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Theorem hoidmv1lelem2 38414
Description: This is the contradiction proven in step (c) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
hoidmv1lelem2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
hoidmv1lelem2.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.r  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
hoidmv1lelem2.u  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem2.e  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
hoidmv1lelem2.g  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
hoidmv1lelem2.l  |-  ( ph  ->  S  <  B )
hoidmv1lelem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
hoidmv1lelem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K ) ) )
hoidmv1lelem2.m  |-  M  =  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    C, j, z    D, j, z    j, K    j, M, z    u, M    S, j, z    u, S    u, U    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( z, u)    A( u, j)    B( u, j)    C( u)    D( u)    U( z, j)    K( z, u)

Proof of Theorem hoidmv1lelem2
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem2.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 hoidmv1lelem2.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 hoidmv1lelem2.m . . . . . . . 8  |-  M  =  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  if ( ( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
5 hoidmv1lelem2.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
6 hoidmv1lelem2.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
75, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  K
)  e.  RR )
87, 2ifcld 3924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  e.  RR )
94, 8eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10 hoidmv1lelem2.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
1110, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  e.  RR )
127rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D `  K
)  e.  RR* )
13 icossre 11715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR* )  ->  (
( C `  K
) [,) ( D `
 K ) ) 
C_  RR )
1411, 12, 13syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K )
)  C_  RR )
15 hoidmv1lelem2.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K ) ) )
1614, 15sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
17 hoidmv1lelem2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  S )
1811rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  e.  RR* )
19 icoltub 37607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR*  /\  ( D `  K )  e.  RR*  /\  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K )
) )  ->  S  <  ( D `  K
) )
2018, 12, 15, 19syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( D `
 K ) )
2116, 7, 20ltled 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  <_  ( D `  K ) )
22 hoidmv1lelem2.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  B )
2316, 2, 22ltled 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  <_  B )
2421, 23jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  <_  ( D `  K )  /\  S  <_  B ) )
25 lemin 11486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  <_  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B )  <->  ( S  <_  ( D `  K
)  /\  S  <_  B ) ) )
2616, 7, 2, 25syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  <_  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <->  ( S  <_ 
( D `  K
)  /\  S  <_  B ) ) )
2724, 26mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  <_  if (
( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
281, 16, 8, 17, 27letrd 9792 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  if (
( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
294eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  =  M )
3028, 29breqtrd 4427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  M )
31 min2 11484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D `  K
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  B )
327, 2, 31syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  B )
334, 32eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  B )
341, 2, 9, 30, 33eliccd 37601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A [,] B ) )
359recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3616recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
371recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3835, 36, 37npncand 10010 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  =  ( M  -  A ) )
3938eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  -  A
)  =  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) ) )
409, 16resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  S
)  e.  RR )
4116, 1resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  A
)  e.  RR )
4240, 41readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  e.  RR )
43 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
45 volf 22483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
4710ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  RR )
485ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  RR )
4916adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
5048, 49ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR )
5150rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR* )
52 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
5347, 51, 52syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )  e.  dom  vol )
5446, 53ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
55 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
5654, 55fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
5744, 56sge0xrcl 38227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e. 
RR* )
58 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
60 hoidmv1lelem2.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
6160rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
62 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j
ph
6348rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e. 
RR* )
64 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR* )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
6547, 63, 64syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) )  e. 
dom  vol )
6646, 65ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6747rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e. 
RR* )
6847leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  <_ 
( C `  j
) )
69 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) )
7048, 49, 69syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <_  ( D `  j ) )
71 icossico 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
7267, 63, 68, 70, 71syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
73 volss 22487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
7453, 65, 72, 73syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
7562, 44, 54, 66, 74sge0lempt 38252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
7660ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
7757, 61, 59, 75, 76xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  < +oo )
7857, 59, 77xrltned 37580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =/= +oo )
7978neneqd 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo )
8044, 56sge0repnf 38228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo ) )
8179, 80mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR )
8240, 81readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  e.  RR )
839adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
8448, 83ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  e.  RR )
8584rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  e.  RR* )
86 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
8747, 85, 86syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )  e.  dom  vol )
8846, 87ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
89 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) )
9088, 89fmptd 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
9144, 90sge0xrcl 38227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  e. 
