HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopre Structured version   Unicode version

Theorem hmopre 25459
Description: The inner product of the value and argument of a Hermitian operator is real. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopre  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  A )  e.  RR )

Proof of Theorem hmopre
StepHypRef Expression
1 hmop 25458 . . . 4  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H  /\  A  e. 
~H )  ->  ( A  .ih  ( T `  A ) )  =  ( ( T `  A )  .ih  A
) )
213anidm23 1278 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( A  .ih  ( T `  A ) )  =  ( ( T `  A )  .ih  A
) )
32eqcomd 2458 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  A )  =  ( A  .ih  ( T `  A ) ) )
4 hmopf 25410 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
54ffvelrnda 5939 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( T `  A )  e.  ~H )
6 hire 24628 . . 3  |-  ( ( ( T `  A
)  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 A )  .ih  A )  e.  RR  <->  ( ( T `  A )  .ih  A )  =  ( A  .ih  ( T `
 A ) ) ) )
75, 6sylancom 667 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  A )  .ih  A
)  e.  RR  <->  ( ( T `  A )  .ih  A )  =  ( A  .ih  ( T `
 A ) ) ) )
83, 7mpbird 232 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( T `  A
)  .ih  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   RRcr 9379   ~Hchil 24453    .ih csp 24456   HrmOpcho 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-hilex 24533  ax-hfi 24613  ax-his1 24616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-2 10478  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-hmop 25380
This theorem is referenced by:  leop2  25660  leopadd  25668  leopmuli  25669  leoptri  25672  leoptr  25673  leopnmid  25674
  Copyright terms: Public domain W3C validator