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Theorem hoidmv1le 38534
Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal to the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is one of the two base cases of the induction of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29 (the other base case is the 0-dimensional case). This proof of the 1-dimensional case is given in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1le.l  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
hoidmv1le.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
hoidmv1le.x  |-  X  =  { Z }
hoidmv1le.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
hoidmv1le.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
hoidmv1le.c  |-  ( ph  ->  C : NN --> ( RR 
^m  X ) )
hoidmv1le.d  |-  ( ph  ->  D : NN --> ( RR 
^m  X ) )
hoidmv1le.s  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
hoidmv1le  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, j, k, x    B, a, b, j, k, x    C, a, b, j, k, x    D, a, b, j, k, x   
k, V    X, a,
b, k, x    j, Z, k, x    ph, a,
b, j, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    L( x, j, k, a, b)    V( x, j, a, b)    X( j)    Z( a, b)

Proof of Theorem hoidmv1le
Dummy variables  i  w  z  y  l  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoidmv1le.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
2 hoidmv1le.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
3 snidg 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  V  ->  Z  e.  { Z } )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  { Z } )
5 hoidmv1le.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  { Z }
64, 5syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
71, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  Z
)  e.  RR )
8 hoidmv1le.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
98, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  Z
)  e.  RR )
107, 9resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  e.  RR )
1110rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  e.  RR* )
12 pnfxr 11435 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
1410ltpnfd 11446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  < +oo )
1511, 13, 14xrltled 37574 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  <_ +oo )
1615ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  <_ +oo )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )
1817eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
1918adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
2016, 19breqtrd 4420 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
21 simpl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) ) )
22 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )
23 nnex 10637 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
25 hoidmv1le.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) ) ) )
265a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =  { Z } )
27 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { Z }  e.  Fin
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { Z }  e.  Fin )
2926, 28eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
31 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
326, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  =/=  (/) )
34 hoidmv1le.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C : NN --> ( RR 
^m  X ) )
3534ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j )  e.  ( RR  ^m  X
) )
36 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C `  j )  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ( C `  j ) : X --> RR )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( C `
 j ) : X --> RR )
38 hoidmv1le.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D : NN --> ( RR 
^m  X ) )
3938ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j )  e.  ( RR  ^m  X
) )
40 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D `  j )  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ( D `  j ) : X --> RR )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( D `
 j ) : X --> RR )
4225, 30, 33, 37, 41hoidmvn0val 38524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  X
) ( D `  j ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) ) )
435prodeq1i 14049 . . . . . . . . . . . 12  |-  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )  =  prod_ k  e.  { Z } 
( vol `  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) )
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )  =  prod_ k  e.  { Z } 
( vol `  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) ) )
452adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  Z  e.  V )
466adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  Z  e.  X )
4737, 46ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) `
 Z )  e.  RR )
4841, 46ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( D `  j ) `
 Z )  e.  RR )
49 volicore 38521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C `  j ) `  Z
)  e.  RR  /\  ( ( D `  j ) `  Z
)  e.  RR )  ->  ( vol `  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  e.  RR )
5047, 48, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )  e.  RR )
5150recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )  e.  CC )
52 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Z  ->  (
( C `  j
) `  k )  =  ( ( C `
 j ) `  Z ) )
53 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Z  ->  (
( D `  j
) `  k )  =  ( ( D `
 j ) `  Z ) )
5452, 53oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  Z  ->  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) )  =  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  Z  ->  ( vol `  ( ( ( C `  j ) `
 k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
5655prodsn 14093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  V  /\  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { Z } 
( vol `  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) ) )  =  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) )
5745, 51, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  { Z }  ( vol `  ( ( ( C `  j ) `
 k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
5842, 44, 573eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  X
) ( D `  j ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
5958mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  l  ->  (
a `  k )  =  ( a `  l ) )
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  l  ->  (
b `  k )  =  ( b `  l ) )
6260, 61oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  l  ->  (
( a `  k
) [,) ( b `
 k ) )  =  ( ( a `
 l ) [,) ( b `  l
) ) )
6362fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  ( vol `  ( ( a `
 k ) [,) ( b `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( a `  l
) [,) ( b `
 l ) ) ) )
6463cbvprodv 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) )  =  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) (
b `  l )
) )
65 ifeq2 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( prod_
k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) )  =  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) ( b `  l ) ) )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 , 
prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) ( b `  l ) ) ) ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) ( b `  l ) ) ) )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( RR 
^m  x )  /\  b  e.  ( RR  ^m  x ) )  ->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) (
b `  k )
) ) )  =  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) (
b `  l )
) ) ) )
6867mpt2eq3ia 6375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( RR 
^m  x ) ,  b  e.  ( RR 
^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) (
b `  l )
) ) ) )
6968mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x )  |->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ k  e.  x  ( vol `  ( ( a `  k ) [,) ( b `  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) (
b `  l )
) ) ) ) )
7025, 69eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( x  e.  Fin  |->  ( a  e.  ( RR  ^m  x ) ,  b  e.  ( RR  ^m  x ) 
|->  if ( x  =  (/) ,  0 ,  prod_ l  e.  x  ( vol `  ( ( a `  l ) [,) (
b `  l )
) ) ) ) )
7170, 30, 37, 41hoidmvcl 38522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( C `  j ) ( L `  X
) ( D `  j ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
72 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `  X
) ( D `  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) ( L `  X ) ( D `  j
) ) )
7371, 72fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
74 icossicc 11746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )
7673, 75fssd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7759, 76feq1dd 37503 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7877ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7924, 78sge0repnf 38342 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )
)
8022, 79mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )
819ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( A `  Z )  e.  RR )
827ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( B `  Z )  e.  RR )
83 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)
84 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) `  Z ) )
8547, 84fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) : NN --> RR )
8685ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) `  Z ) ) : NN --> RR )
87 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) )
8848, 87fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `  Z
) ) : NN --> RR )
8988ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) : NN --> RR )
90 hoidmv1le.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
) )
915eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  X  <->  k  e.  { Z } )
9291biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  X  ->  k  e.  { Z } )
93 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  { Z }  ->  k  =  Z )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  X  ->  k  =  Z )
9594, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) )  =  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
9695rgen 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  A. k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )
97 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) )  =  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  k ) [,) ( ( D `  j ) `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
10099iuneq2i 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  k ) [,) (
( D `  j
) `  k )
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `  j ) `  k
) [,) ( ( D `  j ) `
 k ) )  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
10290, 101sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k
) )  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
104 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) )  ->  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )
105 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) )  ->  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  x >. } )
106 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  <. Z , 
y >.  =  <. Z ,  x >. )
107106sneqd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  { <. Z ,  y >. }  =  { <. Z ,  x >. } )
108107eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. }  <->  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  x >. } ) )
109108rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z ) )  /\  {
<. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  x >. } )  ->  E. y  e.  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )
110104, 105, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) )  ->  E. y  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  E. y  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )
112 elixpsn 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  V  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  <->  E. y  e.  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } ) )
1132, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) )  <->  E. y  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } ) )
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  <->  E. y  e.  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } ) )
115111, 114mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) ) )
1165eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { Z }  =  X
117 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { Z }  =  X  ->  X_ k  e.  { Z }  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z
) )  =  X_ k  e.  X  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ k  e.  { Z }  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
)
119 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  Z  ->  ( A `  k )  =  ( A `  Z ) )
12094, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  X  ->  ( A `  k )  =  ( A `  Z ) )
121 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  Z  ->  ( B `  k )  =  ( B `  Z ) )
12294, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  X  ->  ( B `  k )  =  ( B `  Z ) )
123120, 122oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  X  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )  =  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) ) )
124123eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  X  ->  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  =  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )
125124rgen 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. k  e.  X  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z
) )  =  ( ( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )
126 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  X  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  =  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z
) )  =  X_ k  e.  X  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ k  e.  X  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z
) )  =  X_ k  e.  X  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )
128118, 127eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X_ k  e.  { Z }  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
)
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  { Z }  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z
