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Theorem hoicvr 38488
Description:  I is a countable set of half-open intervals that covers the whole multidimensional reals. See Definition 1135 (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvr.2  |-  I  =  ( j  e.  NN  |->  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
hoicvr.3  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
hoicvr  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
Distinct variable groups:    i, X, j, x    ph, i, j, x
Allowed substitution hints:    I( x, i, j)

Proof of Theorem hoicvr
Dummy variables  f 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9648 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 mapdm0 37542 . . . . . . 7  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( RR  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
}
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  (/) )  =  { (/)
} )
5 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
6 ixpeq1 7551 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  i )  =  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `
 j ) ) `
 i ) )
76iuneq2d 4296 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
8 ixp0x 7568 . . . . . . . . . 10  |-  X_ i  e.  (/)  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i )  =  { (/)
}
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  X_ i  e.  (/)  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i )  =  { (/)
} )
109iuneq2i 4288 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  U_ j  e.  NN  { (/) }
11 1nn 10642 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
1211ne0ii 3729 . . . . . . . . 9  |-  NN  =/=  (/)
13 iunconst 4278 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  U_ j  e.  NN  { (/) }  =  { (/) } )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  NN  { (/) }  =  { (/) }
1510, 14eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  { (/) }
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  (/)  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  { (/) } )
177, 16eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  =  { (/) } )
184, 5, 173eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  = 
U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
19 eqimss 3470 . . . 4  |-  ( ( RR  ^m  X )  =  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  ->  ( RR  ^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
2018, 19syl 17 . . 3  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
2120adantl 473 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
22 simpll 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  ph )
23 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  -> 
f  e.  ( RR 
^m  X ) )
24 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  -.  X  =  (/) )
25 rncoss 5101 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( abs  o.  f )  C_  ran  abs
26 absf 13477 . . . . . . . . . . . 12  |-  abs : CC
--> RR
27 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  ran 
abs  C_  RR )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  abs  C_  RR
2925, 28sstri 3427 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( abs  o.  f )  C_  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  C_  RR )
31 ltso 9732 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  <  Or  RR )
3326a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  abs : CC --> RR )
34 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  f : X --> RR )
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  f : X
--> RR )
36 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  RR  C_  CC )
3835, 37fssd 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  f : X
--> CC )
39 fco 5751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  f : X --> CC )  ->  ( abs  o.  f ) : X --> RR )
4033, 38, 39syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  ( abs  o.  f ) : X --> RR )
41 hoicvr.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  X  e.  Fin )
43 rnffi 37513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  f
) : X --> RR  /\  X  e.  Fin )  ->  ran  ( abs  o.  f )  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  ran  ( abs 
o.  f )  e. 
Fin )
4544adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  e.  Fin )
46 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : X --> RR  ->  ran  f  C_  RR )
4734, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ran  f  C_  RR )
4826fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  abs  =  CC
4948eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  =  dom  abs
5036, 49sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  dom  abs
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  RR  C_ 
dom  abs )
5247, 51sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  ran  f  C_  dom  abs )
53 dmcosseq 5102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  f  C_  dom  abs  ->  dom  ( abs  o.  f
)  =  dom  f
)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  dom  ( abs  o.  f )  =  dom  f )
55 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : X --> RR  ->  dom  f  =  X )
5634, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  dom  f  =  X )
5754, 56eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  dom  ( abs  o.  f )  =  X )
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  dom  ( abs  o.  f
)  =  X )
59 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
6158, 60eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  dom  ( abs  o.  f
)  =/=  (/) )
6261neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  -.  dom  ( abs  o.  f )  =  (/) )
63 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( abs  o.  f
)  =  (/)  <->  ran  ( abs 
o.  f )  =  (/) )
6462, 63sylnib 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  -.  ran  ( abs  o.  f )  =  (/) )
6564neqned 2650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  =/=  (/) )
6665adantll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ran  ( abs  o.  f
)  =/=  (/) )
67 fisupcl 8003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  ( abs  o.  f )  e.  Fin  /\ 
ran  ( abs  o.  f )  =/=  (/)  /\  ran  ( abs  o.  f ) 
C_  RR ) )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
6832, 45, 66, 30, 67syl13anc 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
6930, 68sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
70 arch 10890 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  E. j  e.  NN  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )
7169, 70syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  E. j  e.  NN  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j )
7235ffnd 5740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  f  Fn  X )
7372ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j )  ->  f  Fn  X )
7473adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f  Fn  X )
75 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
7776ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  j  e.  NN )
78 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )
79 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  i  e.  X )
80 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  ->  j  e.  NN )
81 zssre 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ZZ  C_  RR
82 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  C_  RR*
8381, 82sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ZZ  C_  RR*
84 nnnegz 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  ZZ )
8583, 84sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  RR* )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  X )  -> 
-u j  e.  RR* )
8780, 86sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  e.  RR* )
8876nnxrd 37426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR* )
8988adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR* )
9080, 89sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR* )
91343ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f : X
--> RR )
9282a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  RR  C_  RR* )
9391, 92fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f : X
--> RR* )
94933adant1l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  ->  f : X --> RR* )
