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Theorem hoidmv1lelem1 38413
Description: The supremum of  U belongs to  U. This is the last part of step (a) and the whole step (b) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
hoidmv1lelem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
hoidmv1lelem1.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
hoidmv1lelem1.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
hoidmv1lelem1.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
hoidmv1lelem1.r  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
hoidmv1lelem1.u  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem1.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  /\  A  e.  U  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    A, j,
z    y, A    x, B, y    z, B    z, C    z, D    S, j, z    U, j, z    x, U, y    ph, j, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( j)    C( x, y, j)    D( x, y, j)    S( x, y)

Proof of Theorem hoidmv1lelem1
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem1.s . . . . . 6  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
2 hoidmv1lelem1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 hoidmv1lelem1.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 hoidmv1lelem1.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }
5 ssrab2 3514 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } 
C_  ( A [,] B )
64, 5eqsstri 3462 . . . . . . . 8  |-  U  C_  ( A [,] B )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
82rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
93rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
10 hoidmv1lelem1.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
112, 3, 10ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
12 lbicc2 11748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
142recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1514subidd 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
16 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j
ph
17 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
19 volf 22483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
21 hoidmv1lelem1.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C : NN --> RR )
2221ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  RR )
23 hoidmv1lelem1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D : NN --> RR )
2423ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  RR )
252adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2624, 25ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A )  e.  RR )
2726rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A )  e.  RR* )
28 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A
) )  e.  dom  vol )
2922, 27, 28syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) )  e.  dom  vol )
3020, 29ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3116, 18, 30sge0ge0mpt 38280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) )
3215, 31eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) )
3313, 32jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( A [,] B )  /\  ( A  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) ) )
34 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (
z  -  A )  =  ( A  -  A ) )
35 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  A  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  A
) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  A  ->  z  =  A )
3735, 36ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  A  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A ) )
3837oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) )
3938fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  A , 
( D `  j
) ,  A ) ) ) )
4039mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  A  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) )
4140fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) )
4234, 41breq12d 4415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( A  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) ) )
4342elrab 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( A  e.  ( A [,] B )  /\  ( A  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  A ,  ( D `  j ) ,  A ) ) ) ) ) ) )
4433, 43sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
4544, 4syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
46 ne0i 3737 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
4745, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
482, 3, 7, 47supicc 11780 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( U ,  RR ,  <  )  e.  ( A [,] B
) )
491, 48syl5eqel 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A [,] B ) )
501a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
51 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
ph
522, 3iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
537, 52sstrd 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
5453sselda 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  RR )
55 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U )
5617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  NN  e.  _V )
5719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
5822adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j )  e.  RR )
5924adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `  j )  e.  RR )
6054adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
6159, 60ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  e.  RR )
6261rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  e.  RR* )
63 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  e.  dom  vol )
6458, 62, 63syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  e.  dom  vol )
6557, 64ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6655, 56, 65sge0xrclmpt 38270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  e. 
RR* )
67 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  -> +oo  e.  RR* )
69 hoidmv1lelem1.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR )
7069rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  e.  RR* )
7224rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e. 
RR* )
73 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  ( D `  j )  e.  RR* )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
7422, 72, 73syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) )  e. 
dom  vol )
7520, 74ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7675adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7774adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) )  e.  dom  vol )
7822rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e. 
RR* )
7978adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j )  e.  RR* )
8072adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `  j )  e.  RR* )
8122leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  <_ 
( C `  j
) )
8281adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `  j )  <_  ( C `  j
) )
83 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  <_  ( D `  j )
)
8459, 60, 83syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  ( D `  j ) )
85 icossico 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  <_  ( D `  j )
) )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j
) ) )
8679, 80, 82, 84, 85syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j
) ) )
87 volss 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j )
) )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
8864, 77, 86, 87syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
8955, 56, 65, 76, 88sge0lempt 38252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
9069ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
9190adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) )  < +oo )
9266, 71, 68, 89, 91xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  < +oo )
9366, 68, 92xrltned 37580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =/= +oo )
9493neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  = +oo )
95 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) ) )
9665, 95fmptd 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
9756, 96sge0repnf 38228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  = +oo ) )
9894, 97mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  e.  RR )
992adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  A  e.  RR )
10098, 99readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )
10152, 49sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
10324, 102ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR )
104103rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  e.  RR* )
105 icombl 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  RR  /\  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol )
10622, 104, 105syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )  e.  dom  vol )
10720, 106ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10816, 18, 107sge0xrclmpt 38270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e. 