) )  =  X_ k  e.  X  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  X_ k  e.  { Z }  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) )  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
131115, 130eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  ( ( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )
132103, 131sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  { <. Z ,  x >. }  e.  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
133 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. Z ,  x >. }  e.  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  <->  E. j  e.  NN  {
<. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
134132, 133sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  E. j  e.  NN  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
135 ixpeq1 7551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  { Z }  -> 
X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  =  X_ k  e.  { Z }  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
1365, 135ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  =  X_ k  e.  { Z }  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )
137136eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( {
<. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  <->  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
138137biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( {
<. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  ->  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
139138adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  ->  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
140 elixpsn 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Z  e.  V  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )  <->  E. y  e.  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } ) )
1412, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  <->  E. y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } ) )
142141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  { Z }  ( (
( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  <->  E. y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } ) )
143139, 142mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  ->  E. y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )
144 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  <. Z ,  x >.  e.  _V
145144sneqr 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( {
<. Z ,  x >. }  =  { <. Z , 
y >. }  ->  <. Z ,  x >.  =  <. Z , 
y >. )
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  <. Z ,  x >.  =  <. Z , 
y >. )
147 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  x  e. 
_V
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  x  e.  _V )
149 opthg 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Z  e.  V  /\  x  e.  _V )  ->  ( <. Z ,  x >.  =  <. Z ,  y
>. 
<->  ( Z  =  Z  /\  x  =  y ) ) )
1502, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( <. Z ,  x >.  =  <. Z ,  y
>. 
<->  ( Z  =  Z  /\  x  =  y ) ) )
151150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  ( <. Z ,  x >.  = 
<. Z ,  y >.  <->  ( Z  =  Z  /\  x  =  y )
) )
152146, 151mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  ( Z  =  Z  /\  x  =  y )
)
153152simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  x  =  y )
1541533adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  x  =  y )
155 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
156154, 155eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  /\  { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y >. } )  ->  x  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
1571563exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )  ->  ( { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y
>. }  ->  x  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) ) )
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  ->  ( { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z , 
y >. }  ->  x  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) ) )
159158rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( (
( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) { <. Z ,  x >. }  =  { <. Z ,  y
>. }  ->  x  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) )
160143, 159mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
161160ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )  ->  x  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
162161ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( { <. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  ( (
( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  ->  x  e.  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) )
163162reximdva 2858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  ( E. j  e.  NN  {
<. Z ,  x >. }  e.  X_ k  e.  X  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  ->  E. j  e.  NN  x  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
164134, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  E. j  e.  NN  x  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
165 eliun 4274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  <->  E. j  e.  NN  x  e.  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
166164, 165sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  ->  x  e.  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) )
167166ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) x  e.  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
168 dfss3 3408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) 
C_  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  <->  A. x  e.  ( ( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) x  e.  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
169167, 168sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
)  C_  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
170 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) `  Z ) ) )
171 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  ( C `  j )  =  ( C `  i ) )
172171fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  (
( C `  j
) `  Z )  =  ( ( C `
 i ) `  Z ) )
173172adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  j  =  i )  -> 
( ( C `  j ) `  Z
)  =  ( ( C `  i ) `
 Z ) )
174 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
175 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C `  i ) `
 Z )  e. 
_V
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( C `  i ) `
 Z )  e. 
_V )
177170, 173, 174, 176fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) `  Z )
) `  i )  =  ( ( C `
 i ) `  Z ) )
178 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) )
179 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  ( D `  j )  =  ( D `  i ) )
180179fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  (
( D `  j
) `  Z )  =  ( ( D `
 i ) `  Z ) )
181180adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN )  /\  j  =  i )  -> 
( ( D `  j ) `  Z
)  =  ( ( D `  i ) `
 Z ) )
182 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D `  i ) `
 Z )  e. 
