HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Structured version   Unicode version

Theorem hmopidmpji 25693
Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that  H is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 25692 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1  |-  T  e. 
HrmOp
hmopidmch.2  |-  ( T  o.  T )  =  T
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji  |-  T  =  ( proj h `  ran  T )

Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6  |-  T  e. 
HrmOp
2 hmoplin 25483 . . . . . 6  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 25510 . . . 4  |-  T : ~H
--> ~H
5 ffn 5659 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  T  Fn  ~H )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  T  Fn  ~H
7 hmopidmch.2 . . . . 5  |-  ( T  o.  T )  =  T
81, 7hmopidmchi 25692 . . . 4  |-  ran  T  e.  CH
98pjfni 25241 . . 3  |-  ( proj h `  ran  T )  Fn  ~H
10 eqfnfv 5898 . . 3  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  ( proj h `  ran  T )  Fn  ~H )  ->  ( T  =  (
proj h `  ran  T
)  <->  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( ( proj h `  ran  T ) `
 x ) ) )
116, 9, 10mp2an 672 . 2  |-  ( T  =  ( proj h `  ran  T )  <->  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( ( proj h `  ran  T ) `  x
) )
12 fnfvelrn 5941 . . . . 5  |-  ( ( T  Fn  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ran  T
)
136, 12mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ran  T )
14 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
154ffvelrni 5943 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
16 hvsubcl 24556 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  x )  e.  ~H )  -> 
( x  -h  ( T `  x )
)  e.  ~H )
1714, 15, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  -h  ( T `
 x ) )  e.  ~H )
18 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
1915adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
204ffvelrni 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2120adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
22 his2sub 24631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  ->  (
( x  -h  ( T `  x )
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( x  .ih  ( T `  y ) )  -  ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) ) ) )
2318, 19, 21, 22syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  -  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
) ) )
24 hmop 25463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  ( T `
 y )  e. 
~H )  ->  (
x  .ih  ( T `  ( T `  y
) ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
) )
251, 24mp3an1 1302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .ih  ( T `  ( T `  y ) ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  y ) ) )
2620, 25sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( T `  ( T `  y ) ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  y ) ) )
277fveq1i 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  o.  T ) `
 y )  =  ( T `  y
)
284, 4hocoi 25305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( T  o.  T
) `  y )  =  ( T `  ( T `  y ) ) )
2927, 28syl5reqr 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  ( T `  y ) )  =  ( T `  y
) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( T `  y )
)  =  ( T `
 y ) )
3130oveq2d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( T `  ( T `  y ) ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) ) )
3226, 31eqtr3d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) )
3332oveq2d 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  ( T `  y ) )  -  ( ( T `  x ) 
.ih  ( T `  y ) ) )  =  ( ( x 
.ih  ( T `  y ) )  -  ( x  .ih  ( T `
 y ) ) ) )
34 hicl 24619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
3520, 34sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( T `  y )
)  e.  CC )
3635subidd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  ( T `  y ) )  -  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) )  =  0 )
3723, 33, 363eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  ( T `
 y ) )  =  0 )
3837ralrimiva 2822 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  A. y  e.  ~H  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  ( T `  y ) )  =  0 )
39 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( T `  y )  ->  (
( x  -h  ( T `  x )
)  .ih  z )  =  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  ( T `  y ) ) )
4039eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( T `  y )  ->  (
( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  z )  =  0  <->  ( (
x  -h  ( T `
 x ) ) 
.ih  ( T `  y ) )  =  0 ) )
4140ralrn 5947 . . . . . . 7  |-  ( T  Fn  ~H  ->  ( A. z  e.  ran  T ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  z )  =  0  <->  A. y  e.  ~H  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  ( T `  y ) )  =  0 ) )
426, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ran  T ( ( x  -h  ( T `  x )
)  .ih  z )  =  0  <->  A. y  e.  ~H  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  .ih  ( T `  y ) )  =  0 )
4338, 42sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  A. z  e.  ran  T ( ( x  -h  ( T `
 x ) ) 
.ih  z )  =  0 )
448chssii 24771 . . . . . 6  |-  ran  T  C_ 
~H
45 ocel 24821 . . . . . 6  |-  ( ran 
T  C_  ~H  ->  ( ( x  -h  ( T `  x )
)  e.  ( _|_ `  ran  T )  <->  ( (
x  -h  ( T `
 x ) )  e.  ~H  /\  A. z  e.  ran  T ( ( x  -h  ( T `  x )
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  -h  ( T `
 x ) )  e.  ( _|_ `  ran  T )  <->  ( ( x  -h  ( T `  x ) )  e. 
