if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 )  =  if ( ( C `
 K )  < 
S ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
220217oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S )  -  ( C `  K ) )  =  ( S  -  ( C `  K ) ) )
221220adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( C `  K )  <  S
)  ->  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) )  =  ( S  -  ( C `  K ) ) )
222217, 204eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
223222adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  e.  RR* )
22418adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  e.  RR* )
225 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  -.  ( C `  K )  <  S )
22616adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  e.  RR )
22711adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  e.  RR )
228226, 227lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( S  <_  ( C `  K )  <->  -.  ( C `  K )  <  S ) )
229225, 228mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  <_  ( C `  K
) )
230 icogelb 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR*  /\  ( D `  K )  e.  RR*  /\  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K )
) )  ->  ( C `  K )  <_  S )
23118, 12, 15, 230syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  <_  S )
232231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  <_  S )
233223, 224, 229, 232xrletrid 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  =  ( C `  K ) )
234233oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( S  -  ( C `  K ) )  =  ( ( C `  K )  -  ( C `  K )
) )
235227recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  e.  CC )
236235subidd 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  (
( C `  K
)  -  ( C `
 K ) )  =  0 )
237234, 236eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  0  =  ( S  -  ( C `  K ) ) )
238221, 237ifeqda 3905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( ( C `
 K )  < 
S ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 )  =  ( S  -  ( C `  K )
) )
239214, 219, 2383eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  =  ( S  -  ( C `
 K ) ) )
240239oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( S  -  ( C `  K ) ) ) )
241121recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  e.  CC )
24211recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  e.  CC )
24336, 242subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  -  ( C `  K )
)  e.  CC )
244241, 243addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( S  -  ( C `  K ) ) )  =  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
245212, 240, 2443eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) ) )  =  ( ( S  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
246194, 208, 2453eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
247246oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  S )  +  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) ) )
24840recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  -  S
)  e.  CC )
249248, 243, 241addassd 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `  K )
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  S )  +  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) ) )
250249eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( ( S  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `  K )
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) ) )
25135, 36, 242npncand 10029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `
 K ) ) )  =  ( M  -  ( C `  K ) ) )
252251oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `  K )
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `
 K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
253247, 250, 2523eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
254192mpteq1d 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) )  =  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )
255254fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) )
256197breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  K  ->  (
( D `  j
)  <_  M  <->  ( D `  K )  <_  M
) )
257256, 197ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  K  ->  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  =  if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) )
258196, 257oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  K  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )  =  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) )
259258fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  K  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  =  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) ) )
2607, 9ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR )
261260rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR* )
262 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
26311, 261, 262syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
264202, 263ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
26562, 124, 6, 195, 132, 259, 264sge0splitsn 38397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) ) )
266 volicore 38521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  e.  RR )
26711, 260, 266syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  e.  RR )
268 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) ) )
269139, 267, 268syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) ) )
270 volico 37958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
27111, 260, 270syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
27220, 157jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( D `  K )  /\  S  <  M ) )
273 ltmin 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M )  <->  ( S  <  ( D `  K
)  /\  S  <  M ) ) )
27416, 7, 9, 273syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  <->  ( S  < 
( D `  K
)  /\  S  <  M ) ) )
275272, 274mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  <  if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) )
27611, 16, 260, 231, 275lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  <  if (
( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) )
277276iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( C `
 K )  < 
if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 )  =  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M )  -  ( C `  K ) ) )
278 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D `  K )  <_  M  ->  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  =  ( D `
 K ) )
279278adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  if (
( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M )  =  ( D `  K ) )
28012adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  ( D `  K )  e.  RR* )
2819rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
282281adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  M  e.  RR* )
283 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  ( D `  K )  <_  M
)
284 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D `  K
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  ( D `  K ) )
2857, 2, 284syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  ( D `  K ) )
2864, 285eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D `  K ) )
287286adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  M  <_  ( D `  K ) )
288280, 282, 283, 287xrletrid 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  ( D `  K )  =  M )
289279, 288eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  if (
( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M )  =  M )
290 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  ( D `  K )  <_  M )  ->  -.  ( D `  K )  <_  M )
291290iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( D `  K )  <_  M )  ->  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  =  M )
292289, 291pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  =  M )
293292oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M )  -  ( C `  K ) )  =  ( M  -  ( C `  K ) ) )
294271, 277, 2933eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  =  ( M  -  ( C `
 K ) ) )
295294oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( M  -  ( C `  K ) ) ) )
296139recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  CC )
29735, 242subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  -  ( C `  K )
)  e.  CC )
298296, 297addcomd 9853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( M  -  ( C `  K ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
299269, 295, 2983eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
300255, 265, 2993eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
301253, 300breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  <->  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) )  <_  (
( M  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) ) )
302189, 301mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
30342, 82, 103, 119, 302letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
30439, 303eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
30534, 304jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( A [,] B )  /\  ( M  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) ) )
306 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
z  -  A )  =  ( M  -  A ) )
307 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  M  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  M
) )
308 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  M  ->  z  =  M )
309307, 308ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  M  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
310309oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  M  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) )
311310fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  M  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) )
312311mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( z  =  M  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )
313312fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
314306, 313breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( M  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) ) )
315314elrab 3184 . . . 4  |-  ( M  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( M  e.  ( A [,] B )  /\  ( M  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) ) )
316305, 315sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
317316, 105syl6eleqr 2560 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
318272simprd 470 . 2  |-  ( ph  ->  S  <  M )
319 breq2 4399 . . 3  |-  ( u  =  M  ->  ( S  <  u  <->  S  <  M ) )
320319rspcev 3136 . 2  |-  ( ( M  e.  U  /\  S  <  M )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
321317, 318, 320syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319
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