RR* )
10967a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
110 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D `  j
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) )
11124, 102, 110syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <_  ( D `  j ) )
112 icossico 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  ( D `  j
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <_  ( D `  j ) ) )  ->  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )
11378, 72, 81, 111, 112syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) 
C_  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) ) )
114 volss 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,) ( D `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  C_  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
115106, 74, 113, 114syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  <_ 
( vol `  (
( C `  j
) [,) ( D `
 j ) ) ) )
11616, 18, 107, 75, 115sge0lempt 38252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) ( D `  j ) ) ) ) ) )
117108, 70, 109, 116, 90xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  < +oo )
118108, 109, 117xrltned 37580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  =/= +oo )
119118neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo )
120 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
121107, 120fmptd 6046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
12218, 121sge0repnf 38228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  = +oo ) )
123119, 122mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR )
124123, 2readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )
125124adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )
1264eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  U  <->  z  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
127126biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U  ->  z  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
128127adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
129 rabid 2967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( z  e.  ( A [,] B )  /\  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) ) )
130128, 129sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  /\  ( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) ) )
131130simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) )
13254, 99, 98lesubaddd 10210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A ) ) )
133131, 132mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A ) )
134123adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  e.  RR )
135107adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
136106adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )  e.  dom  vol )
137104adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )
13861adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  e.  RR )
139 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  =  ( D `  j ) )
140 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D `  j )  <_  z  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  ( D `
 j ) )
141140adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  =  ( D `  j ) )
14259adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  e.  RR )
14360adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  z  e.  RR )
144101ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  S  e.  RR )
145 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  <_  z
)
14653adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  RR )
14747adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  U  =/=  (/) )
1482, 3jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
149 iccsupr 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  U  C_  ( A [,] B )  /\  A  e.  U )  ->  ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
150148, 7, 45, 149syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
151150simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )
152151adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x
)
153128, 126sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
154 suprub 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
155146, 147, 152, 153, 154syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
156155, 1syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  S )
157156ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  z  <_  S )
158142, 143, 144, 145, 157letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  ( D `  j )  <_  S
)
159158iftrued 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  =  ( D `  j ) )
160139, 141, 1593eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  =  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )
161138, 160eqled 9737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  ( D `  j )  <_  z
)  ->  if (
( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z )  <_  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) )
16260adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
16359adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  ( D `  j )  e.  RR )
164 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  -.  ( D `  j )  <_  z )
165162, 163ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  (
z  <  ( D `  j )  <->  -.  ( D `  j )  <_  z ) )
166164, 165mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  z  <  ( D `  j
) )
167162, 163, 166ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  z  <_  ( D `  j
) )
168167adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  z  <_  ( D `  j
) )
169 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( D `  j
)  <_  z  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  z )
170169ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  z )
171 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D `  j )  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
172171adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  ( D `
 j ) )
173170, 172breq12d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  ( if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S )  <-> 
z  <_  ( D `  j ) ) )
174168, 173mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
175156ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
z  <_  S )
176169ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  z )
177 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  ( D `  j
)  <_  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
178177adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  =  S )
179176, 178breq12d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  -> 
( if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  <->  z  <_  S
) )
180175, 179mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  /\  -.  ( D `  j )  <_  S )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
181174, 180pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  /\  -.  ( D `
 j )  <_ 
z )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
182161, 181pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  <_  if (
( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
183 icossico 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C `  j )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
)  e.  RR* )  /\  ( ( C `  j )  <_  ( C `  j )  /\  if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z )  <_  if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  -> 
( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  C_  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) )
18479, 137, 82, 182, 183syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )
185 volss 22487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) )  C_  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) )  -> 
( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S
) ) ) )
18664, 136, 184, 185syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  U )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  <_  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
18755, 56, 65, 135, 186sge0lempt 38252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
18898, 134, 99, 187leadd1dd 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  +  A )  <_  (
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
18954, 100, 125, 133, 188letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U )  ->  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
190189ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U  ->  z  <_  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
19151, 190ralrimi 2788 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
192 suprleub 10573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  C_  RR  /\  U  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x )  /\  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  e.  RR )  ->  ( sup ( U ,  RR ,  <  )  <_  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  <->  A. z  e.  U  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
19353, 47, 151, 124, 192syl31anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sup ( U ,  RR ,  <  )  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A )  <->  A. z  e.  U  z  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
194191, 193mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( U ,  RR ,  <  )  <_ 
( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
19550, 194eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  <_  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) )
196101, 2, 123lesubaddd 10210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  <->  S  <_  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )  +  A ) ) )
197195, 196mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
19849, 197jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
199 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  A )  =  ( S  -  A ) )
200 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( D `  j
)  <_  z  <->  ( D `  j )  <_  S
) )
201 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  z  =  S )
202200, 201ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  S  ->  if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z )  =  if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) )
203202oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  S  ->  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  z , 
( D `  j
) ,  z ) )  =  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) )
204203fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  S  ->  ( vol `  ( ( C `
 j ) [,)
if ( ( D `
 j )  <_ 
z ,  ( D `
 j ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( C `  j
) [,) if ( ( D `  j
)  <_  S , 
( D `  j
) ,  S ) ) ) )
205204mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( z  =  S  ->  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) )
206205fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( z  =  S  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) )
207199, 206breq12d 4415 . . . . 5  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  -  A
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) )  <->  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
208207elrab 3196 . . . 4  |-  ( S  e.  { z  e.  ( A [,] B
)  |  ( z  -  A )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) }  <-> 
( S  e.  ( A [,] B )  /\  ( S  -  A )  <_  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  S ,  ( D `  j ) ,  S ) ) ) ) ) ) )
209198, 208sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { z  e.  ( A [,] B )  |  ( z  -  A )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( C `  j ) [,) if ( ( D `  j )  <_  z ,  ( D `  j ) ,  z ) ) ) ) ) } )
210209, 4syl6eleqr 2540 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
211210, 45, 1513jca 1188 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  /\  A  e.  U  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  U  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   volcvol 22415  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-sumge0 38205
This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  38415
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