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Theorem hoidmv1lelem1 38531
Description: The supremum of  U belongs to  U. This is the last part of step (a) and the whole step (b) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
hoidmv1lelem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
hoidmv1lelem1.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
hoidmv1lelem1.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
hoidmv1lelem1.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
hoidmv1lelem1.r  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
hoidmv1lelem1.u  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem1.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  /\  A  e.  U  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    A, j,
z    y, A    x, B, y    z, B    z, C    z, D    S, j, z    U, j, z    x, U, y    ph, j, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( j)    C( x, y, j)    D( x, y, j)    S( x, y)

Proof of Theorem hoidmv1lelem1
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem1.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
2 hoidmv1lelem1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 hoidmv1lelem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 hoidmv1lelem1.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
5 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } 
C_  ( A [,] B )
64, 5eqsstri 3448 . . . . . . . 8  |-  U  C_  ( A [,] B )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
82rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
93rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
10 hoidmv1lelem1.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
112, 3, 10ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
12 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
142recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1514subidd 9993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
16 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j
ph
17 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
19 volf 22561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
21 hoidmv1lelem1.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
2221ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  RR )
23 hoidmv1lelem1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
2423ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  RR )
252adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2624, 25ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A )  e.  RR )
2726rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A )  e.  RR* )
28 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A
) )  e.  dom  vol )
2922, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) )  e.  dom  vol )
3020, 29ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3116, 18, 30sge0ge0mpt 38394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) )
3215, 31eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) )
3313, 32jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( A [,] B )  /\  ( A  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) ) )
34 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (
z  -  A )  =  ( A  -  A ) )
35 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  A  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  A
) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  A  ->  z  =  A )
3735, 36ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  A  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A ) )
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) )
3938fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A ) ) ) )
4039mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  A  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) )
4140fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) )
4234, 41breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( A  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) ) )
4342elrab 3184 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( A  e.  ( A [,] B )  /\  ( A  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) ) )
4433, 43sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
4544, 4syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
46 ne0i 3728 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
4745, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
482, 3, 7, 47supicc 11806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( U ,  RR ,  <  )  e.  ( A [,] B
) )
491, 48syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
501a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
51 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
ph
522, 3iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
537, 52sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
5453sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  RR )
55 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U )
5617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  NN  e.  _V )
5719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
5822adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j )  e.  RR )
5924adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `  j )  e.  RR )
6054adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
6159, 60ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  e.  RR )
6261rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  e.  RR* )
63 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  e.  dom  vol )
6458, 62, 63syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  e.  dom  vol )
6557, 64ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6655, 56, 65sge0xrclmpt 38384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  e. 
RR* )
67 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  -> +oo  e.  RR* )
69 hoidmv1lelem1.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
7069rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
7224rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e. 
RR* )
73 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR* )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
7422, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) )  e. 
dom  vol )
7520, 74ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7675adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7774adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
7822rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e. 
RR* )
7978adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j )  e.  RR* )
8072adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `  j )  e.  RR* )
8122leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  <_ 
( C `  j
) )
8281adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j )  <_  ( C `  j
) )
83 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  <_  ( D `  j )
)
8459, 60, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  ( D `  j ) )
85 icossico 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  <_  ( D `  j )
) )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j
) ) )
8679, 80, 82, 84, 85syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j
) ) )
87 volss 22565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
8864, 77, 86, 87syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
8955, 56, 65, 76, 88sge0lempt 38366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
9069ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
9266, 71, 68, 89, 91xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  < +oo )
9366, 68, 92xrltned 37667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =/= +oo )
9493neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  = +oo )
95 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) ) )
9665, 95fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
9756, 96sge0repnf 38342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  = +oo ) )
9894, 97mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  e.  RR )
992adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  A  e.  RR )
10098, 99readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )
10152, 49sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
10324, 102ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR )
104103rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR* )
105 icombl 22596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
10622, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )  e.  dom  vol )
10720, 106ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10816, 18, 107sge0xrclmpt 38384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e. 
