Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hmopidmpji 27886
 Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 27885 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1
hmopidmch.2
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji

Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6
2 hmoplin 27676 . . . . . 6
31, 2ax-mp 5 . . . . 5
43lnopfi 27703 . . . 4
5 ffn 5739 . . . 4
64, 5ax-mp 5 . . 3
7 hmopidmch.2 . . . . 5
81, 7hmopidmchi 27885 . . . 4
98pjfni 27435 . . 3
10 eqfnfv 5991 . . 3
116, 9, 10mp2an 686 . 2
12 fnfvelrn 6034 . . . . 5
136, 12mpan 684 . . . 4
14 id 22 . . . . . 6
154ffvelrni 6036 . . . . . 6
16 hvsubcl 26751 . . . . . 6
1714, 15, 16syl2anc 673 . . . . 5
18 simpl 464 . . . . . . . . 9
1915adantr 472 . . . . . . . . 9
204ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10
2120adantl 473 . . . . . . . . 9
22 his2sub 26826 . . . . . . . . 9
2318, 19, 21, 22syl3anc 1292 . . . . . . . 8
24 hmop 27656 . . . . . . . . . . . 12
251, 24mp3an1 1377 . . . . . . . . . . 11
2620, 25sylan2 482 . . . . . . . . . 10
277fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . 13
284, 4hocoi 27498 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . 12
3029adantl 473 . . . . . . . . . . 11
3130oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
3226, 31eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9
3332oveq2d 6324 . . . . . . . 8
34 hicl 26814 . . . . . . . . . 10
3520, 34sylan2 482 . . . . . . . . 9
3635subidd 9993 . . . . . . . 8
3723, 33, 363eqtrd 2509 . . . . . . 7
3837ralrimiva 2809 . . . . . 6
39 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
4039eqeq1d 2473 . . . . . . . 8
4140ralrn 6040 . . . . . . 7
426, 41ax-mp 5 . . . . . 6
4338, 42sylibr 217 . . . . 5
448chssii 26965 . . . . . 6
45 ocel 27015 . . . . . 6
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5
4717, 43, 46sylanbrc 677 . . . 4
488pjcompi 27406 . . . 4
4913, 47, 48syl2anc 673 . . 3
50 hvpncan3 26776 . . . . 5
5115, 14, 50syl2anc 673 . . . 4
5251fveq2d 5883 . . 3
5349, 52eqtr3d 2507 . 2
5411, 53mprgbir 2771 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   wss 3390   crn 4840   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557   cmin 9880  chil 26653   cva 26654   csp 26656   cmv 26659  cort 26664   cpjh 26671  clo 26681  cho 26684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-dc 8894  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637  ax-hilex 26733  ax-hfvadd 26734  ax-hvcom 26735  ax-hvass 26736  ax-hv0cl 26737  ax-hvaddid 26738  ax-hfvmul 26739  ax-hvmulid 26740  ax-hvmulass 26741  ax-hvdistr1 26742  ax-hvdistr2 26743  ax-hvmul0 26744  ax-hfi 26813  ax-his1 26816  ax-his2 26817  ax-his3 26818  ax-his4 26819  ax-hcompl 26936 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-lm 20322  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-fcls 21034  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-subgo 26111  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-dip 26418  df-ssp 26442  df-lno 26466  df-nmoo 26467  df-blo 26468  df-0o 26469  df-ph 26535  df-cbn 26586  df-hlo 26619  df-hnorm 26702  df-hba 26703  df-hvsub 26705  df-hlim 26706  df-hcau 26707  df-sh 26941  df-ch 26955  df-oc 26986  df-ch0 26987  df-shs 27042  df-pjh 27129  df-h0op 27482  df-nmop 27573  df-cnop 27574  df-lnop 27575  df-bdop 27576  df-unop 27577  df-hmop 27578 This theorem is referenced by:  hmopidmpj  27888
 Copyright terms: Public domain W3C validator