RR* )
92 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  <_  ( D `  j ) )
9348, 83, 92syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  <_  ( D `  j ) )
94 icossico 11704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
9567, 63, 68, 93, 94syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
96 volss 22487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
9787, 65, 95, 96syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
9862, 44, 88, 66, 97sge0lempt 38252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
9991, 61, 59, 98, 76xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  < +oo )
10091, 59, 99xrltned 37580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  =/= +oo )
101100neneqd 2629 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  = +oo )
10244, 90sge0repnf 38228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  = +oo ) )
103101, 102mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  e.  RR )
104 hoidmv1lelem2.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
105 hoidmv1lelem2.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
106104, 105syl6eleq 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
107 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  A )  =  ( S  -  A ) )
108 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  z  =  S )
109108breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( D `  j )  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  S ) )
110109, 108ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )
111110oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  =  ( ( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )
112111fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  S  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) )  =  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) )
113112mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )
114113fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
115107, 114breq12d 4415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
116115elrab 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
117106, 116sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
118117simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
11941, 81, 40, 118leadd2dd 10228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  <_  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
120 difssd 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( NN  \  { K } )  C_  NN )
12162, 44, 54, 81, 120sge0ssrempt 38247 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  e.  RR )
122 difexg 4551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( NN  \  { K }
)  e.  _V )
12343, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
\  { K }
)  e.  _V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( NN  \  { K } )  e.  _V )
12545a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
126 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  ph )
127 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  -> 
j  e.  NN )
128127adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
j  e.  NN )
129126, 128, 47syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( C `  j
)  e.  RR )
130128, 85syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR* )
131129, 130, 86syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
132125, 131ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
13362, 124, 132sge0xrclmpt 38270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR* )
13444, 88, 120sge0lessmpt 38241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
135133, 91, 59, 134, 99xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  < +oo )
136133, 59, 135xrltned 37580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  =/= +oo )
137136neneqd 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  = +oo )
13862, 124, 132sge0repnfmpt 38281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) ) )  = +oo ) )
139137, 138mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR )
1409, 11resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  ( C `  K )
)  e.  RR )
141128, 54syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
142128, 53syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
143128, 67syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( C `  j
)  e.  RR* )
144128, 68syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( C `  j
)  <_  ( C `  j ) )
145 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D `  j )  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
146145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
14748leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  <_ 
( D `  j
) )
148147adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  ( D `  j
) )
14948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  e.  RR )
15083adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  M  e.  RR )
15149adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  e.  RR )
152 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  S )
15320, 22jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( D `  K )  /\  S  <  B ) )
154 ltmin 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B )  <->  ( S  <  ( D `  K
)  /\  S  <  B ) ) )
15516, 7, 2, 154syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <->  ( S  < 
( D `  K
)  /\  S  <  B ) ) )
156153, 155mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  <  if ( ( D `  K
)  <_  B , 
( D `  K
) ,  B ) )
157156, 29breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  <  M )
158157ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  M )
159149, 151, 150, 152, 158lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <  M )
160149, 150, 159ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  M )
161148, 160jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  (
( D `  j
)  <_  ( D `  j )  /\  ( D `  j )  <_  M ) )
162 lemin 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( D `  j
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  <-> 
( ( D `  j )  <_  ( D `  j )  /\  ( D `  j
)  <_  M )
) )
163149, 149, 150, 162syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  (
( D `  j
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M )  <-> 
( ( D `  j )  <_  ( D `  j )  /\  ( D `  j
)  <_  M )
) )
164161, 163mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( D `  j )  <_  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )
165146, 164eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
166 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( D `  j
)  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
167166adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
16849adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  e.  RR )
16984adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR )
170 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  -.  ( D `  j
)  <_  S )
17148adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( D `  j
)  e.  RR )
172168, 171ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( S  <  ( D `  j )  <->  -.  ( D `  j
)  <_  S )
)
173170, 172mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  ( D `  j ) )
174157ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  M )
175173, 174jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( S  <  ( D `  j )  /\  S  <  M ) )
17683adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  M  e.  RR )
177 ltmin 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( S  <  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M )  <->  ( S  <  ( D `  j
)  /\  S  <  M ) ) )
178168, 171, 176, 177syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( S  <  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  <->  ( S  < 
( D `  j
)  /\  S  <  M ) ) )
179175, 178mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )
180168, 169, 179ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  S  <_  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )
181167, 180eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
182165, 181pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <_  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) )
183128, 182syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
184 icossico 11704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  if (
( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )
185143, 130, 144, 183, 184syl22anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )
186 volss 22487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) )
187142, 131, 185, 186syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( NN  \  { K } ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )  <_  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) )
18862, 124, 141, 132, 187sge0lempt 38252 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) )
189121, 139, 140, 188leadd2dd 10228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) )  <_  (
( M  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
190 difsnid 4118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( NN  \  { K } )  u.  { K } )  =  NN )
1916, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( NN  \  { K } )  u. 
