Theorem hmoplin 11503

Description: A Hermitian operator is linear.

Assertion

Ref	Expression
hmoplin	|- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)

Proof of Theorem hmoplin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnop 11421	. 2 |- (T e. LinOp <-> (T:~H-->~H /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
2		hmopf 11438	. 2 |- (T e. HrmOp -> T:~H-->~H)
3		simplll 452	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> T e. HrmOp)
4		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
5		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
6	4, 5	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
7	6	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
8	7	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
9		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> w e. ~H)
10		hmop 11483	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. HrmOp /\ ((x .h y) +h z) e. ~H /\ w e. ~H) -> (((x .h y) +h z) .ih (T` w)) = ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w))
11	10	eqcomd 1889	. . . . . . . . 9 |- ((T e. HrmOp /\ ((x .h y) +h z) e. ~H /\ w e. ~H) -> ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h y) +h z) .ih (T` w)))
12	3, 8, 9, 11	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h y) +h z) .ih (T` w)))
13		simprl 450	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> x e. CC)
14	13	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> x e. CC)
15		simprr 451	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> y e. ~H)
16	15	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> y e. ~H)
17		simplr 449	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> z e. ~H)
18		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T:~H-->~H /\ w e. ~H) -> (T` w) e. ~H)
19	18, 2	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. HrmOp /\ w e. ~H) -> (T` w) e. ~H)
20	19	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. HrmOp /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` w) e. ~H)
21	20	adantllr 433	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` w) e. ~H)
22		hiassdi 10590	. . . . . . . . 9 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ (z e. ~H /\ (T` w) e. ~H)) -> (((x .h y) +h z) .ih (T` w)) = ((x x. (y .ih (T` w))) + (z .ih (T` w))))
23	14, 16, 17, 21, 22	syl22anc 1101	. . . . . . . 8 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (((x .h y) +h z) .ih (T` w)) = ((x x. (y .ih (T` w))) + (z .ih (T` w))))
24		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T:~H-->~H /\ y e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
25	24, 2	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. HrmOp /\ y e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
26	25	adantrl 430	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (T` y) e. ~H)
27	26	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
28		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T:~H-->~H /\ z e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
29	28, 2	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. HrmOp /\ z e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
30	29	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. HrmOp /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
31	30	adantllr 433	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
32		hiassdi 10590	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CC /\ (T` y) e. ~H) /\ ((T` z) e. ~H /\ w e. ~H)) -> (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) = ((x x. ((T` y) .ih w)) + ((T` z) .ih w)))
33	14, 27, 31, 9, 32	syl22anc 1101	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) = ((x x. ((T` y) .ih w)) + ((T` z) .ih w)))
34		hmop 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. HrmOp /\ y e. ~H /\ w e. ~H) -> (y .ih (T` w)) = ((T` y) .ih w))
35	34	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. HrmOp /\ y e. ~H /\ w e. ~H) -> ((T` y) .ih w) = (y .ih (T` w)))
36	35	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. HrmOp /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` y) .ih w) = (y .ih (T` w)))
37	36	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. HrmOp /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> (x x. ((T` y) .ih w)) = (x x. (y .ih (T` w))))
38	37	adantlrl 434	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ w e. ~H) -> (x x. ((T` y) .ih w)) = (x x. (y .ih (T` w))))
39	38	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (x x. ((T` y) .ih w)) = (x x. (y .ih (T` w))))
40		hmop 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. HrmOp /\ z e. ~H /\ w e. ~H) -> (z .ih (T` w)) = ((T` z) .ih w))
41	40	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. HrmOp /\ z e. ~H /\ w e. ~H) -> ((T` z) .ih w) = (z .ih (T` w)))
42	41	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. HrmOp /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` z) .ih w) = (z .ih (T` w)))
43	42	adantllr 433	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` z) .ih w) = (z .ih (T` w)))
44	39, 43	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x x. ((T` y) .ih w)) + ((T` z) .ih w)) = ((x x. (y .ih (T` w))) + (z .ih (T` w))))
45	33, 44	eqtr2d 1926	. . . . . . . 8 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x x. (y .ih (T` w))) + (z .ih (T` w))) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w))
46	12, 23, 45	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- ((((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w))
47	46	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w))
48		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- ((T:~H-->~H /\ ((x .h y) +h z) e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
49	48, 6	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((T:~H-->~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (T` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
50	49	anassrs 489	. . . . . . . 8 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
51		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CC /\ (T` y) e. ~H) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
52	51, 24	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ (T:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
53	52	an1s 544	. . . . . . . . . 10 |- ((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
54	53	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
55	28	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
56		hvaddcl 10514	. . . . . . . . 9 |- (((x .h (T` y)) e. ~H /\ (T` z) e. ~H) -> ((x .h (T` y)) +h (T` z)) e. ~H)
57	54, 55, 56	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> ((x .h (T` y)) +h (T` z)) e. ~H)
58		hial2eq 10605	. . . . . . . 8 |- (((T` ((x .h y) +h z)) e. ~H /\ ((x .h (T` y)) +h (T` z)) e. ~H) -> (A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) <-> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
59	50, 57, 58	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) <-> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
60	59, 2	sylanl1 509	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) <-> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
61	47, 60	mpbid 212	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
62	61	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
63	62	ex 402	. . 3 |- (T e. HrmOp -> ((x e. CC /\ y e. ~H) -> A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
64	63	r19.21aivv 2183	. 2 |- (T e. HrmOp -> A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
65	1, 2, 64	sylanbrc 527	1 |- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   .ih csp 10425  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451

This theorem is referenced by:  0lnop 11545  hmopbdopiHIL 11549  leoptri 11707  leopnmid 11709  nmopleid 11710  opsqrlem1 11711  opsqrlem6 11716  pjlnopi 11718  hmopidmchlem 11722  hmopidmchi 11723  hmopidmpji 11724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hvsub 10472  df-lnop 11404  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain