Theorem hodcl 27065

Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hodcl	|- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Proof of Theorem hodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodval 27060	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) = ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) )
2		ffvelrn 6006	. . . . 5 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
3	2	3adant2 1016	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( S ` A ) e. ~H )
4		ffvelrn 6006	. . . . 5 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
5	4	3adant1 1015	. . . 4 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( T ` A ) e. ~H )
6		hvsubcl 26334	. . . 4 |- ( ( ( S ` A ) e. ~H /\ ( T ` A ) e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
7	3, 5, 6	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S ` A ) -h ( T ` A ) ) e. ~H )
8	1, 7	eqeltrd 2490	. 2 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )
9	8	3expa 1197	1 |- ( ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) /\ A e. ~H ) -> ( ( S -op T ) ` A ) e. ~H )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   e. wcel 1842   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ~Hchil 26236   -h cmv 26242   -op chod 26257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hfvmul 26322

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842  df-neg 9843  df-hvsub 26288  df-hodif 27050

This theorem is referenced by:  hodcli  27081