~H  /\  A. z  e.  ran  T ( ( x  -h  ( T `
 x ) ) 
.ih  z )  =  0 ) )
4717, 43, 46sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  -h  ( T `
 x ) )  e.  ( _|_ `  ran  T ) )
488pjcompi 25212 . . . 4  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ran  T  /\  ( x  -h  ( T `  x )
)  e.  ( _|_ `  ran  T ) )  ->  ( ( proj h `  ran  T ) `
 ( ( T `
 x )  +h  ( x  -h  ( T `  x )
) ) )  =  ( T `  x
) )
4913, 47, 48syl2anc 661 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ran  T ) `  (
( T `  x
)  +h  ( x  -h  ( T `  x ) ) ) )  =  ( T `
 x ) )
50 hvpncan3 24581 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  +h  (
x  -h  ( T `
 x ) ) )  =  x )
5115, 14, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( T `  x
)  +h  ( x  -h  ( T `  x ) ) )  =  x )
5251fveq2d 5795 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ran  T ) `  (
( T `  x
)  +h  ( x  -h  ( T `  x ) ) ) )  =  ( (
proj h `  ran  T
) `  x )
)
5349, 52eqtr3d 2494 . 2  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( T `  x )  =  ( ( proj h `  ran  T ) `
 x ) )
5411, 53mprgbir 2896 1  |-  T  =  ( proj h `  ran  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3428   ran crn 4941    o. ccom 4944    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   0cc0 9385    - cmin 9698   ~Hchil 24458    +h cva 24459    .ih csp 24461    -h cmv 24464   _|_cort 24469   proj hcpjh 24476   LinOpclo 24486   HrmOpcho 24489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cc 8707  ax-dc 8718  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465  ax-hilex 24538  ax-hfvadd 24539  ax-hvcom 24540  ax-hvass 24541  ax-hv0cl 24542  ax-hvaddid 24543  ax-hfvmul 24544  ax-hvmulid 24545  ax-hvmulass 24546  ax-hvdistr1 24547  ax-hvdistr2 24548  ax-hvmul0 24549  ax-hfi 24618  ax-his1 24621  ax-his2 24622  ax-his3 24623  ax-his4 24624  ax-hcompl 24741
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-lm 18951  df-t1 19036  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-fcls 19632  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-cfil 20884  df-cau 20885  df-cmet 20886  df-grpo 23815  df-gid 23816  df-ginv 23817  df-gdiv 23818  df-ablo 23906  df-subgo 23926  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-vs 24114  df-nmcv 24115  df-ims 24116  df-dip 24233  df-ssp 24257  df-lno 24281  df-nmoo 24282  df-blo 24283  df-0o 24284  df-ph 24350  df-cbn 24401  df-hlo 24424  df-hnorm 24507  df-hba 24508  df-hvsub 24510  df-hlim 24511  df-hcau 24512  df-sh 24746  df-ch 24761  df-oc 24792  df-ch0 24793  df-shs 24848  df-pjh 24935  df-h0op 25289  df-nmop 25380  df-cnop 25381  df-lnop 25382  df-bdop 25383  df-unop 25384  df-hmop 25385
This theorem is referenced by:  hmopidmpj  25695
  Copyright terms: Public domain W3C validator