Theorem hoidmv1lelem2 38414

Description: This is the contradiction proven in step (c) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1lelem2.a	|- ( ph -> A e. RR )
hoidmv1lelem2.b	|- ( ph -> B e. RR )
hoidmv1lelem2.c	|- ( ph -> C : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.d	|- ( ph -> D : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
hoidmv1lelem2.u	|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem2.e	|- ( ph -> S e. U )
hoidmv1lelem2.g	|- ( ph -> A <_ S )
hoidmv1lelem2.l	|- ( ph -> S < B )
hoidmv1lelem2.k	|- ( ph -> K e. NN )
hoidmv1lelem2.s	|- ( ph -> S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) )
hoidmv1lelem2.m	|- M = if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1lelem2	|- ( ph -> E. u e. U S < u )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   C, j, z   D, j, z   j, K   j, M, z   u, M   S, j, z   u, S   u, U   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( z, u)   A( u, j)   B( u, j)   C( u)   D( u)   U( z, j)   K( z, u)

Proof of Theorem hoidmv1lelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1lelem2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
2		hoidmv1lelem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
3		hoidmv1lelem2.m	. . . . . . . 8 |- M = if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B )
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
5		hoidmv1lelem2.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D : NN --> RR )
6		hoidmv1lelem2.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. NN )
7	5, 6	ffvelrnd 6023	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D ` K ) e. RR )
8	7, 2	ifcld 3924	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) e. RR )
9	4, 8	eqeltrd 2529	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
10		hoidmv1lelem2.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C : NN --> RR )
11	10, 6	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` K ) e. RR )
12	7	rexrd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ` K ) e. RR* )
13		icossre 11715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ ( D ` K ) e. RR* ) -> ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) C_ RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) C_ RR )
15		hoidmv1lelem2.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) )
16	14, 15	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
17		hoidmv1lelem2.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ S )
18	11	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ` K ) e. RR* )
19		icoltub 37607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C ` K ) e. RR* /\ ( D ` K ) e. RR* /\ S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) ) -> S < ( D ` K ) )
20	18, 12, 15, 19	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < ( D ` K ) )
21	16, 7, 20	ltled 9783	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S <_ ( D ` K ) )
22		hoidmv1lelem2.l	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < B )
23	16, 2, 22	ltled 9783	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S <_ B )
24	21, 23	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S <_ ( D ` K ) /\ S <_ B ) )
25		lemin 11486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( S <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S <_ ( D ` K ) /\ S <_ B ) ) )
26	16, 7, 2, 25	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S <_ ( D ` K ) /\ S <_ B ) ) )
27	24, 26	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
28	1, 16, 8, 17, 27	letrd 9792	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
29	4	eqcomd 2457	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) = M )
30	28, 29	breqtrd 4427	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ M )
31		min2 11484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ B )
32	7, 2, 31	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ B )
33	4, 32	eqbrtrd 4423	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ B )
34	1, 2, 9, 30, 33	eliccd 37601	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( A [,] B ) )
35	9	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
36	16	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. CC )
37	1	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
38	35, 36, 37	npncand 10010	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) = ( M - A ) )
39	38	eqcomd 2457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M - A ) = ( ( M - S ) + ( S - A ) ) )
40	9, 16	resubcld 10047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - S ) e. RR )
41	16, 1	resubcld 10047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S - A ) e. RR )
42	40, 41	readdcld 9670	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) e. RR )
43		nnex 10615	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> NN e. _V )
45		volf 22483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
47	10	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
48	5	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
49	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. RR )
50	48, 49	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR )
51	50	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* )
52		icombl 22517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
53	47, 51, 52	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
54	46, 53	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
55		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
56	54, 55	fmptd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
57	44, 56	sge0xrcl 38227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR* )
58		pnfxr 11412	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> +oo e. RR* )
60		hoidmv1lelem2.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
61	60	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
62		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ph
63	48	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
64		icombl 22517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
65	47, 63, 64	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
66	46, 65	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
67	47	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
68	47	leidd 10180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
69		min1 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ S e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) )
70	48, 49, 69	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) )
71		icossico 11704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
72	67, 63, 68, 70, 71	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
73		volss 22487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
74	53, 65, 72, 73	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
75	62, 44, 54, 66, 74	sge0lempt 38252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
76	60	ltpnfd 11423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
77	57, 61, 59, 75, 76	xrlelttrd 11457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) < +oo )
78	57, 59, 77	xrltned 37580	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) =/= +oo )
79	78	neneqd 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo )
80	44, 56	sge0repnf 38228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo ) )
81	79, 80	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR )
82	40, 81	readdcld 9670	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) e. RR )
83	9	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> M e. RR )
84	48, 83	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR )
85	84	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* )
86		icombl 22517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol )
87	47, 85, 86	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol )
88	46, 87	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
89		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
90	88, 89	fmptd 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
91	44, 90	sge0xrcl 38227	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR* )
92		min1 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ M e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <_ ( D ` j ) )
93	48, 83, 92	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <_ ( D ` j ) )
94		icossico 11704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
95	67, 63, 68, 93, 94	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
96		volss 22487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
97	87, 65, 95, 96	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
98	62, 44, 88, 66, 97	sge0lempt 38252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
99	91, 61, 59, 98, 76	xrlelttrd 11457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) < +oo )
100	91, 59, 99	xrltned 37580	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) =/= +oo )
101	100	neneqd 2629	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo )
102	44, 90	sge0repnf 38228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo ) )
103	101, 102	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR )
104		hoidmv1lelem2.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. U )
105		hoidmv1lelem2.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
106	104, 105	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
107		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> ( z - A ) = ( S - A ) )
108		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> z = S )
109	108	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ S ) )
110	109, 108	ifbieq2d 3906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
111	110	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) )
112	111	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
113	112	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) )
114	113	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
115	107, 114	breq12d 4415	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
116	115	elrab 3196	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
117	106, 116	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
118	117	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
119	41, 81, 40, 118	leadd2dd 10228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) <_ ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
120		difssd 3561	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( NN \ { K } ) C_ NN )
121	62, 44, 54, 81, 120	sge0ssrempt 38247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR )
122		difexg 4551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN e. _V -> ( NN \ { K } ) e. _V )
123	43, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN \ { K } ) e. _V
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( NN \ { K } ) e. _V )
125	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
126		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ph )
127		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( NN \ { K } ) -> j e. NN )
128	127	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> j e. NN )
129	126, 128, 47	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( C ` j ) e. RR )
130	128, 85	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* )
131	129, 130, 86	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol )
132	125, 131	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	62, 124, 132	sge0xrclmpt 38270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR* )
134	44, 88, 120	sge0lessmpt 38241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
135	133, 91, 59, 134, 99	xrlelttrd 11457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) < +oo )
136	133, 59, 135	xrltned 37580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) =/= +oo )
137	136	neneqd 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo )
138	62, 124, 132	sge0repnfmpt 38281	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo ) )
139	137, 138	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR )
140	9, 11	resubcld 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - ( C ` K ) ) e. RR )
141	128, 54	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
142	128, 53	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
143	128, 67	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( C ` j ) e. RR* )
144	128, 68	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
145		iftrue 3887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
146	145	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
147	48	leidd 10180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) <_ ( D ` j ) )
148	147	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ ( D ` j ) )
149	48	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) e. RR )
150	83	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> M e. RR )
151	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> S e. RR )
152		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ S )
153	20, 22	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( D ` K ) /\ S < B ) )
154		ltmin 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < B ) ) )
155	16, 7, 2, 154	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < B ) ) )
156	153, 155	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S < if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
157	156, 29	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S < M )
158	157	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> S < M )
159	149, 151, 150, 152, 158	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) < M )
160	149, 150, 159	ltled 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ M )
161	148, 160	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( ( D ` j ) <_ ( D ` j ) /\ ( D ` j ) <_ M ) )
162		lemin 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( D ` j ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( ( D ` j ) <_ ( D ` j ) /\ ( D ` j ) <_ M ) ) )
163	149, 149, 150, 162	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( ( D ` j ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( ( D ` j ) <_ ( D ` j ) /\ ( D ` j ) <_ M ) ) )
164	161, 163	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
165	146, 164	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
166		iffalse 3890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S )
167	166	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S )
168	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S e. RR )
169	84	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR )
170		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> -. ( D ` j ) <_ S )
171	48	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) e. RR )
172	168, 171	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( S < ( D ` j ) <-> -. ( D ` j ) <_ S ) )
173	170, 172	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S < ( D ` j ) )
