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Theorem hoicvrrex 38496
Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvrrex.fi  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hoicvrrex.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( RR  ^m  X ) )
Assertion
Ref Expression
hoicvrrex  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, X, j, k    i, Y    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    ph( i)    Y( j, k)

Proof of Theorem hoicvrrex
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
21renegcld 10067 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  RR )
3 opelxpi 4871 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  <. -u j ,  j
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
42, 1, 3syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
54ad2antlr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
6 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )
75, 6fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
8 reex 9648 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
98, 8xpex 6614 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  RR )  e.  _V )
11 hoicvrrex.fi . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
12 elmapg 7503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
1310, 11, 12syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
1413adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
)  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
157, 14mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
16 eqid 2471 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
1715, 16fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
18 ovex 6336 . . . 4  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
19 nnex 10637 . . . 4  |-  NN  e.  _V
2018, 19elmap 7518 . . 3  |-  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
2117, 20sylibr 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
22 hoicvrrex.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( RR  ^m  X ) )
23 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
2423, 11hoicvr 38488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
25 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  <. -u j ,  j >.  =  <. -u j ,  j >.
)
2625cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )
2726mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) )
2928fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
)  =  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) )
3029coeq2d 5002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) )  =  ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) )
3130fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) )
3231ixpeq2dv 7556 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)
3332iuneq2d 4296 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
3424, 33sseqtrd 3454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
3522, 34sstrd 3428 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
36 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
3715elexd 3042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  e.  _V )
3816fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  _V )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )
3936, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
4039, 5fmpt3d 6062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
42 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
4341, 42fvovco 37540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( 1st `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j ) `  k ) ) ) )
4439fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )  =  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) `  k ) )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )  =  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) `  k ) )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
47 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <. -u j ,  j >.  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. -u j ,  j >.  e.  _V )
496fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  X  /\  <. -u j ,  j >.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5046, 48, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5150adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5245, 51eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5352fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. ) )
54 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u j  e.  _V
55 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  j  e. 
_V
5654, 55op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. )  =  -u j
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. )  =  -u j
)
5853, 57eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  -u j
)
5952fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. ) )
6054, 55op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. )  =  j
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. )  =  j
)
6259, 61eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  j )
6358, 62oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j ) `  k ) ) )  =  ( -u j [,) j ) )
6443, 63eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( -u j [,) j ) )
6564fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( -u j [,) j ) ) )
66 volico 37958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  if (
-u j  <  j ,  ( j  -  -u j ) ,  0 ) )
672, 1, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  if ( -u j  <  j ,  ( j  -  -u j ) ,  0 ) )
68 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
69 neglt 37584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  RR+  ->  -u j  <  j )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  <  j )
7170iftrued 3880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  if ( -u j  <  j ,  ( j  -  -u j ) ,  0 )  =  ( j  -  -u j ) )
721recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
7372, 72subnegd 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  -u j
)  =  ( j  +  j ) )
74722timesd 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =  ( j  +  j ) )
7573, 74eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  -u j
)  =  ( 2  x.  j ) )
7667, 71, 753eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  ( 2  x.  j
) )
7776ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  ( 2  x.  j
) )
7865, 77eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)  =  ( 2  x.  j ) )
7978prodeq2dv 14054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( 2  x.  j ) )
8011adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
81 2cnd 10704 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
8272adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
8381, 82mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j )  e.  CC )
84 fprodconst 14109 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ( 2  x.  j
)  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  X  ( 2  x.  j
)  =  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) ) )
8580, 83, 84syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( 2  x.  j )  =  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) )
8679, 85eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )  =  ( ( 2  x.  j
) ^ ( # `  X ) ) )
8786mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) )
8887fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) ) )
8919a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
9068ssriv 3422 . . . . . . . . . 10  |-  NN  C_  RR+
91 ioorp 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
9291eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  =  ( 0 (,) +oo )
9390, 92sseqtri 3450 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  ( 0 (,) +oo )
94 ioossicc 11745 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
9593, 94sstri 3427 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ( 0 [,] +oo )
96 2nn 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN )
9897, 36nnmulcld 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j )  e.  NN )
99 hashcl 12576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
10011, 99syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
101100adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  X )  e.  NN0 )
102 nnexpcl 12323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  e.  NN  /\  ( # `  X )  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) )  e.  NN )
10398, 101, 102syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) )  e.  NN )
10495, 103sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
105 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) )
106104, 105fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
10789, 106sge0xrcl 38341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) )  e.  RR* )
108 pnfxr 11435 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
109108a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
110 1nn 10642 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
11195, 110sselii 3415 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
112111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ( 0 [,] +oo ) )
113 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  |->  1 )  =  ( j  e.  NN  |->  1 )
114112, 113fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  1 ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
11589, 114sge0xrcl 38341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) )  e. 
RR* )
116 nnnfi 37468 . . . . . . . . . 10  |-  -.  NN  e.  Fin
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  NN  e.  Fin )
118 1rp 11329 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
119118a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
12089, 117, 119sge0rpcpnf 38377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) )  = +oo )
121120eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) ) )
122109, 121xreqled 37640 . . . . . 6  |-  ( ph  -> +oo  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) ) )
123 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ j
ph
124114mptex2 37506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ( 0 [,] +oo ) )
125103nnge1d 10674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  <_ 
( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) )
126123, 89, 124, 104, 125sge0lempt 38366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) ) )
127109, 115, 107, 122, 126xrletrd 11482 . . . . 5  |-  ( ph  -> +oo  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) ) )
128107, 127xrgepnfd 37641 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) )  = +oo )
129 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( ph  -> +oo  = +oo )
13088, 128, 1293eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( ph  -> +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) )
13135, 130jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )
132 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ j
i
133 nfmpt1 4485 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
134132, 133nfeq 2623 . . . . . 6  |-  F/ j  i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
135 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
i
136 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k NN
137 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )
138136, 137nfmpt 4484 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
139135, 138nfeq 2623 . . . . . . . 8  |-  F/ k  i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
140 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
i `  j )  =  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
)
141140coeq2d 5002 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) )
142141fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)
143142adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)
144139, 143ixpeq2d 37469 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
145144adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
146134, 145iuneq2df 37442 . . . . 5  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
147146sseq2d 3446 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
148142fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
149148a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
k  e.  X  -> 
( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
150139, 149ralrimi 2800 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )
151150adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )
152151prodeq2d 14053 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
153134, 152mpteq2da 4481 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
154153fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) )
155154eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <-> +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )
156147, 155anbi12d 725 . . 3  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( Y  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) ) )
157156rspcev 3136 . 2  |-  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\ +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
15821, 131, 157syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   #chash 12553   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  38499
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