RR* )
10967a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
110 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) )
11124, 102, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <_  ( D `  j ) )
112 icossico 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
11378, 72, 81, 111, 112syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
114 volss 22565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
115106, 74, 113, 114syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
11616, 18, 107, 75, 115sge0lempt 38366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
117108, 70, 109, 116, 90xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  < +oo )
118108, 109, 117xrltned 37667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =/= +oo )
119118neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo )
120 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
121107, 120fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
12218, 121sge0repnf 38342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo ) )
123119, 122mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR )
124123, 2readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )
125124adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )
1264eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  U  <->  z  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
127126biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U  ->  z  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
128127adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
129 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( z  e.  ( A [,] B )  /\  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) ) )
130128, 129sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  /\  ( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) ) )
131130simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) )
13254, 99, 98lesubaddd 10231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A ) ) )
133131, 132mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A ) )
134123adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR )
135107adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
136106adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )  e.  dom  vol )
137104adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )
13861adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  e.  RR )
139 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  =  ( D `  j ) )
140 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D `  j )  <_  z  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  ( D `
 j ) )
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  =  ( D `  j ) )
14259adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  e.  RR )
14360adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  z  e.  RR )
144101ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  S  e.  RR )
145 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  <_  z
)
14653adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  RR )
14747adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  U  =/=  (/) )
1482, 3jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
149 iccsupr 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  U  C_  ( A [,] B )  /\  A  e.  U )  ->  ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
150148, 7, 45, 149syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
151150simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )
152151adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x
)
153128, 126sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
154 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
155146, 147, 152, 153, 154syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
156155, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  S )
157156ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  z  <_  S )
158142, 143, 144, 145, 157letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  <_  S
)
159158iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  =  ( D `  j ) )
160139, 141, 1593eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  =  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )
161138, 160eqled 9755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  <_  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )
16260adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
16359adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  ( D `  j )  e.  RR )
164 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  -.  ( D `  j )  <_  z )
165162, 163ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  (
z  <  ( D `  j )  <->  -.  ( D `  j )  <_  z ) )
166164, 165mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  z  <  ( D `  j
) )
167162, 163, 166ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  z  <_  ( D `  j
) )
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  z  <_  ( D `  j
) )
169 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( D `  j
)  <_  z  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  z )
170169ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  z )
171 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D `  j )  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
172171adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
173170, 172breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <-> 
z  <_  ( D `  j ) ) )
174168, 173mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
175156ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
z  <_  S )
176169ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  z )
177 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( D `  j
)  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
178177adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
179176, 178breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <->  z  <_  S
) )
180175, 179mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
181174, 180pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
182161, 181pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
183 icossico 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  <_  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  C_  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )
18479, 137, 82, 182, 183syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )
185 volss 22565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) )
18664, 136, 184, 185syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
18755, 56, 65, 135, 186sge0lempt 38366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
18898, 134, 99, 187leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A )  <_  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
18954, 100, 125, 133, 188letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
190189ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U  ->  z  <_  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
19151, 190ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
192 suprleub 10595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )  /\  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )  ->  ( sup ( U ,  RR ,  <  )  <_  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  <->  A. z  e.  U  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
19353, 47, 151, 124, 192syl31anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sup ( U ,  RR ,  <  )  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  <->  A. z  e.  U  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
194191, 193mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( U ,  RR ,  <  )  <_ 
( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
19550, 194eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  <_  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
196101, 2, 123lesubaddd 10231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  <->  S  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
197195, 196mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
19849, 197jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
199 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  A )  =  ( S  -  A ) )
200 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  S
) )
201 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  z  =  S )
202200, 201ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
203202oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) )
204203fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  S  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
205204mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( z  =  S  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )
206205fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( z  =  S  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
207199, 206breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
208207elrab 3184 . . . 4  |-  ( S  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
209198, 208sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
210209, 4syl6eleqr 2560 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
211210, 45, 1513jca 1210 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  /\  A  e.  U  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  38533
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