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Theorem hoidmv1le 38534
 Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal to the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is one of the two base cases of the induction of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29 (the other base case is the 0-dimensional case). This proof of the 1-dimensional case is given in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1le.l
hoidmv1le.z
hoidmv1le.x
hoidmv1le.a
hoidmv1le.b
hoidmv1le.c
hoidmv1le.d
hoidmv1le.s
Assertion
Ref Expression
hoidmv1le Σ^
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,,)   ()   (,)

Proof of Theorem hoidmv1le
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoidmv1le.b . . . . . . . . . 10
2 hoidmv1le.z . . . . . . . . . . . 12
3 snidg 3986 . . . . . . . . . . . 12
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11
5 hoidmv1le.x . . . . . . . . . . 11
64, 5syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10
71, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
8 hoidmv1le.a . . . . . . . . . 10
98, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
107, 9resubcld 10068 . . . . . . . 8
1110rexrd 9708 . . . . . . 7
12 pnfxr 11435 . . . . . . . 8
1312a1i 11 . . . . . . 7
1410ltpnfd 11446 . . . . . . 7
1511, 13, 14xrltled 37574 . . . . . 6
1615ad2antrr 740 . . . . 5 Σ^
17 id 22 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
1817eqcomd 2477 . . . . . 6 Σ^ Σ^
1918adantl 473 . . . . 5 Σ^ Σ^
2016, 19breqtrd 4420 . . . 4 Σ^ Σ^
21 simpl 464 . . . . 5 Σ^
22 simpr 468 . . . . . 6 Σ^ Σ^
23 nnex 10637 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7 Σ^
25 hoidmv1le.l . . . . . . . . . . . 12
265a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
27 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
2926, 28eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
31 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . 14
326, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
34 hoidmv1le.c . . . . . . . . . . . . . 14
3534ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13
36 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12
38 hoidmv1le.d . . . . . . . . . . . . . 14
3938ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13
40 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12
4225, 30, 33, 37, 41hoidmvn0val 38524 . . . . . . . . . . 11
435prodeq1i 14049 . . . . . . . . . . . 12
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11
452adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
466adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
4737, 46ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
4841, 46ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
49 volicore 38521 . . . . . . . . . . . . . 14
5047, 48, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
5150recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
52 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
5655prodsn 14093 . . . . . . . . . . . 12
5745, 51, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
5842, 44, 573eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
5958mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6260, 61oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463cbvprodv 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 ifeq2 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867mpt2eq3ia 6375 . . . . . . . . . . . . . 14
6968mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . 13
7025, 69eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
7170, 30, 37, 41hoidmvcl 38522 . . . . . . . . . . 11
72 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
7371, 72fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
74 icossicc 11746 . . . . . . . . . . 11
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10
7673, 75fssd 5750 . . . . . . . . 9
7759, 76feq1dd 37503 . . . . . . . 8
7877ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^
7924, 78sge0repnf 38342 . . . . . 6 Σ^ Σ^ Σ^
8022, 79mpbird 240 . . . . 5 Σ^ Σ^
819ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^
827ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^
83 simplr 770 . . . . . . 7 Σ^
84 eqid 2471 . . . . . . . . 9
8547, 84fmptd 6061 . . . . . . . 8
8685ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^
87 eqid 2471 . . . . . . . . 9
8848, 87fmptd 6061 . . . . . . . 8
8988ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^
90 hoidmv1le.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17
915eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9291biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
93 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9594, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9695rgen 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099iuneq2i 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10290, 101sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107106sneqd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108107eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109108rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110104, 105, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112 elixpsn 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1132, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115111, 114mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1165eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12094, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12294, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
123120, 122oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
124123eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125124rgen 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128118, 127eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131115, 130eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15
132103, 131sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14
133 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . 14
134132, 133sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
135 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1365, 135ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137136eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138137biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139138adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140 elixpsn 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1412, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143139, 142mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
145144sneqr 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
147 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
149 opthg 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1502, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
151150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
152146, 151mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
153152simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1541533adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
155 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
156154, 155eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1571563exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159158rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160143, 159mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161160ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
163162reximdva 2858 . . . . . . . . . . . . 13
164134, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
165 eliun 4274 . . . . . . . . . . . 12
166164, 165sylibr 217 . . . . . . . . . . 11
167166ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10
168 dfss3 3408 . . . . . . . . . 10
169167, 168sylibr 217 . . . . . . . . 9
170 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13
171 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
172171fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
173172adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
174 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
175 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
177170, 173, 174, 176fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12
178 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13
179 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
180179fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
181180adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
182 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
184178, 181, 174, 183fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12
185177, 184oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
186185iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . 10
187172, 180oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
188187cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . 12
189188eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11
190189a1i 11 . . . . . . . . . 10
191186, 190eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9
192169, 191sseqtrd 3454 . . . . . . . 8
193192ad2antrr 740 . . . . . . 7 Σ^
194172, 84, 175fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
195180, 87, 182fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
196194, 195oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
197196fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
198197mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . 11
199 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200199imbi1i 332 . . . . . . . . . . . . . . 15
201 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
202201imbi2i 319 . . . . . . . . . . . . . . 15
203200, 202bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14
204187, 203mpbi 213 . . . . . . . . . . . . 13
205204fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
206205cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
207198, 206eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
208207fveq2i 5882 . . . . . . . . 9 Σ^ Σ^
209208a1i 11 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^ Σ^
210 simpr 468 . . . . . . . 8 Σ^ Σ^
211209, 210eqeltrd 2549 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
212 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
213195breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214213, 195ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215194, 214oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
216215fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
217216mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . 13
218 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
219218fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
220 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
221220fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222221breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
223222, 221ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16
224219, 223oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
225224fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
226225cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . 13
227217, 226eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11
229 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16
230 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
231229, 230ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . . . . . . 15
232231eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14
233232oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
234233fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
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