Theorem hocadddiri 11342

Description: Distributive law for Hilbert space operator sum.

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	|- R:~H-->~H
hods.2	|- S:~H-->~H
hods.3	|- T:~H-->~H

Assertion

Ref	Expression
hocadddiri	|- ((R +op S) o. T) = ((R o. T) +op (S o. T))

Proof of Theorem hocadddiri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.3	. . . . . . 7 |- T:~H-->~H
2	1	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (T` x) e. ~H)
3		hods.1	. . . . . . 7 |- R:~H-->~H
4		hods.2	. . . . . . 7 |- S:~H-->~H
5		hosvalOLD 11150	. . . . . . 7 |- (((R:~H-->~H /\ S:~H-->~H) /\ (T` x) e. ~H) -> ((R +op S)` (T` x)) = ((R` (T` x)) +h (S` (T` x))))
6	3, 4, 5	mpanl12 773	. . . . . 6 |- ((T` x) e. ~H -> ((R +op S)` (T` x)) = ((R` (T` x)) +h (S` (T` x))))
7	2, 6	syl 12	. . . . 5 |- (x e. ~H -> ((R +op S)` (T` x)) = ((R` (T` x)) +h (S` (T` x))))
8	3, 1	hocoi 11327	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> ((R o. T)` x) = (R` (T` x)))
9	4, 1	hocoi 11327	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
10	8, 9	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (x e. ~H -> (((R o. T)` x) +h ((S o. T)` x)) = ((R` (T` x)) +h (S` (T` x))))
11	7, 10	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (x e. ~H -> ((R +op S)` (T` x)) = (((R o. T)` x) +h ((S o. T)` x)))
12	3, 4	hoaddcli 11331	. . . . 5 |- (R +op S):~H-->~H
13	12, 1	hocoi 11327	. . . 4 |- (x e. ~H -> (((R +op S) o. T)` x) = ((R +op S)` (T` x)))
14	3, 1	hocofi 11329	. . . . 5 |- (R o. T):~H-->~H
15	4, 1	hocofi 11329	. . . . 5 |- (S o. T):~H-->~H
16		hosvalOLD 11150	. . . . 5 |- ((((R o. T):~H-->~H /\ (S o. T):~H-->~H) /\ x e. ~H) -> (((R o. T) +op (S o. T))` x) = (((R o. T)` x) +h ((S o. T)` x)))
17	14, 15, 16	mpanl12 773	. . . 4 |- (x e. ~H -> (((R o. T) +op (S o. T))` x) = (((R o. T)` x) +h ((S o. T)` x)))
18	11, 13, 17	3eqtr4d 1937	. . 3 |- (x e. ~H -> (((R +op S) o. T)` x) = (((R o. T) +op (S o. T))` x))
19	18	rgen 2159	. 2 |- A.x e. ~H (((R +op S) o. T)` x) = (((R o. T) +op (S o. T))` x)
20	12, 1	hocofi 11329	. . 3 |- ((R +op S) o. T):~H-->~H
21	14, 15	hoaddcli 11331	. . 3 |- ((R o. T) +op (S o. T)):~H-->~H
22	20, 21	hoeqi 11324	. 2 |- (A.x e. ~H (((R +op S) o. T)` x) = (((R o. T) +op (S o. T))` x) <-> ((R +op S) o. T) = ((R o. T) +op (S o. T)))
23	19, 22	mpbi 206	1 |- ((R +op S) o. T) = ((R o. T) +op (S o. T))

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421   +op chos 10439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-hosum 11139

Copyright terms: Public domain