MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Structured version   Unicode version

Theorem hmph0 19368
Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 19358 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  { (/) } )
2 df1o2 6932 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
31, 2syl6breqr 4332 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
4 hmphtop1 19352 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  e.  Top )
5 en1top 18589 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
73, 6mpbid 210 . 2  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
8 id 22 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
9 sn0top 18603 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Top
10 hmphref 19354 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Top  ->  { (/) }  ~=  { (/)
} )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) }  ~=  { (/) }
128, 11syl6eqbr 4329 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  ~=  { (/) } )
137, 12impbii 188 1  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3637   {csn 3877   class class class wbr 4292   1oc1o 6913    ~~ cen 7307   Topctop 18498    ~= chmph 19327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-1o 6920  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-top 18503  df-topon 18506  df-cn 18831  df-hmeo 19328  df-hmph 19329
This theorem is referenced by:  hmphindis  19370
  Copyright terms: Public domain W3C validator