Theorem hoicvrrex 38388

Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoicvrrex.fi	|- ( ph -> X e. Fin )
hoicvrrex.y	|- ( ph -> Y C_ ( RR ^m X ) )

Assertion

Ref	Expression
hoicvrrex	|- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, X, j, k   i, Y   ph, j, k

Allowed substitution hints:   ph( i)   Y( j, k)

Proof of Theorem hoicvrrex

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10623	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. RR )
2	1	renegcld 10053	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> -u j e. RR )
3		opelxpi 4869	. . . . . . . 8 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
4	2, 1, 3	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
5	4	ad2antlr 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
6		eqid 2453	. . . . . 6 |- ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
7	5, 6	fmptd 6051	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
8		reex 9635	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
9	8, 8	xpex 6600	. . . . . . . 8 |- ( RR X. RR ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR X. RR ) e. _V )
11		hoicvrrex.fi	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Fin )
12		elmapg 7490	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
14	13	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
15	7, 14	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
16		eqid 2453	. . . 4 |- ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
17	15, 16	fmptd 6051	. . 3 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
18		ovex 6323	. . . 4 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
19		nnex 10622	. . . 4 |- NN e. _V
20	18, 19	elmap 7505	. . 3 |- ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
21	17, 20	sylibr 216	. 2 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
22		hoicvrrex.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ ( RR ^m X ) )
23		eqid 2453	. . . . . 6 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) )
24	23, 11	hoicvr 38380	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR ^m X ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
25		eqidd 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> <. -u j , j >. = <. -u j , j >. )
26	25	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
27	26	mpteq2i 4489	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) )
29	28	fveq1d 5872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) )
30	29	coeq2d 5000	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) )
31	30	fveq1d 5872	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
32	31	ixpeq2dv 7543	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
33	32	iuneq2d 4308	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
34	24, 33	sseqtrd 3470	. . . 4 |- ( ph -> ( RR ^m X ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
35	22, 34	sstrd 3444	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
36		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
37	15	elexd 3058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. _V )
38	16	fvmpt2 5962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. _V ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
40	39, 5	fmpt3d 6052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
41	40	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
42		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> k e. X )
43	41, 42	fvovco 37479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) ) )
44	39	fveq1d 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) )
45	44	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) )
46		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
47		opex 4667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <. -u j , j >. e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. -u j , j >. e. _V )
49	6	fvmpt2 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. X /\ <. -u j , j >. e. _V ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
50	46, 48, 49	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
51	50	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
52	45, 51	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = <. -u j , j >. )
53	52	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. -u j , j >. ) )
54		negex 9878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u j e. _V
55		vex 3050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- j e. _V
56	54, 55	op1st 6806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1st ` <. -u j , j >. ) = -u j
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. -u j , j >. ) = -u j )
58	53, 57	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = -u j )
59	52	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. -u j , j >. ) )
60	54, 55	op2nd 6807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2nd ` <. -u j , j >. ) = j
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. -u j , j >. ) = j )
62	59, 61	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = j )
63	58, 62	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) ) = ( -u j [,) j ) )
64	43, 63	eqtrd 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( -u j [,) j ) )
65	64	fveq2d 5874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( -u j [,) j ) ) )
66		volico 38373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) )
67	2, 1, 66	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) )
68		nnrp 11318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
69		neglt 37504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. RR+ -> -u j < j )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> -u j < j )
71	70	iftrued 3891	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) = ( j - -u j ) )
72	1	recnd 9674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. CC )
73	72, 72	subnegd 9998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j - -u j ) = ( j + j ) )
74	72	2timesd 10862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) = ( j + j ) )
75	73, 74	eqtr4d 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( j - -u j ) = ( 2 x. j ) )
76	67, 71, 75	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = ( 2 x. j ) )
77	76	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = ( 2 x. j ) )
78	65, 77	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( 2 x. j ) )
79	78	prodeq2dv 13989	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( 2 x. j ) )
80	11	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
81		2cnd 10689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
