HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hocoi Structured version   Unicode version

Theorem hocoi 27252
Description: Composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1  |-  S : ~H
--> ~H
hoeq.2  |-  T : ~H
--> ~H
Assertion
Ref Expression
hocoi  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  A )  =  ( S `  ( T `  A ) ) )

Proof of Theorem hocoi
StepHypRef Expression
1 hoeq.2 . 2  |-  T : ~H
--> ~H
2 fvco3 5958 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  A
)  =  ( S `
 ( T `  A ) ) )
31, 2mpan 674 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  A )  =  ( S `  ( T `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601   ~Hchil 26407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  hococli  27253  hocadddiri  27267  hocsubdiri  27268  ho2coi  27269  ho0coi  27276  hoid1i  27277  hoid1ri  27278  hoddii  27477  lnopcoi  27491  lnopco0i  27492  nmopcoi  27583  adjcoi  27588  nmopcoadji  27589  hmopidmchi  27639  hmopidmpji  27640  pjsdii  27643  pjddii  27644  pjcoi  27646  pjcohocli  27691  pjadj2coi  27692  pj3lem1  27694
  Copyright terms: Public domain W3C validator