Theorem hocoi 11327

Description: Composition of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	|- S:~H-->~H
hoeq.2	|- T:~H-->~H

Assertion

Ref	Expression
hocoi	|- (A e. ~H -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))

Proof of Theorem hocoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. . . 4 |- T:~H-->~H
2	1	fdmi 4568	. . 3 |- dom T = ~H
3	2	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. dom T <-> A e. ~H)
4		hoeq.1	. . . 4 |- S:~H-->~H
5		ffun 4565	. . . 4 |- (S:~H-->~H -> Fun S)
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- Fun S
7		ffun 4565	. . . 4 |- (T:~H-->~H -> Fun T)
8	1, 7	ax-mp 7	. . 3 |- Fun T
9		fvco 4736	. . 3 |- ((Fun S /\ Fun T /\ A e. dom T) -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
10	6, 8, 9	mp3an12 1181	. 2 |- (A e. dom T -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
11	3, 10	sylbir 218	1 |- (A e. ~H -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  dom cdm 3986   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  ~Hchil 10420

This theorem is referenced by:  hococli 11328  hocadddiri 11342  hocsubdiri 11343  ho2coi 11344  ho0coi 11351  hoid1i 11352  hoid1ri 11353  hoddii 11551  lnopcoi 11565  lnopco0i 11566  nmopcoi 11665  adjcoi 11670  nmopcoadji 11671  hmopidmchlem 11722  hmopidmpji 11724  pjsdii 11727  pjddii 11728  pjcoi 11730  pjinvari 11764  pjcohocli 11776  pjadj2coi 11777  pj3lem1 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain