Theorem hmopidmpj 10199

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpj	|- ((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T) -> T = (proj` {x e. H~ | (T` x) = x}))

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem hmopidmpj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . 3 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))
2		fveq1 3799	. . . . . 6 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T` x) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x))
3	2	eqeq1d 1520	. . . . 5 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ((T` x) = x <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x))
4	3	rabbisdv 1845	. . . 4 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> {x e. H~ | (T` x) = x} = {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x})
5	4	fveq2d 3804	. . 3 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (proj` {x e. H~ | (T` x) = x}) = (proj` {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x}))
6	1, 5	eqeq12d 1526	. 2 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T = (proj` {x e. H~ | (T` x) = x}) <-> if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) = (proj` {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x})))
7		eqid 1512	. . 3 |- {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x} = {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x}
8		eleq1 1571	. . . . 5 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T e. HrmOp <-> if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp))
9		coeq1 3344	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T o. T) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. T))
10		coeq2 3345	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. T) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
11	9, 10	eqtrd 1544	. . . . . 6 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T o. T) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
12	11, 1	eqeq12d 1526	. . . . 5 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ((T o. T) = T <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
13	8, 12	anbi12d 630	. . . 4 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T) <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp /\ (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))))
14		eleq1 1571	. . . . 5 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ( Iop e. HrmOp <-> if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp))
15		coeq1 3344	. . . . . . 7 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ( Iop o. Iop ) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. Iop ))
16		coeq2 3345	. . . . . . 7 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. Iop ) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
17	15, 16	eqtrd 1544	. . . . . 6 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ( Iop o. Iop ) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
18		id 59	. . . . . 6 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))
19	17, 18	eqeq12d 1526	. . . . 5 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (( Iop o. Iop ) = Iop <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
20	14, 19	anbi12d 630	. . . 4 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (( Iop e. HrmOp /\ ( Iop o. Iop ) = Iop ) <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp /\ (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))))
21		idhmop 10023	. . . . 5 |- Iop e. HrmOp
22		hoif 9800	. . . . . . 7 |- Iop :H~-1-1-onto->H~
23		f1of 3765	. . . . . . 7 |- ( Iop :H~-1-1-onto->H~ -> Iop :H~-->H~)
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Iop :H~-->H~
25	24	hoid1i 9835	. . . . 5 |- ( Iop o. Iop ) = Iop
26	21, 25	pm3.2i 283	. . . 4 |- ( Iop e. HrmOp /\ ( Iop o. Iop ) = Iop )
27	13, 20, 26	elimhyp 2435	. . 3 |- (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp /\ (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))
28	7, 27	hmopidmpji 10197	. 2 |- if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) = (proj` {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x})
29	6, 28	dedth 2428	1 |- ((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T) -> T = (proj` {x e. H~ | (T` x) = x}))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  {crab 1686  ifcif 2406   o. ccom 3229  -->wf 3233  -1-1-onto->wf1o 3236  ` cfv 3237  H~chil 8907  projcpj 8925   Iop chio 8932  HrmOpcho 8938

This theorem is referenced by:  pjhmopidm 10227  elpjch 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-reg 4677  ax-inf2 4711  ax-ac 4830  ax-hilex 8988  ax-hfvadd 8989  ax-hvcom 8990  ax-hvass 8991  ax-hv0cl 8992  ax-hvaddid 8993  ax-hfvmul 8994  ax-hvmulid 8995  ax-hvmulass 8996  ax-hvdistr1 8997  ax-hvdistr2 8998  ax-hvmul0 8999  ax-hfi 9066  ax-his1 9069  ax-his2 9070  ax-his3 9071  ax-his4 9072  ax-hcompl 9191

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-iin 2617  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-map 4411  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-sup 4658  df-r1 4729  df-rank 4730  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-3 6059  df-4 6060  df-n0 6210  df-z 6246  df-q 6336  df-fl 6363  df-ioo 6420  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-exp 6692  df-sqr 6793  df-re 6874  df-im 6875  df-cj 6876  df-abs 6877  df-clim 7098  df-sum 7103  df-top 7717  df-bases 7719  df-topgen 7720  df-cld 7783  df-ntr 7784  df-cls 7785  df-cn 7874  df-cnp 7875  df-haus 7902  df-met 7913 &nbs