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Theorem hoicvr 38370
Description:  I is a countable set of half-open intervals that covers the whole multidimensional reals. See Definition 1135 (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvr.2  |-  I  =  ( j  e.  NN  |->  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
hoicvr.3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
hoicvr  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
Distinct variable groups:    i, X, j, x    ph, i, j, x
Allowed substitution hints:    I( x, i, j)

Proof of Theorem hoicvr
Dummy variables  f 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9630 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 mapdm0 37471 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
}
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
} )
5 oveq2 6298 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
6 ixpeq1 7533 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  i )  =  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 i ) )
76iuneq2d 4305 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
8 ixp0x 7550 . . . . . . . . . 10  |-  X_ i  e.  (/)  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i )  =  { (/)
}
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  X_ i  e.  (/)  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i )  =  { (/)
} )
109iuneq2i 4297 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  U_ j  e.  NN  { (/) }
11 1nn 10620 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
1211ne0ii 3738 . . . . . . . . 9  |-  NN  =/=  (/)
13 iunconst 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  U_ j  e.  NN  { (/) }  =  { (/) } )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  NN  { (/) }  =  { (/) }
1510, 14eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  { (/) }
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  { (/) } )
177, 16eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  { (/) } )
184, 5, 173eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  = 
U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
19 eqimss 3484 . . . 4  |-  ( ( RR  ^m  X )  =  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  ->  ( RR  ^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
2018, 19syl 17 . . 3  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
2120adantl 468 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
22 simpll 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  ph )
23 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  -> 
f  e.  ( RR 
^m  X ) )
24 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  -.  X  =  (/) )
25 rncoss 5095 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( abs  o.  f )  C_  ran  abs
26 absf 13400 . . . . . . . . . . . 12  |-  abs : CC
--> RR
27 frn 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  ran 
abs  C_  RR )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  abs  C_  RR
2925, 28sstri 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( abs  o.  f )  C_  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  C_  RR )
31 ltso 9714 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  <  Or  RR )
3326a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  abs : CC --> RR )
34 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  f : X --> RR )
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  f : X
--> RR )
36 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  RR  C_  CC )
3835, 37fssd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  f : X
--> CC )
39 fco 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  f : X --> CC )  ->  ( abs  o.  f ) : X --> RR )
4033, 38, 39syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  ( abs  o.  f ) : X --> RR )
41 hoicvr.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  X  e.  Fin )
43 rnffi 37440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  f
) : X --> RR  /\  X  e.  Fin )  ->  ran  ( abs  o.  f )  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  ran  ( abs 
o.  f )  e. 
Fin )
4544adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  e.  Fin )
46 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : X --> RR  ->  ran  f  C_  RR )
4734, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ran  f  C_  RR )
4826fdmi 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  abs  =  CC
4948eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  =  dom  abs
5036, 49sseqtri 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  dom  abs
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  RR  C_ 
dom  abs )
5247, 51sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ran  f  C_  dom  abs )
53 dmcosseq 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  f  C_  dom  abs  ->  dom  ( abs  o.  f
)  =  dom  f
)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  dom  ( abs  o.  f )  =  dom  f )
55 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : X --> RR  ->  dom  f  =  X )
5634, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  dom  f  =  X )
5754, 56eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  dom  ( abs  o.  f )  =  X )
5857adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  dom  ( abs  o.  f
)  =  X )
59 neqne 37374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
6059adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
6158, 60eqnetrd 2691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  dom  ( abs  o.  f
)  =/=  (/) )
6261neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  -.  dom  ( abs  o.  f )  =  (/) )
63 dm0rn0 5051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( abs  o.  f
)  =  (/)  <->  ran  ( abs 
o.  f )  =  (/) )
6462, 63sylnib 306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  -.  ran  ( abs  o.  f )  =  (/) )
6564neqned 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  =/=  (/) )
6665adantll 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  =/=  (/) )
67 fisupcl 7985 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  ( abs  o.  f )  e.  Fin  /\ 
ran  ( abs  o.  f )  =/=  (/)  /\  ran  ( abs  o.  f ) 
C_  RR ) )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
6832, 45, 66, 30, 67syl13anc 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
6930, 68sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
70 arch 10866 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  E. j  e.  NN  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )
7169, 70syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  E. j  e.  NN  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j )
7235ffnd 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  f  Fn  X )
