Theorem hodcl 27400

Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hodcl	|- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Proof of Theorem hodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodval 27395	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) = ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) )
2		ffvelrn 6020	. . . . 5 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
3	2	3adant2 1027	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
4		ffvelrn 6020	. . . . 5 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
5	4	3adant1 1026	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
6		hvsubcl 26670	. . . 4 |- ( ( ( S ` A ) e. ~H /\ ( T ` A ) e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
7	3, 5, 6	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
8	1, 7	eqeltrd 2529	. 2 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )
9	8	3expa 1208	1 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   e. wcel 1887   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ~Hchil 26572   -h cmv 26578   -op chod 26593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-hilex 26652  ax-hfvadd 26653  ax-hfvmul 26658

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862  df-neg 9863  df-hvsub 26624  df-hodif 27385

This theorem is referenced by:  hodcli  27416