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Theorem hoicvrrex 38388
Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvrrex.fi  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hoicvrrex.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( RR  ^m  X ) )
Assertion
Ref Expression
hoicvrrex  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, X, j, k    i, Y    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    ph( i)    Y( j, k)

Proof of Theorem hoicvrrex
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
21renegcld 10053 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  RR )
3 opelxpi 4869 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  <. -u j ,  j
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
42, 1, 3syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
54ad2antlr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
6 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )
75, 6fmptd 6051 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
8 reex 9635 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
98, 8xpex 6600 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  RR )  e.  _V )
11 hoicvrrex.fi . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
12 elmapg 7490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  /\  X  e.  Fin )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
1310, 11, 12syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )  e.  (
( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
1413adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
)  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  <->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
157, 14mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  e.  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
16 eqid 2453 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
1715, 16fmptd 6051 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
18 ovex 6323 . . . 4  |-  ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  e. 
_V
19 nnex 10622 . . . 4  |-  NN  e.  _V
2018, 19elmap 7505 . . 3  |-  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  <->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) : NN --> ( ( RR  X.  RR )  ^m  X ) )
2117, 20sylibr 216 . 2  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) )
22 hoicvrrex.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( RR  ^m  X ) )
23 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
2423, 11hoicvr 38380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
25 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  <. -u j ,  j >.  =  <. -u j ,  j >.
)
2625cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )
2726mpteq2i 4489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) )
2928fveq1d 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
)  =  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) )
3029coeq2d 5000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) )  =  ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) )
3130fveq1d 5872 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) )
3231ixpeq2dv 7543 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)
3332iuneq2d 4308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( l  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
3424, 33sseqtrd 3470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
3522, 34sstrd 3444 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
36 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
3715elexd 3058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  e.  _V )
3816fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  _V )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )
3936, 37, 38syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
)  =  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
4039, 5fmpt3d 6052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
42 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
4341, 42fvovco 37479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( ( 1st `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j ) `  k ) ) ) )
4439fveq1d 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )  =  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) `  k ) )
4544adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )  =  ( ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) `  k ) )
46 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
47 opex 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <. -u j ,  j >.  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  <. -u j ,  j >.  e.  _V )
496fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  X  /\  <. -u j ,  j >.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5046, 48, 49syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5150adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5245, 51eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )  =  <. -u j ,  j
>. )
5352fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. ) )
54 negex 9878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u j  e.  _V
55 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  j  e. 
_V
5654, 55op1st 6806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. )  =  -u j
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. )  =  -u j
)
5853, 57eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 1st `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  -u j
)
5952fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. ) )
6054, 55op2nd 6807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. )  =  j
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. )  =  j
)
6259, 61eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) `  k )
)  =  j )
6358, 62oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) `  k )
) [,) ( 2nd `  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j ) `  k ) ) )  =  ( -u j [,) j ) )
6443, 63eqtrd 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  =  ( -u j [,) j ) )
6564fveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( -u j [,) j ) ) )
66 volico 38373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  if (
-u j  <  j ,  ( j  -  -u j ) ,  0 ) )
672, 1, 66syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  if ( -u j  <  j ,  ( j  -  -u j ) ,  0 ) )
68 nnrp 11318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
69 neglt 37504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  RR+  ->  -u j  <  j )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  <  j )
7170iftrued 3891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  if ( -u j  <  j ,  ( j  -  -u j ) ,  0 )  =  ( j  -  -u j ) )
721recnd 9674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
7372, 72subnegd 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  -u j
)  =  ( j  +  j ) )
74722timesd 10862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =  ( j  +  j ) )
7573, 74eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  -u j
)  =  ( 2  x.  j ) )
7667, 71, 753eqtrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  ( 2  x.  j
) )
7776ad2antlr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( -u j [,) j ) )  =  ( 2  x.  j
) )
7865, 77eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)  =  ( 2  x.  j ) )
7978prodeq2dv 13989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( 2  x.  j ) )
8011adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  X  e. 
