Theorem hodcl 25102

Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hodcl	|- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Proof of Theorem hodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodval 25097	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) = ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) )
2		ffvelrn 5836	. . . . 5 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
3	2	3adant2 1007	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
4		ffvelrn 5836	. . . . 5 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
5	4	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
6		hvsubcl 24370	. . . 4 |- ( ( ( S ` A ) e. ~H /\ ( T ` A ) e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
7	3, 5, 6	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
8	1, 7	eqeltrd 2512	. 2 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )
9	8	3expa 1187	1 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1756   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272   -h cmv 24278   -op chod 24293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hfvmul 24358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-hvsub 24324  df-hodif 25087

This theorem is referenced by:  hodcli  25118