174	157	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S < M )
175	173, 174	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( S < ( D ` j ) /\ S < M ) )
176	83	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> M e. RR )
177		ltmin 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` j ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( S < if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( S < ( D ` j ) /\ S < M ) ) )
178	168, 171, 176, 177	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( S < if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( S < ( D ` j ) /\ S < M ) ) )
179	175, 178	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S < if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
180	168, 169, 179	ltled 9783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
181	167, 180	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
182	165, 181	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
183	128, 182	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
184		icossico 11704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) )
185	143, 130, 144, 183, 184	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) )
186		volss 22487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
187	142, 131, 185, 186	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
188	62, 124, 141, 132, 187	sge0lempt 38252	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
189	121, 139, 140, 188	leadd2dd 10228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
190		difsnid 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN -> ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) = NN )
191	6, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) = NN )
192	191	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN = ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) )
193	192	mpteq1d 4484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) = ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) )
194	193	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
195		neldifsnd 4100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. K e. ( NN \ { K } ) )
196		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = K -> ( C ` j ) = ( C ` K ) )
197		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = K -> ( D ` j ) = ( D ` K ) )
198	197	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = K -> ( ( D ` j ) <_ S <-> ( D ` K ) <_ S ) )
199	198, 197	ifbieq1d 3904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = K -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) )
200	196, 199	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = K -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) = ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) )
201	200	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = K -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) )
202	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
203	7, 16	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR )
204	203	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR* )
205		icombl 22517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR* ) -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) e. dom vol )
206	11, 204, 205	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) e. dom vol )
207	202, 206	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
208	62, 124, 6, 195, 141, 201, 207	sge0splitsn 38283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) )
209		volicore 38403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. RR )
210	11, 203, 209	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. RR )
211		rexadd 11525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR /\ ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) )
212	121, 210, 211	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) )
213		volico 38363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
214	11, 203, 213	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
215	16, 7	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( D ` K ) <-> -. ( D ` K ) <_ S ) )
216	20, 215	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. ( D ` K ) <_ S )
217	216	iffalsed 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) = S )
218	217	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) <-> ( C ` K ) < S ) )
219	218	ifbid 3903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) = if ( ( C ` K ) < S , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
220	217	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) = ( S - ( C ` K ) ) )
221	220	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( C ` K ) < S ) -> ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) = ( S - ( C ` K ) ) )
222	217, 204	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. RR* )
223	222	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S e. RR* )
224	18	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) e. RR* )
225		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> -. ( C ` K ) < S )
226	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S e. RR )
227	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) e. RR )
228	226, 227	lenltd 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( S <_ ( C ` K ) <-> -. ( C ` K ) < S ) )
229	225, 228	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S <_ ( C ` K ) )
230		icogelb 11686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C ` K ) e. RR* /\ ( D ` K ) e. RR* /\ S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) ) -> ( C ` K ) <_ S )
231	18, 12, 15, 230	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C ` K ) <_ S )
232	231	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) <_ S )
233	223, 224, 229, 232	xrletrid 11452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S = ( C ` K ) )
234	233	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( S - ( C ` K ) ) = ( ( C ` K ) - ( C ` K ) ) )
235	227	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) e. CC )
236	235	subidd 9974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( ( C ` K ) - ( C ` K ) ) = 0 )
237	234, 236	eqtr2d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> 0 = ( S - ( C ` K ) ) )
238	221, 237	ifeqda 3914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( ( C ` K ) < S , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) = ( S - ( C ` K ) ) )
239	214, 219, 238	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) = ( S - ( C ` K ) ) )
240	239	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( S - ( C ` K ) ) ) )
241	121	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. CC )
242	11	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C ` K ) e. CC )
243	36, 242	subcld 9986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S - ( C ` K ) ) e. CC )
244	241, 243	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( S - ( C ` K ) ) ) = ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
245	212, 240, 244	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
246	194, 208, 245	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
247	246	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - S ) + ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) )
248	40	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M - S ) e. CC )
249	248, 243, 241	addassd 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - S ) + ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) )