_V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( D `  i ) `
 Z )  e. 
_V )
184178, 181, 174, 183fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  Z ) )
185177, 184oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )
)  =  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) )
186185iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) )  = 
U_ i  e.  NN  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
) )
187172, 180oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )  =  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) )
188187cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  =  U_ i  e.  NN  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) )
189188eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ i  e.  NN  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  =  U_ j  e.  NN  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )
190189a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U_ i  e.  NN  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
191186, 190eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  =  U_ i  e.  NN  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) `  Z )
) `  i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) ) )
192169, 191sseqtrd 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
)  C_  U_ i  e.  NN  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) `  Z )
) `  i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) ) )
193192ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) )  C_  U_ i  e.  NN  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) `  Z )
) `  i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) ) )
194172, 84, 175fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
)  =  ( ( C `  i ) `
 Z ) )
195180, 87, 182fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `  Z
) ) `  i
)  =  ( ( D `  i ) `
 Z ) )
196194, 195oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) `  Z ) ) `  i ) [,) (
( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `  Z
) ) `  i
) )  =  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) )
197196fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) `  Z )
) `  i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ) )
198197mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
) ) )
199 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  i  <->  i  =  j )
200199imbi1i 332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  =  i  -> 
( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  =  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) )  <->  ( i  =  j  ->  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) )  =  ( ( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) ) ) )
201 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) )  =  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  <->  ( (
( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  =  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) )
202201imbi2i 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  j  -> 
( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  =  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) )  <->  ( i  =  j  ->  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  =  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
203200, 202bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  =  i  -> 
( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
)  =  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) )  <->  ( i  =  j  ->  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) )  =  ( ( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
204187, 203mpbi 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) ( ( D `  i ) `
 Z ) )  =  ( ( ( C `  j ) `
 Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) )
205204fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( vol `  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,) ( ( D `  i ) `  Z
) ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  j ) `  Z
) [,) ( ( D `  j ) `
 Z ) ) ) )
206205cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) (
( D `  i
) `  Z )
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) )
207198, 206eqtri 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i ) ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `
 j ) `  Z ) [,) (
( D `  j
) `  Z )
) ) )
208207fveq2i 5882 . . . . . . . . 9  |-  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )
209208a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
210 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )
211209, 210eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )
) ) ) )  e.  RR )
212 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w  -  ( A `
 Z ) )  =  ( z  -  ( A `  Z ) ) )
213195breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i )  <_  z  <->  ( ( D `  i
) `  Z )  <_  z ) )
214213, 195ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  NN  ->  if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i )  <_ 
z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i ) ,  z )  =  if ( ( ( D `  i ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  i ) `
 Z ) ,  z ) )
215194, 214oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) `  Z ) ) `  i ) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i )  <_ 
z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i ) ,  z ) )  =  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,)
if ( ( ( D `  i ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  i ) `
 Z ) ,  z ) ) )
216215fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j
) `  Z )
) `  i ) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) if ( ( ( D `
 i ) `  Z )  <_  z ,  ( ( D `
 i ) `  Z ) ,  z ) ) ) )
217216mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) [,)