{ K } )  =  NN )
192191eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } ) )
193192mpteq1d 4484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) )  =  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )
194193fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) )
195 neldifsnd 4100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  K  e.  ( NN  \  { K } ) )
196 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  K  ->  ( C `  j )  =  ( C `  K ) )
197 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  K  ->  ( D `  j )  =  ( D `  K ) )
198197breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  K  ->  (
( D `  j
)  <_  S  <->  ( D `  K )  <_  S
) )
199198, 197ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  K  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) )
200196, 199oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  K  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )  =  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) )
201200fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  K  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  =  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) ) )
20245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
)
2037, 16ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR )
204203rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR* )
205 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
20611, 204, 205syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
207202, 206ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
20862, 124, 6, 195, 141, 201, 207sge0splitsn 38283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) ) )
209 volicore 38403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  e.  RR )
21011, 203, 209syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  e.  RR )
211 rexadd 11525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) ) )
212121, 210, 211syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) ) )
213 volico 38363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
21411, 203, 213syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
21516, 7ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( D `  K )  <->  -.  ( D `  K
)  <_  S )
)
21620, 215mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  K )  <_  S
)
217216iffalsed 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  =  S )
218217breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  <->  ( C `  K )  <  S
) )
219218ifbid 3903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( ( C `
 K )  < 
if ( ( D `
 K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 )  =  if ( ( C `
 K )  < 
S ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
220217oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S )  -  ( C `  K ) )  =  ( S  -  ( C `  K ) ) )
221220adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( C `  K )  <  S
)  ->  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) )  =  ( S  -  ( C `  K ) ) )
222217, 204eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
223222adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  e.  RR* )
22418adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  e.  RR* )
225 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  -.  ( C `  K )  <  S )
22616adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  e.  RR )
22711adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  e.  RR )
228226, 227lenltd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( S  <_  ( C `  K )  <->  -.  ( C `  K )  <  S ) )
229225, 228mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  <_  ( C `  K
) )
230 icogelb 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR*  /\  ( D `  K )  e.  RR*  /\  S  e.  ( ( C `  K ) [,) ( D `  K )
) )  ->  ( C `  K )  <_  S )
23118, 12, 15, 230syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  <_  S )
232231adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  <_  S )
233223, 224, 229, 232xrletrid 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  S  =  ( C `  K ) )
234233oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( S  -  ( C `  K ) )  =  ( ( C `  K )  -  ( C `  K )
) )
235227recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  ( C `  K )  e.  CC )
236235subidd 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  (
( C `  K
)  -  ( C `
 K ) )  =  0 )
237234, 236eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  ( C `  K )  <  S )  ->  0  =  ( S  -  ( C `  K ) ) )
238221, 237ifeqda 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( ( C `
 K )  < 
S ,  ( if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 )  =  ( S  -  ( C `  K )
) )
239214, 219, 2383eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  S , 
( D `  K
) ,  S ) ) )  =  ( S  -  ( C `
 K ) ) )
240239oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S
) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( S  -  ( C `  K ) ) ) )
241121recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  e.  CC )
24211recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  e.  CC )
24336, 242subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  -  ( C `  K )
)  e.  CC )
244241, 243addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) )  +  ( S  -  ( C `  K ) ) )  =  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
245212, 240, 2443eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  S ,  ( D `  K ) ,  S ) ) ) )  =  ( ( S  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
246194, 208, 2453eqtrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
247246oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  S )  +  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) ) )
24840recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  -  S
)  e.  CC )
249248, 243, 241addassd 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `  K )
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  S )  +  ( ( S  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) ) )
250249eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( ( S  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `  K )
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) ) )
25135, 36, 242npncand 10010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `
 K ) ) )  =  ( M  -  ( C `  K ) ) )
252251oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  S )  +  ( S  -  ( C `  K )
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `
 K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
253247, 250, 2523eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) ) )
254192mpteq1d 4484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) )  =  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )
255254fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) )
256197breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  K  ->  (
( D `  j
)  <_  M  <->  ( D `  K )  <_  M
) )
257256, 197ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  K  ->  if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
)  =  if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) )
258196, 257oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  K  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )  =  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) )
259258fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  K  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) )  =  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) ) )
2607, 9ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR )
