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Theorem hmoplin 26537
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 26469 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  HrmOp )
3 hvmulcl 25606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 25605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
65adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
9 hmop 26517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  .ih  w
) )
109eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) ) )
112, 7, 8, 10syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) ) )
12 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
14 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
16 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
171ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1918adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
20 hiassdi 25684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( T `  w
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  +h  z ) 
.ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) ) )
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
221ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2322adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
251ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2726adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
28 hiassdi 25684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
30 hmop 26517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
y  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  y )  .ih  w
) )
3130eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )
32313expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `
 w ) ) )
3332oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
3433adantlrl 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) ) )
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
36 hmop 26517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
z  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  z )  .ih  w
) )
3736eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `  w ) ) )
38373expa 1196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
3938adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
4035, 39oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
4129, 40eqtr2d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w ) )
4211, 21, 413eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4342ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
44 ffvelrn 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
455, 44sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
4645anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
47 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
48 hvmulcl 25606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
4947, 48sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5049an12s 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
52 ffvelrn 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
5352adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
54 hvaddcl 25605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
56 hial2eq 25699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
5746, 55, 56syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
581, 57sylanl1 650 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
5943, 58mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6059ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6160ralrimivva 2885 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
62 ellnop 26453 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
631, 61, 62sylanbrc 664 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486    + caddc 9491    x. cmul 9493   ~Hchil 25512    +h cva 25513    .h csm 25514    .ih csp 25515   LinOpclo 25540   HrmOpcho 25543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-hvsub 25564  df-lnop 26436  df-hmop 26439
This theorem is referenced by:  0lnop  26579  hmopbdoptHIL  26583  leoptri  26731  leopnmid  26733  nmopleid  26734  opsqrlem1  26735  opsqrlem6  26740  pjlnopi  26742  hmopidmchi  26746  hmopidmpji  26747
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