if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i ) ,  z ) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  i
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  i ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  i ) `
 Z ) ,  z ) ) ) )
218 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  ( C `  i )  =  ( C `  h ) )
219218fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  h  ->  (
( C `  i
) `  Z )  =  ( ( C `
 h ) `  Z ) )
220 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  h  ->  ( D `  i )  =  ( D `  h ) )
221220fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  h  ->  (
( D `  i
) `  Z )  =  ( ( D `
 h ) `  Z ) )
222221breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  (
( ( D `  i ) `  Z
)  <_  z  <->  ( ( D `  h ) `  Z )  <_  z
) )
223222, 221ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  h  ->  if ( ( ( D `
 i ) `  Z )  <_  z ,  ( ( D `
 i ) `  Z ) ,  z )  =  if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  z , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  z ) )
224219, 223oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  h  ->  (
( ( C `  i ) `  Z
) [,) if ( ( ( D `  i ) `  Z
)  <_  z , 
( ( D `  i ) `  Z
) ,  z ) )  =  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  h ) `
 Z ) ,  z ) ) )
225224fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  h  ->  ( vol `  ( ( ( C `  i ) `
 Z ) [,)
if ( ( ( D `  i ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  i ) `
 Z ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  h ) `  Z
) [,) if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  z , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  z ) ) ) )
226225cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `
 i ) `  Z ) [,) if ( ( ( D `
 i ) `  Z )  <_  z ,  ( ( D `
 i ) `  Z ) ,  z ) ) ) )  =  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  (
( ( C `  h ) `  Z
) [,) if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  z , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  z ) ) ) )
227217, 226eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) [,)
if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i ) ,  z ) ) ) )  =  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  h ) `
 Z ) ,  z ) ) ) )
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) ,  z ) ) ) )  =  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `
 h ) `  Z ) [,) if ( ( ( D `
 h ) `  Z )  <_  z ,  ( ( D `
 h ) `  Z ) ,  z ) ) ) ) )
229 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( D `  h ) `  Z
)  <_  w  <->  ( ( D `  h ) `  Z )  <_  z
) )
230 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
231229, 230ifbieq2d 3897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( D `
 h ) `  Z )  <_  w ,  ( ( D `
 h ) `  Z ) ,  w
)  =  if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  z , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  z ) )
232231eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( D `
 h ) `  Z )  <_  z ,  ( ( D `
 h ) `  Z ) ,  z )  =  if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  w , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  w ) )
233232oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( C `  h ) `  Z
) [,) if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  z , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  z ) )  =  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) )
234233fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ( vol `  ( ( ( C `  h ) `
 Z ) [,)
if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  h ) `
 Z ) ,  z ) ) )  =  ( vol `  (
( ( C `  h ) `  Z
) [,) if ( ( ( D `  h ) `  Z
)  <_  w , 
( ( D `  h ) `  Z
) ,  w ) ) ) )
235234mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_ 
z ,  ( ( D `  h ) `
 Z ) ,  z ) ) ) )  =  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `
 h ) `  Z ) [,) if ( ( ( D `
 h ) `  Z )  <_  w ,  ( ( D `
 h ) `  Z ) ,  w
) ) ) ) )
236228, 235eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  (
( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `
 j ) `  Z ) ) `  i ) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i )  <_ 
z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i ) ,  z ) ) ) ) )
237236fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (Σ^ `  (
h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) ,  z ) ) ) ) ) )
238212, 237breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  -  ( A `  Z )
)  <_  (Σ^ `  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) ) ) )  <->  ( z  -  ( A `  Z ) )  <_  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) ,  z ) ) ) ) ) ) )
239238cbvrabv 3030 . . . . . . 7  |-  { w  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z )
)  |  ( w  -  ( A `  Z ) )  <_ 
(Σ^ `  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) ) ) ) }  =  {
z  e.  ( ( A `  Z ) [,] ( B `  Z ) )  |  ( z  -  ( A `  Z )
)  <_  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) if ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `
 j ) `  Z ) ) `  i )  <_  z ,  ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j ) `
 Z ) ) `
 i ) ,  z ) ) ) ) ) }
240 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  sup ( { w  e.  (
( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  |  ( w  -  ( A `  Z ) )  <_  (Σ^ `  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) ) ) ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { w  e.  ( ( A `  Z
) [,] ( B `
 Z ) )  |  ( w  -  ( A `  Z ) )  <_  (Σ^ `  ( h  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  h
) `  Z ) [,) if ( ( ( D `  h ) `
 Z )  <_  w ,  ( ( D `  h ) `  Z ) ,  w
) ) ) ) ) } ,  RR ,  <  )
24181, 82, 83, 86, 89, 193, 211, 239, 240hoidmv1lelem3 38533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) )  <_  (Σ^ `  ( i  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) `  Z