250	249	eqcomd 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
251	35, 36, 242	npncand 10010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) = ( M - ( C ` K ) ) )
252	251	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
253	247, 250, 252	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
254	192	mpteq1d 4484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) = ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) )
255	254	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
256	197	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = K -> ( ( D ` j ) <_ M <-> ( D ` K ) <_ M ) )
257	256, 197	ifbieq1d 3904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = K -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) = if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) )
258	196, 257	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = K -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) = ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) )
259	258	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = K -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) )
260	7, 9	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR )
261	260	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR* )
262		icombl 22517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR* ) -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) e. dom vol )
263	11, 261, 262	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) e. dom vol )
264	202, 263	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
265	62, 124, 6, 195, 132, 259, 264	sge0splitsn 38283	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) )
266		volicore 38403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. RR )
267	11, 260, 266	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. RR )
268		rexadd 11525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR /\ ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) )
269	139, 267, 268	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) )
270		volico 38363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) , ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
271	11, 260, 270	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) , ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
272	20, 157	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S < ( D ` K ) /\ S < M ) )
273		ltmin 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` K ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < M ) ) )
274	16, 7, 9, 273	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < M ) ) )
275	272, 274	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) )
276	11, 16, 260, 231, 275	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) )
277	276	iftrued 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) , ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) , 0 ) = ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) )
278		iftrue 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D ` K ) <_ M -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = ( D ` K ) )
279	278	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = ( D ` K ) )
280	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> ( D ` K ) e. RR* )
281	9	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. RR* )
282	281	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> M e. RR* )
283		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> ( D ` K ) <_ M )
284		min1 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ ( D ` K ) )
285	7, 2, 284	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ ( D ` K ) )
286	4, 285	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M <_ ( D ` K ) )
287	286	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> M <_ ( D ` K ) )
288	280, 282, 283, 287	xrletrid 11452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> ( D ` K ) = M )
289	279, 288	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = M )
290		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. ( D ` K ) <_ M ) -> -. ( D ` K ) <_ M )
291	290	iffalsed 3892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. ( D ` K ) <_ M ) -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = M )
292	289, 291	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = M )
293	292	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) = ( M - ( C ` K ) ) )
294	271, 277, 293	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) = ( M - ( C ` K ) ) )
295	294	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( M - ( C ` K ) ) ) )
296	139	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. CC )
297	35, 242	subcld 9986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M - ( C ` K ) ) e. CC )
298	296, 297	addcomd 9835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( M - ( C ` K ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
299	269, 295, 298	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
300	255, 265, 299	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
301	253, 300	breq12d 4415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) <-> ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) ) )
302	189, 301	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
303	42, 82, 103, 119, 302	letrd 9792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
304	39, 303	eqbrtrd 4423	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
305	34, 304	jca 535	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ( A [,] B ) /\ ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
306		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( z - A ) = ( M - A ) )
307		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ M ) )
308		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> z = M )
309	307, 308	ifbieq2d 3906	. . . . . . . . . 10 |- ( z = M -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
310	309	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( z = M -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) )
311	310	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( z = M -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
312	311	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( z = M -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) )
313	312	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( z = M -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
314	306, 313	breq12d 4415	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
315	314	elrab 3196	. . . 4 |- ( M e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( M e. ( A [,] B ) /\ ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
316	305, 315	sylibr 216	. . 3 |- ( ph -> M e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
317	316, 105	syl6eleqr 2540	. 2 |- ( ph -> M e. U )
318	272	simprd 465	. 2 |- ( ph -> S < M )
319		breq2 4406	. . 3 |- ( u = M -> ( S < u <-> S < M ) )
320	319	rspcev 3150	. 2 |- ( ( M e. U /\ S < M ) -> E. u e. U S < u )
321	317, 318, 320	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. u e. U S < u )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   NNcn 10609   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   volcvol 22415  Σ^{^}csumge0 38204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-sumge0 38205

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  38415