Theorem hodcl 25323

Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hodcl	|- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Proof of Theorem hodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodval 25318	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) = ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) )
2		ffvelrn 5953	. . . . 5 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
3	2	3adant2 1007	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
4		ffvelrn 5953	. . . . 5 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
5	4	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
6		hvsubcl 24591	. . . 4 |- ( ( ( S ` A ) e. ~H /\ ( T ` A ) e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
7	3, 5, 6	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
8	1, 7	eqeltrd 2542	. 2 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )
9	8	3expa 1188	1 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ~Hchil 24493   -h cmv 24499   -op chod 24514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hfvmul 24579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sub 9711  df-neg 9712  df-hvsub 24545  df-hodif 25308

This theorem is referenced by:  hodcli  25339