Theorem hmopidmpji 11724

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that H is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 11723 shows.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	|- H = {x e. ~H | (T` x) = x}
hmopidmch.2	|- (T e. HrmOp /\ (T o. T) = T)

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpji	|- T = (proj` H)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem hmopidmpji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (x = (T` y) -> (T` x) = (T` (T` y)))
2		id 73	. . . . . . . 8 |- (x = (T` y) -> x = (T` y))
3	1, 2	eqeq12d 1899	. . . . . . 7 |- (x = (T` y) -> ((T` x) = x <-> (T` (T` y)) = (T` y)))
4		hmopidmch.1	. . . . . . 7 |- H = {x e. ~H | (T` x) = x}
5	3, 4	elrab2 2416	. . . . . 6 |- ((T` y) e. H <-> ((T` y) e. ~H /\ (T` (T` y)) = (T` y)))
6		hmopidmch.2	. . . . . . . . . 10 |- (T e. HrmOp /\ (T o. T) = T)
7	6	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- T e. HrmOp
8		hmoplin 11503	. . . . . . . . 9 |- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
10	9	lnopfi 11530	. . . . . . 7 |- T:~H-->~H
11	10	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> (T` y) e. ~H)
12	10, 10	hocoi 11327	. . . . . . 7 |- (y e. ~H -> ((T o. T)` y) = (T` (T` y)))
13	6	simpri 351	. . . . . . . 8 |- (T o. T) = T
14	13	fveq1i 4682	. . . . . . 7 |- ((T o. T)` y) = (T` y)
15	12, 14	syl5reqr 1943	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> (T` (T` y)) = (T` y))
16	5, 11, 15	sylanbrc 527	. . . . 5 |- (y e. ~H -> (T` y) e. H)
17		ssrab2 2692	. . . . . . . 8 |- {x e. ~H | (T` x) = x} C_ ~H
18	4, 17	eqsstri 2647	. . . . . . 7 |- H C_ ~H
19		ocel 10787	. . . . . . 7 |- (H C_ ~H -> ((y -h (T` y)) e. (_|_` H) <-> ((y -h (T` y)) e. ~H /\ A.z e. H ((y -h (T` y)) .ih z) = 0)))
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((y -h (T` y)) e. (_|_` H) <-> ((y -h (T` y)) e. ~H /\ A.z e. H ((y -h (T` y)) .ih z) = 0))
21		hvsubcl 10519	. . . . . . 7 |- ((y e. ~H /\ (T` y) e. ~H) -> (y -h (T` y)) e. ~H)
22	11, 21	mpdan 768	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> (y -h (T` y)) e. ~H)
23		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> y e. ~H)
24	11	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> (T` y) e. ~H)
25	18	sseli 2617	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H -> z e. ~H)
26	25	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> z e. ~H)
27		his2sub 10591	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ (T` y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y -h (T` y)) .ih z) = ((y .ih z) - ((T` y) .ih z)))
28	23, 24, 26, 27	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> ((y -h (T` y)) .ih z) = ((y .ih z) - ((T` y) .ih z)))
29		hmop 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. HrmOp /\ y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z))
30	7, 29	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z))
31	30, 25	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> (y .ih (T` z)) = ((T` y) .ih z))
32		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z -> (T` x) = (T` z))
33		id 73	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z -> x = z)
34	32, 33	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> ((T` x) = x <-> (T` z) = z))
35	34, 4	elrab2 2416	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. H <-> (z e. ~H /\ (T` z) = z))
36	35	simprbi 353	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. H -> (T` z) = z)
37	36	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H -> (y .ih (T` z)) = (y .ih z))
38	37	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> (y .ih (T` z)) = (y .ih z))
39	31, 38	eqtr3d 1927	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> ((T` y) .ih z) = (y .ih z))
40	39	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> ((y .ih z) - ((T` y) .ih z)) = ((y .ih z) - (y .ih z)))
41		hicl 10580	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y .ih z) e. CC)
42	41, 25	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> (y .ih z) e. CC)
43		subid 6555	. . . . . . . . 9 |- ((y .ih z) e. CC -> ((y .ih z) - (y .ih z)) = 0)
44	42, 43	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> ((y .ih z) - (y .ih z)) = 0)
45	28, 40, 44	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- ((y e. ~H /\ z e. H) -> ((y -h (T` y)) .ih z) = 0)
46	45	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- (y e. ~H -> A.z e. H ((y -h (T` y)) .ih z) = 0)
47	20, 22, 46	sylanbrc 527	. . . . 5 |- (y e. ~H -> (y -h (T` y)) e. (_|_` H))
48	4, 6	hmopidmchi 11723	. . . . . 6 |- H e. CH
49	48	pjvi 11285	. . . . 5 |- (((T` y) e. H /\ (y -h (T` y)) e. (_|_` H)) -> ((proj` H)` ((T` y) +h (y -h (T` y)))) = (T` y))
50	16, 47, 49	syl11anc 524	. . . 4 |- (y e. ~H -> ((proj` H)` ((T` y) +h (y -h (T` y)))) = (T` y))
51		hvpncan3 10543	. . . . . 6 |- (((T` y) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` y) +h (y -h (T` y))) = y)
52	11, 51	mpancom 769	. . . . 5 |- (y e. ~H -> ((T` y) +h (y -h (T` y))) = y)
53	52	fveq2d 4685	. . . 4 |- (y e. ~H -> ((proj` H)` ((T` y) +h (y -h (T` y)))) = ((proj` H)` y))
54	50, 53	eqtr3d 1927	. . 3 |- (y e. ~H -> (T` y) = ((proj` H)` y))
55	54	rgen 2159	. 2 |- A.y e. ~H (T` y) = ((proj` H)` y)
56		ffn 4562	. . . 4 |- (T:~H-->~H -> T Fn ~H)
57	10, 56	ax-mp 7	. . 3 |- T Fn ~H
58	48	pjfni 11281	. . 3 |- (proj` H) Fn ~H
59		eqfnfv2 4767	. . 3 |- ((T Fn ~H /\ (proj` H) Fn ~H) -> (T = (proj` H) <-> A.y e. ~H (T` y) = ((proj` H)` y)))
60	57, 58, 59	mp2an 761	. 2 |- (T = (proj` H) <-> A.y e. ~H (T` y) = ((proj` H)` y))
61	55, 60	mpbir 207	1 |- T = (proj` H)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593   o. ccom 3990   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445  ~Hchil 10420   +h cva 10421   -h cmv 10424   .ih csp 10425  _|_cort 10431  projcpj 10438  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451

This theorem is referenced by:  hmopidmpj 11726

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-lnop 11404  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain