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Theorem hmoplin 23398
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 23330 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  HrmOp )
3 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 22468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
65adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
76adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
9 hmop 23378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  .ih  w
) )
109eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) ) )
112, 7, 8, 10syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) ) )
12 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
14 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
16 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
171ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1817adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1918adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
20 hiassdi 22546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( T `  w
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  +h  z ) 
.ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) ) )
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
221ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2322adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
251ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2726adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
28 hiassdi 22546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
30 hmop 23378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
y  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  y )  .ih  w
) )
3130eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )
32313expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `
 w ) ) )
3332oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
3433adantlrl 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) ) )
3534adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
36 hmop 23378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
z  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  z )  .ih  w
) )
3736eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `  w ) ) )
38373expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
3938adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
4035, 39oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
4129, 40eqtr2d 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w ) )
4211, 21, 413eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4342ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
44 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
455, 44sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
4645anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
47 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
48 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
4947, 48sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5049an12s 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5150adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
52 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
5352adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
54 hvaddcl 22468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
56 hial2eq 22561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
5746, 55, 56syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
581, 57sylanl1 632 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
5943, 58mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6059ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6160ralrimivva 2758 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
62 ellnop 23314 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
631, 61, 62sylanbrc 646 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    x. cmul 8951   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377    .ih csp 22378   LinOpclo 22403   HrmOpcho 22406
This theorem is referenced by:  0lnop  23440  hmopbdoptHIL  23444  leoptri  23592  leopnmid  23594  nmopleid  23595  opsqrlem1  23596  opsqrlem6  23601  pjlnopi  23603  hmopidmchi  23607  hmopidmpji  23608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-hvsub 22427  df-lnop 23297  df-hmop 23300
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