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Theorem hmoplin 26977
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 26909 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  HrmOp )
3 hvmulcl 26047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 26046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
65adantll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
76adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
9 hmop 26957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  .ih  w
) )
109eqcomd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) ) )
112, 7, 8, 10syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) ) )
12 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
14 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1514ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
16 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
171ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1817adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1918adantllr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
20 hiassdi 26125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( T `  w
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  +h  z ) 
.ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) ) )
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
221ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2322adantrl 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
251ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2625adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2726adantllr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
28 hiassdi 26125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
30 hmop 26957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
y  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  y )  .ih  w
) )
3130eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )
32313expa 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `
 w ) ) )
3332oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
3433adantlrl 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) ) )
3534adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
36 hmop 26957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
z  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  z )  .ih  w
) )
3736eqcomd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `  w ) ) )
38373expa 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
3938adantllr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
4035, 39oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
4129, 40eqtr2d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w ) )
4211, 21, 413eqtrd 2427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4342ralrimiva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
44 ffvelrn 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
455, 44sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
4645anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
47 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
48 hvmulcl 26047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
4947, 48sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5049an12s 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5150adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
52 ffvelrn 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
5352adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
54 hvaddcl 26046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5551, 53, 54syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
56 hial2eq 26140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
5746, 55, 56syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
581, 57sylanl1 648 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
5943, 58mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6059ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6160ralrimivva 2803 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
62 ellnop 26893 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
631, 61, 62sylanbrc 662 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401    + caddc 9406    x. cmul 9408   ~Hchil 25953    +h cva 25954    .h csm 25955    .ih csp 25956   LinOpclo 25981   HrmOpcho 25984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544  df-sub 9720  df-neg 9721  df-hvsub 26005  df-lnop 26876  df-hmop 26879
This theorem is referenced by:  0lnop  27019  hmopbdoptHIL  27023  leoptri  27171  leopnmid  27173  nmopleid  27174  opsqrlem1  27175  opsqrlem6  27180  pjlnopi  27182  hmopidmchi  27186  hmopidmpji  27187
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