HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho0val Structured version   Unicode version

Theorem ho0val 26534
Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho0val  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  0h )

Proof of Theorem ho0val
StepHypRef Expression
1 choc1 26110 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ~H )  =  0H
21fveq2i 5855 . . . . 5  |-  ( proj h `  ( _|_ `  ~H ) )  =  ( proj h `  0H )
3 df-h0op 26532 . . . . 5  |-  0hop  =  ( proj h `  0H )
42, 3eqtr4i 2473 . . . 4  |-  ( proj h `  ( _|_ `  ~H ) )  = 
0hop
54fveq1i 5853 . . 3  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  ~H ) ) `  A )  =  (
0hop `  A )
6 helch 26026 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
7 pjo 26454 . . . 4  |-  ( ( ~H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  ( _|_ `  ~H )
) `  A )  =  ( ( (
proj h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj h `  ~H ) `  A ) ) )
86, 7mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ( _|_ `  ~H )
) `  A )  =  ( ( (
proj h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj h `  ~H ) `  A ) ) )
95, 8syl5eqr 2496 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  ( ( ( proj h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj h `  ~H ) `  A ) ) )
106pjhcli 26201 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ~H ) `  A )  e.  ~H )
11 hvsubid 25808 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  ~H ) `  A )  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  ~H ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ~H ) `  A ) )  =  0h )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  ~H ) `  A )  -h  ( ( proj h `  ~H ) `  A ) )  =  0h )
139, 12eqtrd 2482 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ~Hchil 25701   0hc0v 25706    -h cmv 25707   CHcch 25711   _|_cort 25712   0Hc0h 25717   proj hcpjh 25719   0hopch0o 25725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cc 8813  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570  ax-hilex 25781  ax-hfvadd 25782  ax-hvcom 25783  ax-hvass 25784  ax-hv0cl 25785  ax-hvaddid 25786  ax-hfvmul 25787  ax-hvmulid 25788  ax-hvmulass 25789  ax-hvdistr1 25790  ax-hvdistr2 25791  ax-hvmul0 25792  ax-hfi 25861  ax-his1 25864  ax-his2 25865  ax-his3 25866  ax-his4 25867  ax-hcompl 25984
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-lm 19596  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cfil 21560  df-cau 21561  df-cmet 21562  df-grpo 25058  df-gid 25059  df-ginv 25060  df-gdiv 25061  df-ablo 25149  df-subgo 25169  df-vc 25304  df-nv 25350  df-va 25353  df-ba 25354  df-sm 25355  df-0v 25356  df-vs 25357  df-nmcv 25358  df-ims 25359  df-dip 25476  df-ssp 25500  df-ph 25593  df-cbn 25644  df-hnorm 25750  df-hba 25751  df-hvsub 25753  df-hlim 25754  df-hcau 25755  df-sh 25989  df-ch 26004  df-oc 26035  df-ch0 26036  df-shs 26091  df-pjh 26178  df-h0op 26532
This theorem is referenced by:  df0op2  26536  hoaddid1i  26570  ho0coi  26572  0cnop  26763  0hmop  26767  nmop0  26770  adj0  26778  nmlnop0iALT  26779  lnopco0i  26788  lnopeq0i  26791  nmopcoi  26879  leop3  26909  leoprf2  26911  leoprf  26912  idleop  26915  pjorthcoi  26953
  Copyright terms: Public domain W3C validator