MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Structured version   Unicode version

Theorem hmph0 20741
Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 20731 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  { (/) } )
2 df1o2 7202 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
31, 2syl6breqr 4466 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
4 hmphtop1 20725 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  e.  Top )
5 en1top 19931 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
73, 6mpbid 213 . 2  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
8 id 23 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
9 sn0top 19945 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Top
10 hmphref 20727 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Top  ->  { (/) }  ~=  { (/)
} )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) }  ~=  { (/) }
128, 11syl6eqbr 4463 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  ~=  { (/) } )
137, 12impbii 190 1  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426   1oc1o 7183    ~~ cen 7574   Topctop 19848    ~= chmph 20700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-1o 7190  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-top 19852  df-topon 19854  df-cn 20174  df-hmeo 20701  df-hmph 20702
This theorem is referenced by:  hmphindis  20743
  Copyright terms: Public domain W3C validator