Theorem hoicvrrex 38496

Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoicvrrex.fi	|- ( ph -> X e. Fin )
hoicvrrex.y	|- ( ph -> Y C_ ( RR ^m X ) )

Assertion

Ref	Expression
hoicvrrex	|- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, X, j, k   i, Y   ph, j, k

Allowed substitution hints:   ph( i)   Y( j, k)

Proof of Theorem hoicvrrex

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10638	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. RR )
2	1	renegcld 10067	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> -u j e. RR )
3		opelxpi 4871	. . . . . . . 8 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
4	2, 1, 3	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
5	4	ad2antlr 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
6		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
7	5, 6	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
8		reex 9648	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
9	8, 8	xpex 6614	. . . . . . . 8 |- ( RR X. RR ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR X. RR ) e. _V )
11		hoicvrrex.fi	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Fin )
12		elmapg 7503	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
14	13	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
15	7, 14	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
16		eqid 2471	. . . 4 |- ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
17	15, 16	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
18		ovex 6336	. . . 4 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
19		nnex 10637	. . . 4 |- NN e. _V
20	18, 19	elmap 7518	. . 3 |- ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
21	17, 20	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
22		hoicvrrex.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ ( RR ^m X ) )
23		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) )
24	23, 11	hoicvr 38488	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR ^m X ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
25		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> <. -u j , j >. = <. -u j , j >. )
26	25	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
27	26	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) )
29	28	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) )
30	29	coeq2d 5002	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) )
31	30	fveq1d 5881	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
32	31	ixpeq2dv 7556	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
33	32	iuneq2d 4296	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
34	24, 33	sseqtrd 3454	. . . 4 |- ( ph -> ( RR ^m X ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
35	22, 34	sstrd 3428	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
36		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
37	15	elexd 3042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. _V )
38	16	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. _V ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
40	39, 5	fmpt3d 6062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
41	40	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
42		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> k e. X )
43	41, 42	fvovco 37540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) ) )
44	39	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) )
45	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) )
46		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
47		opex 4664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <. -u j , j >. e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. -u j , j >. e. _V )
49	6	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. X /\ <. -u j , j >. e. _V ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
50	46, 48, 49	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
51	50	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
52	45, 51	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = <. -u j , j >. )
53	52	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. -u j , j >. ) )
54		negex 9893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u j e. _V
55		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- j e. _V
56	54, 55	op1st 6820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1st ` <. -u j , j >. ) = -u j
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. -u j , j >. ) = -u j )
58	53, 57	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = -u j )
59	52	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. -u j , j >. ) )
60	54, 55	op2nd 6821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2nd ` <. -u j , j >. ) = j
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. -u j , j >. ) = j )
62	59, 61	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = j )
63	58, 62	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) ) = ( -u j [,) j ) )
64	43, 63	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( -u j [,) j ) )
65	64	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( -u j [,) j ) ) )
66		volico 37958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) )
67	2, 1, 66	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) )
68		nnrp 11334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
69		neglt 37584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. RR+ -> -u j < j )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> -u j < j )
71	70	iftrued 3880	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) = ( j - -u j ) )
72	1	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. CC )
73	72, 72	subnegd 10012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j - -u j ) = ( j + j ) )
74	72	2timesd 10878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) = ( j + j ) )
75	73, 74	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( j - -u j ) = ( 2 x. j ) )
76	67, 71, 75	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = ( 2 x. j ) )
77	76	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = ( 2 x. j ) )
78	65, 77	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( 2 x. j ) )
79	78	prodeq2dv 14054	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( 2 x. j ) )
80	11	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
81		2cnd 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
82	72	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
83	81, 82	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
84		fprodconst 14109	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Fin /\ ( 2 x. j ) e. CC ) -> prod_ k e. X ( 2 x. j ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
85	80, 83, 84	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( 2 x. j ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
86	79, 85	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
87	86	mpteq2dva 4482	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) )
88	87	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
89	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
90	68	ssriv 3422	. . . . . . . . . 10 |- NN C_ RR+
91		ioorp 11737	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
92	91	eqcomi 2480	. . . . . . . . . 10 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
93	90, 92	sseqtri 3450	. . . . . . . . 9 |- NN C_ ( 0 (,) +oo )
94		ioossicc 11745	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
95	93, 94	sstri 3427	. . . . . . . 8 |- NN C_ ( 0 [,] +oo )
96		2nn 10790	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. NN )
98	97, 36	nnmulcld 10679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN )
99		hashcl 12576	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. Fin -> ( # ` X ) e. NN0 )
100	11, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN0 )
101	100	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( # ` X ) e. NN0 )
102		nnexpcl 12323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. j ) e. NN /\ ( # ` X ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. NN )
103	98, 101, 102	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. NN )
104	95, 103	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
106	104, 105	fmptd 6061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
107	89, 106	sge0xrcl 38341	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) e. RR* )
108		pnfxr 11435	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo e. RR* )
110		1nn 10642	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
111	95, 110	sselii 3415	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. ( 0 [,] +oo ) )
113		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN |-> 1 ) = ( j e. NN |-> 1 )
114	112, 113	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. NN |-> 1 ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
115	89, 114	sge0xrcl 38341	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) e. RR* )
116		nnnfi 37468	. . . . . . . . . 10 |- -. NN e. Fin
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. NN e. Fin )
118		1rp 11329	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
120	89, 117, 119	sge0rpcpnf 38377	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) = +oo )
121	120	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) )
122	109, 121	xreqled 37640	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) )
123		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ j ph
124	114	mptex2 37506	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. ( 0 [,] +oo ) )
125	103	nnge1d 10674	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
126	123, 89, 124, 104, 125	sge0lempt 38366	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
127	109, 115, 107, 122, 126	xrletrd 11482	. . . . 5 |- ( ph -> +oo <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
128	107, 127	xrgepnfd 37641	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) = +oo )
129		eqidd 2472	. . . 4 |- ( ph -> +oo = +oo )
130	88, 128, 129	3eqtrrd 2510	. . 3 |- ( ph -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
131	35, 130	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
132		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ j i
133		nfmpt1 4485	. . . . . . 7 |- F/_ j ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
134	132, 133	nfeq 2623	. . . . . 6 |- F/ j i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
135		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ k i
136		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k NN
137		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
138	136, 137	nfmpt 4484	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
139	135, 138	nfeq 2623	. . . . . . . 8 |- F/ k i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
140		fveq1 5878	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( i ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) )
141	140	coeq2d 5002	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) )
142	141	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
143	142	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
144	139, 143	ixpeq2d 37469	. . . . . . 7 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
145	144	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
146	134, 145	iuneq2df 37442	. . . . 5 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
147	146	sseq2d 3446	. . . 4 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
148	142	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
149	148	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
150	139, 149	ralrimi 2800	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
151	150	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
152	151	prodeq2d 14053	. . . . . . 7 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
153	134, 152	mpteq2da 4481	. . . . . 6 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
154	153	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
155	154	eqeq2d 2481	. . . 4 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
156	147, 155	anbi12d 725	. . 3 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
157	156	rspcev 3136	. 2 |- ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
158	21, 131, 157	syl2anc 673	1 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ifcif 3872   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   - cmin 9880   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   #chash 12553   prod_cprod 14036   volcvol 22493  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  38499