7372ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j )  ->  f  Fn  X )
7473adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f  Fn  X )
75 simplll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
7776ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  j  e.  NN )
78 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )
79 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  i  e.  X )
80 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  ->  j  e.  NN )
81 zssre 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ZZ  C_  RR
82 ressxr 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  C_  RR*
8381, 82sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ZZ  C_  RR*
84 nnnegz 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  ZZ )
8583, 84sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  RR* )
8685adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  X )  -> 
-u j  e.  RR* )
8780, 86sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  e.  RR* )
8876nnxrd 37363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR* )
8988adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR* )
9080, 89sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR* )
91343ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f : X
--> RR )
9282a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  RR  C_  RR* )
9391, 92fssd 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f : X
--> RR* )
94933adant1l 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  ->  f : X --> RR* )
9594ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR* )
96 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
9796adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR )
98973ad2antl2 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR )
9998renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  e.  RR )
10035ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
1011003ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
102101renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  e.  RR )
103 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ph )
104 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( RR  ^m  X
) )
105 n0i 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  X  ->  -.  X  =  (/) )
106105adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  -.  X  =  (/) )
107103, 104, 106, 69syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1081073ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
10934ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  RR )
11036, 109sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  CC )
111110abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  (
f `  i )
)  e.  RR )
112111adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e.  RR )
1131123ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e.  RR )
114109renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  -> 
-u ( f `  i )  e.  RR )
115114leabsd 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  -> 
-u ( f `  i )  <_  ( abs `  -u ( f `  i ) ) )
116110absnegd 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  -u (
f `  i )
)  =  ( abs `  ( f `  i
) ) )
117115, 116breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  -> 
-u ( f `  i )  <_  ( abs `  ( f `  i ) ) )
118117adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <_  ( abs `  (
f `  i )
) )
1191183ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <_  ( abs `  (
f `  i )
) )
12029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ran  ( abs  o.  f ) 
C_  RR )
121106, 66syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ran  ( abs  o.  f )  =/=  (/) )
1221213ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ran  ( abs  o.  f )  =/=  (/) )
123 fimaxre2 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ran  ( abs  o.  f )  C_  RR  /\ 
ran  ( abs  o.  f )  e.  Fin )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( abs  o.  f ) z  <_  y )
12429, 44, 123sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )
125124adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )
1261253ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )
127 elmapfun 7495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  Fun  f )
128127adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  Fun  f )
129 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
13056eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  X  =  dom  f )
131130adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  X  =  dom  f
)
132129, 131eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  dom  f
)
133 fvco 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  f  /\  i  e.  dom  f )  -> 
( ( abs  o.  f ) `  i
)  =  ( abs `  ( f `  i
) ) )
134128, 132, 133syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( ( abs  o.  f ) `  i
)  =  ( abs `  ( f `  i
) ) )
135134eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  (
f `  i )
)  =  ( ( abs  o.  f ) `
 i ) )
136 absfun 37573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  Fun  abs
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  Fun  abs )
138 funco 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  abs  /\  Fun  f
)  ->  Fun  ( abs 
o.  f ) )
139137, 127, 138syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  Fun  ( abs  o.  f ) )
140139adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  Fun  ( abs  o.  f ) )
141110, 49syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  dom  abs )
142 dmfco 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  f  /\  i  e.  dom  f )  -> 
( i  e.  dom  ( abs  o.  f )  <-> 
( f `  i
)  e.  dom  abs ) )
143128, 132, 142syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( i  e.  dom  ( abs  o.  f )  <-> 
( f `  i
)  e.  dom  abs ) )
144141, 143mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  dom  ( abs  o.  f ) )
145 fvelrn 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  ( abs  o.  f )  /\  i  e.  dom  ( abs  o.  f ) )  -> 
( ( abs  o.  f ) `  i
)  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
146140, 144, 145syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( ( abs  o.  f ) `  i
)  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
147135, 146eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  (
f `  i )
)  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
148147adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e. 
ran  ( abs  o.  f ) )
1491483ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e. 
ran  ( abs  o.  f ) )
150 suprub 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ran  ( abs 
o.  f )  C_  RR  /\  ran  ( abs 
o.  f )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )  /\  ( abs `  ( f `  i ) )  e. 