Fin )
81 2cnd 10689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
8272adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
8381, 82mulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j )  e.  CC )
84 fprodconst 14044 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ( 2  x.  j
)  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  X  ( 2  x.  j
)  =  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) ) )
8580, 83, 84syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( 2  x.  j )  =  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) )
8679, 85eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )  =  ( ( 2  x.  j
) ^ ( # `  X ) ) )
8786mpteq2dva 4492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) )
8887fveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) ) )
8919a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
9068ssriv 3438 . . . . . . . . . 10  |-  NN  C_  RR+
91 ioorp 11719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
9291eqcomi 2462 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  =  ( 0 (,) +oo )
9390, 92sseqtri 3466 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  ( 0 (,) +oo )
94 ioossicc 11727 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
9593, 94sstri 3443 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  ( 0 [,] +oo )
96 2nn 10774 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN )
9897, 36nnmulcld 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j )  e.  NN )
99 hashcl 12545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
10011, 99syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
101100adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  X )  e.  NN0 )
102 nnexpcl 12292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  e.  NN  /\  ( # `  X )  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) )  e.  NN )
10398, 101, 102syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) )  e.  NN )
10495, 103sseldi 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
105 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `  X
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) )
106104, 105fmptd 6051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
10789, 106sge0xrcl 38237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) )  e.  RR* )
108 pnfxr 11419 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
109108a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
110 1nn 10627 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
11195, 110sselii 3431 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
112111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ( 0 [,] +oo ) )
113 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  |->  1 )  =  ( j  e.  NN  |->  1 )
114112, 113fmptd 6051 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  1 ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
11589, 114sge0xrcl 38237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) )  e. 
RR* )
116 nnnfi 37419 . . . . . . . . . 10  |-  -.  NN  e.  Fin
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  NN  e.  Fin )
118 1rp 11313 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
119118a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
12089, 117, 119sge0rpcpnf 38273 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) )  = +oo )
121120eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) ) )
122109, 121xreqled 37563 . . . . . 6  |-  ( ph  -> +oo  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) ) )
123 nfv 1763 . . . . . . 7  |-  F/ j
ph
124114mptex2 37443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ( 0 [,] +oo ) )
125103nnge1d 10659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  <_ 
( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) )
126123, 89, 124, 104, 125sge0lempt 38262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  1 ) )  <_ 
(Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) ) )
127109, 115, 107, 122, 126xrletrd 11466 . . . . 5  |-  ( ph  -> +oo  <_  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) ) )
128107, 127xrgepnfd 37564 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  j ) ^ ( # `
 X ) ) ) )  = +oo )
129 eqidd 2454 . . . 4  |-  ( ph  -> +oo  = +oo )
13088, 128, 1293eqtrrd 2492 . . 3  |-  ( ph  -> +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) )
13135, 130jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )
132 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ j
i
133 nfmpt1 4495 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
134132, 133nfeq 2605 . . . . . 6  |-  F/ j  i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
135 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
i
136 nfcv 2594 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k NN
137 nfmpt1 4495 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )
138136, 137nfmpt 4494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
139135, 138nfeq 2605 . . . . . . . 8  |-  F/ k  i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
140 fveq1 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
i `  j )  =  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
)
141140coeq2d 5000 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( [,)  o.  ( i `  j ) )  =  ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) )
142141fveq1d 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)
143142adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  =  ( ( [,) 
o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
) `  j )
) `  k )
)
144139, 143ixpeq2d 37420 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
145144adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j ) ) `  k )  =  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
146134, 145iuneq2df 37392 . . . . 5  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  =  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) )
147146sseq2d 3462 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  <->  Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
148142fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( vol `  ( ( [,) 
o.  ( i `  j ) ) `  k ) )  =  ( vol `  (
( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
149148a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
k  e.  X  -> 
( vol `  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )
)  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
150139, 149ralrimi 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )
151150adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) )
152151prodeq2d 13988 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)  /\  j  e.  NN )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
) )  =  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) )
153134, 152mpteq2da 4491 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
) ) ) )
154153fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) )
155154eqeq2d 2463 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  ( +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) )  <-> +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )
156147, 155anbi12d 718 . . 3  |-  ( i  =  ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) )  ->  (
( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) )  <->  ( Y  C_ 
U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  (
( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) ) )
157156rspcev 3152 . 2  |-  ( ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN )  /\  ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) ) `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( ( j  e.  NN  |->  ( k  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) ) `  j
) ) `  k
) ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  ( ( ( RR 
X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  (
( [,)  o.  (
i `  j )
) `  k )  /\ +oo  =  (Σ^ `  ( j  e.  NN  |->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
15821, 131, 157syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( ( ( RR  X.  RR )  ^m  X )  ^m  NN ) ( Y  C_  U_ j  e.  NN  X_ k  e.  X  ( ( [,)  o.  ( i `  j
) ) `  k
)  /\ +oo  =  (Σ^ `  (
j  e.  NN  |->  prod_
k  e.  X  ( vol `  ( ( [,)  o.  ( i `
 j ) ) `
 k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   ifcif 3883   <.cop 3976   U_ciun 4281   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797    ^m cmap 7477   X_cixp 7527   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    - cmin 9865   -ucneg 9866   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ^cexp 12279   #chash 12522   prod_cprod 13971   volcvol 22427  Σ^csumge0 38214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-prod 13972  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-sumge0 38215
This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  38391
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