9594ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR* )
96 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  NN  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR )
98973ad2antl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  j  e.  RR )
9998renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  e.  RR )
10035ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
1011003ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
102101renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  e.  RR )
103 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ph )
104 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( RR  ^m  X
) )
105 n0i 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  X  ->  -.  X  =  (/) )
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  -.  X  =  (/) )
107103, 104, 106, 69syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1081073ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
10934ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  RR )
11036, 109sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  CC )
111110abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  (
f `  i )
)  e.  RR )
112111adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e.  RR )
1131123ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e.  RR )
114109renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  -> 
-u ( f `  i )  e.  RR )
115114leabsd 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  -> 
-u ( f `  i )  <_  ( abs `  -u ( f `  i ) ) )
116110absnegd 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  -u (
f `  i )
)  =  ( abs `  ( f `  i
) ) )
117115, 116breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  -> 
-u ( f `  i )  <_  ( abs `  ( f `  i ) ) )
118117adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <_  ( abs `  (
f `  i )
) )
1191183ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <_  ( abs `  (
f `  i )
) )
12029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ran  ( abs  o.  f ) 
C_  RR )
121106, 66syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ran  ( abs  o.  f )  =/=  (/) )
1221213ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ran  ( abs  o.  f )  =/=  (/) )
123 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ran  ( abs  o.  f )  C_  RR  /\ 
ran  ( abs  o.  f )  e.  Fin )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( abs  o.  f ) z  <_  y )
12429, 44, 123sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )
1261253ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )
127 elmapfun 7513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  Fun  f )
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  Fun  f )
129 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
13056eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  X  =  dom  f )
131130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  X  =  dom  f
)
132129, 131eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  dom  f
)
133 fvco 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  f  /\  i  e.  dom  f )  -> 
( ( abs  o.  f ) `  i
)  =  ( abs `  ( f `  i
) ) )
134128, 132, 133syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( ( abs  o.  f ) `  i
)  =  ( abs `  ( f `  i
) ) )
135134eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  (
f `  i )
)  =  ( ( abs  o.  f ) `
 i ) )
136 absfun 37660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  Fun  abs
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  Fun  abs )
138 funco 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  abs  /\  Fun  f
)  ->  Fun  ( abs 
o.  f ) )
139137, 127, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  e.  ( RR  ^m  X )  ->  Fun  ( abs  o.  f ) )
140139adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  Fun  ( abs  o.  f ) )
141110, 49syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  dom  abs )
142 dmfco 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Fun  f  /\  i  e.  dom  f )  -> 
( i  e.  dom  ( abs  o.  f )  <-> 
( f `  i
)  e.  dom  abs ) )
143128, 132, 142syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( i  e.  dom  ( abs  o.  f )  <-> 
( f `  i
)  e.  dom  abs ) )
144141, 143mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  dom  ( abs  o.  f ) )
145 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  ( abs  o.  f )  /\  i  e.  dom  ( abs  o.  f ) )  -> 
( ( abs  o.  f ) `  i
)  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
146140, 144, 145syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( ( abs  o.  f ) `  i
)  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
147135, 146eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  ( RR 
^m  X )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  (
f `  i )
)  e.  ran  ( abs  o.  f ) )
148147adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e. 
ran  ( abs  o.  f ) )
1491483ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  e. 
ran  ( abs  o.  f ) )
150 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ran  ( abs 
o.  f )  C_  RR  /\  ran  ( abs 
o.  f )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( abs  o.  f ) z  <_ 
y )  /\  ( abs `  ( f `  i ) )  e. 
ran  ( abs  o.  f ) )  -> 
( abs `  (
f `  i )
)  <_  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  ) )
151120, 122, 126, 149, 150syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( abs `  ( f `  i ) )  <_  sup ( ran  ( abs 
o.  f ) ,  RR ,  <  )
)
152102, 113, 108, 119, 151letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <_  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )
)
153 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)
154102, 108, 98, 152, 153lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u (
f `  i )  <  j )
155102, 98ltnegd 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( -u ( f `  i
)  <  j  <->  -u j  <  -u -u ( f `  i ) ) )
156154, 155mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  <  -u -u ( f `  i ) )
15736, 101sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  CC )
158157negnegd 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u -u (
f `  i )  =  ( f `  i ) )
159156, 158breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  <  ( f `  i
) )
16099, 101, 159ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  -u j  <_  ( f `  i
) )
161101leabsd 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <_  ( abs `  (
f `  i )
) )
162101, 113, 108, 161, 151letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <_  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )
)
163101, 108, 98, 162, 153lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <  j )
16487, 90, 95, 160, 163elicod 11710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  j  e.  NN  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( -u j [,) j ) )
16575, 77, 78, 79, 164syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j )  /\  i  e.  X
)  ->  ( f `  i )  e.  (
-u j [,) j
) )
166165adantlllr 37424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( -u j [,) j ) )
167 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
168 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
)  e.  _V )
16941, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  _V )
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  e.  _V )
171 hoicvr.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  I  =  ( j  e.  NN  |->  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
172171fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. )  e.  _V )  ->  ( I `  j )  =  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) )
173167, 170, 172syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j )  =  ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) )
174173fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( I `  j ) `
 i )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. ) `  i ) )
1751743adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( (
I `  j ) `  i )  =  ( ( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  i ) )
176 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  X  ->  (
x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
)  =  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )
)
177 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. -u j ,  j >.  =  <. -u j ,  j >.