261260rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR* )
262 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
26311, 261, 262syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) )  e.  dom  vol )
264202, 263ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
26562, 124, 6, 195, 132, 259, 264sge0splitsn 38283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( ( NN  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
j  e.  ( NN 
\  { K }
)  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) ) )
266 volicore 38403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  e.  RR )
26711, 260, 266syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  e.  RR )
268 rexadd 11525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) ) )
269139, 267, 268syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) ) )
270 volico 38363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C `  K
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
27111, 260, 270syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  =  if ( ( C `  K )  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 ) )
27220, 157jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( D `  K )  /\  S  <  M ) )
273 ltmin 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( D `  K )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M )  <->  ( S  <  ( D `  K
)  /\  S  <  M ) ) )
27416, 7, 9, 273syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  <  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  <->  ( S  < 
( D `  K
)  /\  S  <  M ) ) )
275272, 274mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  <  if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) )
27611, 16, 260, 231, 275lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C `  K
)  <  if (
( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) )
277276iftrued 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( C `
 K )  < 
if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ,  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  -  ( C `
 K ) ) ,  0 )  =  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M )  -  ( C `  K ) ) )
278 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D `  K )  <_  M  ->  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  =  ( D `
 K ) )
279278adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  if (
( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M )  =  ( D `  K ) )
28012adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  ( D `  K )  e.  RR* )
2819rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
282281adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  M  e.  RR* )
283 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  ( D `  K )  <_  M
)
284 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D `  K
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  ( D `  K ) )
2857, 2, 284syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  B ,  ( D `  K ) ,  B
)  <_  ( D `  K ) )
2864, 285eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D `  K ) )
287286adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  M  <_  ( D `  K ) )
288280, 282, 283, 287xrletrid 11452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  ( D `  K )  =  M )
289279, 288eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( D `  K )  <_  M
)  ->  if (
( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M )  =  M )
290 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  ( D `  K )  <_  M )  ->  -.  ( D `  K )  <_  M )
291290iffalsed 3892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( D `  K )  <_  M )  ->  if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  =  M )
292289, 291pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
)  =  M )
293292oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M )  -  ( C `  K ) )  =  ( M  -  ( C `  K ) ) )
294271, 277, 2933eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( C `  K
) [,) if ( ( D `  K
)  <_  M , 
( D `  K
) ,  M ) ) )  =  ( M  -  ( C `
 K ) ) )
295294oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M
) ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( M  -  ( C `  K ) ) ) )
296139recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  e.  CC )
29735, 242subcld 9986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  -  ( C `  K )
)  e.  CC )
298296, 297addcomd 9835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) )  +  ( M  -  ( C `  K ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
299269, 295, 2983eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) +e ( vol `  ( ( C `  K ) [,) if ( ( D `  K )  <_  M ,  ( D `  K ) ,  M ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
300255, 265, 2993eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  =  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) )
301253, 300breq12d 4415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )  <->  ( ( M  -  ( C `  K ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) ) ) )  <_  (
( M  -  ( C `  K )
)  +  (Σ^ `  ( j  e.  ( NN  \  { K } )  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M
) ) ) ) ) ) ) )
302189, 301mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
30342, 82, 103, 119, 302letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  S )  +  ( S  -  A ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
30439, 303eqbrtrd 4423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
30534, 304jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( A [,] B )  /\  ( M  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) ) )
306 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
z  -  A )  =  ( M  -  A ) )
307 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  M  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  M
) )
308 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  M  ->  z  =  M )
309307, 308ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  M  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) )
310309oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  M  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) )
311310fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  M  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  M , 
( D `  j
) ,  M ) ) ) )
312311mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( z  =  M  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) )
313312fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) )
314306, 313breq12d 4415 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( M  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) ) )
315314elrab 3196 . . . 4  |-  ( M  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( M  e.  ( A [,] B )  /\  ( M  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  M ,  ( D `  j ) ,  M ) ) ) ) ) ) )
316305, 315sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
317316, 105syl6eleqr 2540 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
318272simprd 465 . 2  |-  ( ph  ->  S  <  M )
319 breq2 4406 . . 3  |-  ( u  =  M  ->  ( S  <  u  <->  S  <  M ) )
320319rspcev 3150 . 2  |-  ( ( M  e.  U  /\  S  <  M )  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
321317, 318, 320syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  U  S  <  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   volcvol 22415  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-sumge0 38205
This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  38415
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