82	72	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
83	81, 82	mulcld 9668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
84		fprodconst 14044	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Fin /\ ( 2 x. j ) e. CC ) -> prod_ k e. X ( 2 x. j ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
85	80, 83, 84	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( 2 x. j ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
86	79, 85	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
87	86	mpteq2dva 4492	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) )
88	87	fveq2d 5874	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
89	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
90	68	ssriv 3438	. . . . . . . . . 10 |- NN C_ RR+
91		ioorp 11719	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
92	91	eqcomi 2462	. . . . . . . . . 10 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
93	90, 92	sseqtri 3466	. . . . . . . . 9 |- NN C_ ( 0 (,) +oo )
94		ioossicc 11727	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
95	93, 94	sstri 3443	. . . . . . . 8 |- NN C_ ( 0 [,] +oo )
96		2nn 10774	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. NN )
98	97, 36	nnmulcld 10664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN )
99		hashcl 12545	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. Fin -> ( # ` X ) e. NN0 )
100	11, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN0 )
101	100	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( # ` X ) e. NN0 )
102		nnexpcl 12292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. j ) e. NN /\ ( # ` X ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. NN )
103	98, 101, 102	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. NN )
104	95, 103	sseldi 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
106	104, 105	fmptd 6051	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
107	89, 106	sge0xrcl 38237	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) e. RR* )
108		pnfxr 11419	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo e. RR* )
110		1nn 10627	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
111	95, 110	sselii 3431	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. ( 0 [,] +oo ) )
113		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN |-> 1 ) = ( j e. NN |-> 1 )
114	112, 113	fmptd 6051	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. NN |-> 1 ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
115	89, 114	sge0xrcl 38237	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) e. RR* )
116		nnnfi 37419	. . . . . . . . . 10 |- -. NN e. Fin
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. NN e. Fin )
118		1rp 11313	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
120	89, 117, 119	sge0rpcpnf 38273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) = +oo )
121	120	eqcomd 2459	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) )
122	109, 121	xreqled 37563	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) )
123		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ j ph
124	114	mptex2 37443	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. ( 0 [,] +oo ) )
125	103	nnge1d 10659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
126	123, 89, 124, 104, 125	sge0lempt 38262	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
127	109, 115, 107, 122, 126	xrletrd 11466	. . . . 5 |- ( ph -> +oo <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
128	107, 127	xrgepnfd 37564	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) = +oo )
129		eqidd 2454	. . . 4 |- ( ph -> +oo = +oo )
130	88, 128, 129	3eqtrrd 2492	. . 3 |- ( ph -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
131	35, 130	jca 535	. 2 |- ( ph -> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
132		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ j i
133		nfmpt1 4495	. . . . . . 7 |- F/_ j ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
134	132, 133	nfeq 2605	. . . . . 6 |- F/ j i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
135		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ k i
136		nfcv 2594	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k NN
137		nfmpt1 4495	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
138	136, 137	nfmpt 4494	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
139	135, 138	nfeq 2605	. . . . . . . 8 |- F/ k i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
140		fveq1 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( i ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) )
141	140	coeq2d 5000	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) )
142	141	fveq1d 5872	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
143	142	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
144	139, 143	ixpeq2d 37420	. . . . . . 7 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
145	144	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
146	134, 145	iuneq2df 37392	. . . . 5 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
147	146	sseq2d 3462	. . . 4 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
148	142	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
149	148	a1d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
150	139, 149	ralrimi 2790	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
151	150	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
152	151	prodeq2d 13988	. . . . . . 7 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
153	134, 152	mpteq2da 4491	. . . . . 6 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
154	153	fveq2d 5874	. . . . 5 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
155	154	eqeq2d 2463	. . . 4 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
156	147, 155	anbi12d 718	. . 3 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
157	156	rspcev 3152	. 2 |- ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
158	21, 131, 157	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   ifcif 3883   <.cop 3976   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   X. cxp 4835   o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   ^m cmap 7477   X_cixp 7527   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   - cmin 9865   -ucneg 9866   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ^cexp 12279   #chash 12522   prod_cprod 13971   volcvol 22427  Σ^{^}csumge0 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215

This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  38391