ran  ( abs  o.  f ) )  -> 
( abs `  (
f `  i )
)  <_  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  ) )
151120, 122, 126, 149, 150syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  <_  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )
)
152102, 113, 108, 119, 151letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <_  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )
)
153 simpl3 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)
154102, 108, 98, 152, 153lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <  j )
155102, 98ltnegd 10191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( -u ( f `  i
)  <  j  <->  -u j  <  -u -u ( f `  i ) ) )
156154, 155mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  <  -u -u ( f `  i ) )
15736, 101sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  CC )
158157negnegd 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u -u (
f `  i )  =  ( f `  i ) )
159156, 158breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  <  ( f `  i
) )
16099, 101, 159ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  <_  ( f `  i
) )
161101leabsd 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <_  ( abs `  (
f `  i )
) )
162101, 113, 108, 161, 151letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <_  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )
)
163101, 108, 98, 162, 153lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <  j )
16487, 90, 95, 160, 163elicod 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( -u j [,) j ) )
16575, 77, 78, 79, 164syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  ( f `  i )  e.  (
-u j [,) j
) )
166165adantlllr 37361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( -u j [,) j ) )
167 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
168 mptexg 6135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
)  e.  _V )
16941, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  _V )
170169adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  e.  _V )
171 hoicvr.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  I  =  ( j  e.  NN  |->  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
172171fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  _V )  ->  ( I `  j )  =  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) )
173167, 170, 172syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j )  =  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
174173fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( I `  j ) `
 i )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) `  i ) )
1751743adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( (
I `  j ) `  i )  =  ( ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  i ) )
176 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  X  ->  (
x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
)  =  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
177 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. -u j ,  j >.  =  <. -u j ,  j >.
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  X  /\  x  =  i )  -> 
<. -u j ,  j
>.  =  <. -u j ,  j >. )
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  X  ->  i  e.  X )
180 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. -u j ,  j >.  e.  _V
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  X  ->  <. -u j ,  j >.  e.  _V )
182176, 178, 179, 181fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  X  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  i )  =  <. -u j ,  j
>. )
1831823ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) `  i )  =  <. -u j ,  j
>. )
184175, 183eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( (
I `  j ) `  i )  =  <. -u j ,  j >.
)
185184fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  ( 1st `  <. -u j ,  j >. )
)
186 negex 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u j  e.  _V
187 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  j  e. 
_V
188186, 187op1st 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. )  =  -u j
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 1st ` 
<. -u j ,  j
>. )  =  -u j
)
190185, 189eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  -u j )
191184fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  ( 2nd `  <. -u j ,  j >. )
)
192186, 187op2nd 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. )  =  j
193192a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 2nd ` 
<. -u j ,  j
>. )  =  j
)
194191, 193eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  j )
195190, 194oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) [,) ( 2nd `  (
( I `  j
) `  i )
) )  =  (
-u j [,) j
) )
196195eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( -u j [,) j )  =  ( ( 1st `  (
( I `  j
) `  i )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) ) ) )
1971963adant1r 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X )  ->  ( -u j [,) j )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) ) )
198197ad5ant135 1256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( -u j [,) j )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) ) )
199166, 198eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( 1st `  (
( I `  j
) `  i )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) ) ) )
20081, 84sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  RR )
201 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  <. -u j ,  j
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
202200, 96, 201syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
203202ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  X )  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
204 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )
205203, 204fmptd 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
206173feq1d 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( I `  j ) : X --> ( RR 
X.  RR )  <->  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
207205, 206mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
208207ad4ant14 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
209208ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
210 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
211209, 210fvovco 37469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) ) )
212211eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( I `  j
) `  i )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) ) )  =  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
213199, 212eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
214213ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
21574, 214jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
) )
216 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
217216elixp 7529 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  <->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
) )
218215, 217sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
219218ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j  -> 
f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  i ) ) )
220219reximdva 2862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  -> 
( E. j  e.  NN  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j  ->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) ) )
22171, 220mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
22222, 23, 24, 221syl21anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
223 eliun 4283 . . . . 5  |-  ( f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  <->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
224222, 223sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  -> 
f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
225224ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  A. f  e.  ( RR  ^m  X
) f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
226 dfss3 3422 . . 3  |-  ( ( RR  ^m  X ) 
C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )  <->  A. f  e.  ( RR 
^m  X ) f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
227225, 226sylibr 216 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
22821, 227pm2.61dan 800 1  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    Or wor 4754    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835    o. ccom 4838   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792    ^m cmap 7472   X_cixp 7522   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   -ucneg 9861   NNcn 10609   ZZcz 10937   [,)cico 11637   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  hoicvrrex  38378
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