Theorem hmphre 14884

Description: "Is homeomorph to" is reflexive.

Assertion

Ref	Expression
hmphre	|- (J e. Top -> J ~= J)

Proof of Theorem hmphre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
2		resiexg 4253	. . . . . 6 |- (U.J e. _V -> ( _I |` U.J) e. _V)
3		f1oi 4671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J
4	3	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` U.J) e. _V) -> ( _I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J)
5		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. J -> x C_ U.J)
6		resiima 4282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x C_ U.J -> (( _I |` U.J)"x) = x)
7	6	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x C_ U.J -> ((( _I |` U.J)"x) e. J <-> x e. J))
8	7	biimprcd 173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. J -> (x C_ U.J -> (( _I |` U.J)"x) e. J))
9	5, 8	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. J -> (( _I |` U.J)"x) e. J)
10	9	rgen 2159	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A.x e. J (( _I |` U.J)"x) e. J
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` U.J) e. _V) -> A.x e. J (( _I |` U.J)"x) e. J)
12	6	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. J /\ x C_ U.J) -> (( _I |` U.J)"x) = x)
13		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. J /\ x C_ U.J) -> x e. J)
14	12, 13	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. J /\ x C_ U.J) -> (( _I |` U.J)"x) e. J)
15		cnvresid 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- `'( _I |` U.J) = ( _I |` U.J)
16	15	imaeq1i 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (`'( _I |` U.J)"x) = (( _I |` U.J)"x)
17	14, 16	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ x C_ U.J) -> (`'( _I |` U.J)"x) e. J)
18	5, 17	mpdan 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. J -> (`'( _I |` U.J)"x) e. J)
19	18	rgen 2159	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A.x e. J (`'( _I |` U.J)"x) e. J
20	19	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` U.J) e. _V) -> A.x e. J (`'( _I |` U.J)"x) e. J)
21	4, 11, 20	3jca 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` U.J) e. _V) -> (( _I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J /\ A.x e. J (( _I |` U.J)"x) e. J /\ A.x e. J (`'( _I |` U.J)"x) e. J))
22		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.J = U.J
23	22, 22	ishomeo 10235	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` U.J) e. _V) -> (( _I |` U.J) e. (J Homeo J) <-> (( _I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J /\ A.x e. J (( _I |` U.J)"x) e. J /\ A.x e. J (`'( _I |` U.J)"x) e. J)))
24	21, 23	mpbird 213	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ ( _I |` U.J) e. _V) -> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J))
25	24	3exp 1066	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (J e. Top -> (( _I |` U.J) e. _V -> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J))))
26	25	pm2.43i 78	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> (( _I |` U.J) e. _V -> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J)))
27	26	com12 14	. . . . . . . 8 |- (( _I |` U.J) e. _V -> (J e. Top -> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J)))
28		eleq1 1957	. . . . . . . . . 10 |- (f = ( _I |` U.J) -> (f e. (J Homeo J) <-> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J)))
29	28	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (f = ( _I |` U.J) -> ((J e. Top -> f e. (J Homeo J)) <-> (J e. Top -> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J))))
30	29	cla4egv 2365	. . . . . . . 8 |- (( _I |` U.J) e. _V -> ((J e. Top -> ( _I |` U.J) e. (J Homeo J)) -> E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J))))
31	27, 30	mpd 29	. . . . . . 7 |- (( _I |` U.J) e. _V -> E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J)))
32		19.37v 1683	. . . . . . 7 |- (E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J)) <-> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
33	31, 32	sylib 215	. . . . . 6 |- (( _I |` U.J) e. _V -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
34	2, 33	syl 12	. . . . 5 |- (U.J e. _V -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
35	1, 34	syl 12	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
36	35	imp 377	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> E.f f e. (J Homeo J))
37		hmph 10241	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> (J ~= J <-> E.f f e. (J Homeo J)))
38	36, 37	mpbird 213	. 2 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> J ~= J)
39	38	anidms 480	1 |- (J e. Top -> J ~= J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582  `'ccnv 3985   |` cres 3988  "cima 3989  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230   ~= chomeo 10231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-homeo 10232  df-hmph 10233

Copyright terms: Public domain