) ) `  i
) [,) ( ( j  e.  NN  |->  ( ( D `  j
) `  Z )
) `  i )
) ) ) ) )
242241, 209breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
24321, 80, 242syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  /\  -.  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) )  = +oo )  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
)  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
24420, 243pm2.61dan 808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
24525, 29, 32, 8, 1hoidmvn0val 38524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
24626prodeq1d 14052 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) )  =  prod_ k  e.  { Z }  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) ) )
247 volicore 38521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  ( B `  Z )  e.  RR )  -> 
( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  e.  RR )
2489, 7, 247syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  e.  RR )
249248recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  e.  CC )
250119, 121oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  Z  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) )  =  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) ) )
251250fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  Z  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) )
252251prodsn 14093 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  V  /\  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z ) ) )  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { Z }  ( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) ) )
2532, 249, 252syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  { Z }  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z ) ) ) )
254245, 246, 2533eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  =  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) ) )
255254adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  ( A
( L `  X
) B )  =  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) ) )
256 volico 37958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  Z
)  e.  RR  /\  ( B `  Z )  e.  RR )  -> 
( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  =  if ( ( A `  Z
)  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `  Z
)  -  ( A `
 Z ) ) ,  0 ) )
2579, 7, 256syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  (
( A `  Z
) [,) ( B `
 Z ) ) )  =  if ( ( A `  Z
)  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `  Z
)  -  ( A `
 Z ) ) ,  0 ) )
258257adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) )  =  if ( ( A `  Z )  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) ,  0 ) )
259 iftrue 3878 . . . . . 6  |-  ( ( A `  Z )  <  ( B `  Z )  ->  if ( ( A `  Z )  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) ,  0 )  =  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) )
260259adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  if (
( A `  Z
)  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `  Z
)  -  ( A `
 Z ) ) ,  0 )  =  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) )
261255, 258, 2603eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  ( A
( L `  X
) B )  =  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z )
) )
26259fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
263262adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) )
264261, 263breq12d 4408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  ( ( A ( L `  X ) B )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) )  <->  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( ( C `  j
) `  Z ) [,) ( ( D `  j ) `  Z
) ) ) ) ) ) )
265244, 264mpbird 240 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A `  Z )  <  ( B `  Z )
)  ->  ( A
( L `  X
) B )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
266245adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k ) ) ) )
267246adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  =  prod_ k  e.  { Z } 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) ) )
268253adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  prod_ k  e.  { Z } 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  ( vol `  ( ( A `  Z ) [,) ( B `  Z )
) ) )
269257adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  ( vol `  ( ( A `
 Z ) [,) ( B `  Z
) ) )  =  if ( ( A `
 Z )  < 
( B `  Z
) ,  ( ( B `  Z )  -  ( A `  Z ) ) ,  0 ) )
270 iffalse 3881 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A `  Z
)  <  ( B `  Z )  ->  if ( ( A `  Z )  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) ,  0 )  =  0 )
271270adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  if ( ( A `  Z )  <  ( B `  Z ) ,  ( ( B `
 Z )  -  ( A `  Z ) ) ,  0 )  =  0 )
272268, 269, 2713eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  prod_ k  e.  { Z } 
( vol `  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) )  =  0 )
273266, 267, 2723eqtrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  =  0 )
27423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
275274, 76sge0ge0 38340 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
276275adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  0  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
277273, 276eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( A `  Z )  <  ( B `  Z
) )  ->  ( A ( L `  X ) B )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
278265, 277pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( A ( L `
 X ) B )  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( C `  j ) ( L `
 X ) ( D `  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  hoidmvle  38540
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