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  X  /\  x  =  i )  -> 
<. -u j ,  j
>.  =  <. -u j ,  j >. )
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  X  ->  i  e.  X )
180 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. -u j ,  j >.  e.  _V
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  X  ->  <. -u j ,  j >.  e.  _V )
182176, 178, 179, 181fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  X  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. -u j ,  j
>. ) `  i )  =  <. -u j ,  j
>. )
1831823ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >.
) `  i )  =  <. -u j ,  j
>. )
184175, 183eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( (
I `  j ) `  i )  =  <. -u j ,  j >.
)
185184fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  ( 1st `  <. -u j ,  j >. )
)
186 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u j  e.  _V
187 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  j  e. 
_V
188186, 187op1st 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1st `  <. -u j ,  j
>. )  =  -u j
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 1st ` 
<. -u j ,  j
>. )  =  -u j
)
190185, 189eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  -u j )
191184fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  ( 2nd `  <. -u j ,  j >. )
)
192186, 187op2nd 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd `  <. -u j ,  j
>. )  =  j
193192a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 2nd ` 
<. -u j ,  j
>. )  =  j
)
194191, 193eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) )  =  j )
195190, 194oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( ( 1st `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) [,) ( 2nd `  (
( I `  j
) `  i )
) )  =  (
-u j [,) j
) )
196195eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X
)  ->  ( -u j [,) j )  =  ( ( 1st `  (
( I `  j
) `  i )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) ) ) )
1971963adant1r 1285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  j  e.  NN  /\  i  e.  X )  ->  ( -u j [,) j )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) ) )
198197ad5ant135 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  ( -u j [,) j )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) ) )
199166, 198eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( 1st `  (
( I `  j
) `  i )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) ) ) )
20081, 84sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  -u j  e.  RR )
201 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  <. -u j ,  j
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
202200, 96, 201syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
203202ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  X )  ->  <. -u j ,  j >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
204 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j
>. )
205203, 204fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
206173feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( I `  j ) : X --> ( RR 
X.  RR )  <->  ( x  e.  X  |->  <. -u j ,  j >. ) : X --> ( RR  X.  RR ) ) )
207205, 206mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `
 j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
208207ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( I `  j
) : X --> ( RR 
X.  RR ) )
209208ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
I `  j ) : X --> ( RR  X.  RR ) )
210 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
211209, 210fvovco 37540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )  =  ( ( 1st `  ( ( I `  j ) `  i
) ) [,) ( 2nd `  ( ( I `
 j ) `  i ) ) ) )
212211eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
( 1st `  (
( I `  j
) `  i )
) [,) ( 2nd `  ( ( I `  j ) `  i
) ) )  =  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
213199, 212eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
214213ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
21574, 214jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
) )
216 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
217216elixp 7547 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  <->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
) )
218215, 217sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR 
^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  /\  sup ( ran  ( abs  o.  f ) ,  RR ,  <  )  <  j
)  ->  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
219218ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  /\  -.  X  =  (/) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j  -> 
f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  i ) ) )
220219reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  -> 
( E. j  e.  NN  sup ( ran  ( abs  o.  f
) ,  RR ,  <  )  <  j  ->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) ) )
22171, 220mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( RR  ^m  X
) )  /\  -.  X  =  (/) )  ->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
22222, 23, 24, 221syl21anc 1291 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  ->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
223 eliun 4274 . . . . 5  |-  ( f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
)  <->  E. j  e.  NN  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( [,) 
o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
224222, 223sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  X  =  (/) )  /\  f  e.  ( RR  ^m  X ) )  -> 
f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
225224ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  A. f  e.  ( RR  ^m  X
) f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j ) ) `  i ) )
226 dfss3 3408 . . 3  |-  ( ( RR  ^m  X ) 
C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )  <->  A. f  e.  ( RR 
^m  X ) f  e.  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
227225, 226sylibr 217 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  (
( [,)  o.  (
I `  j )
) `  i )
)
22821, 227pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( RR  ^m  X
)  C_  U_ j  e.  NN  X_ i  e.  X  ( ( [,)  o.  ( I `  j
) ) `  i
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    o. ccom 4843   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490   X_cixp 7540   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   -ucneg 9881   NNcn 10631   ZZcz 10961   [,)cico 11662   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
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