Theorem hmopidmchlem 11722

Description: Lemma for hmopidmchi 11723.

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	|- H = {x e. ~H | (T` x) = x}
hmopidmch.2	|- (T e. HrmOp /\ (T o. T) = T)

Assertion

Ref	Expression
hmopidmchlem	|- (A e. ~H -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A))

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem hmopidmchlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopidmch.2	. . . . . . 7 |- (T e. HrmOp /\ (T o. T) = T)
2	1	simpli 347	. . . . . 6 |- T e. HrmOp
3		hmoplin 11503	. . . . . 6 |- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- T e. LinOp
5	4	lnopfi 11530	. . . 4 |- T:~H-->~H
6	5	ffvelrni 4788	. . 3 |- (A e. ~H -> (T` A) e. ~H)
7		normge0 10625	. . 3 |- ((T` A) e. ~H -> 0 <_ (normh` (T` A)))
8	6, 7	syl 12	. 2 |- (A e. ~H -> 0 <_ (normh` (T` A)))
9		normcl 10624	. . . 4 |- ((T` A) e. ~H -> (normh` (T` A)) e. RR)
10		0re 6603	. . . . 5 |- 0 e. RR
11		leloe 6688	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (normh` (T` A)) e. RR) -> (0 <_ (normh` (T` A)) <-> (0 < (normh` (T` A)) \/ 0 = (normh` (T` A)))))
12	10, 11	mpan 759	. . . 4 |- ((normh` (T` A)) e. RR -> (0 <_ (normh` (T` A)) <-> (0 < (normh` (T` A)) \/ 0 = (normh` (T` A)))))
13	6, 9, 12	3syl 24	. . 3 |- (A e. ~H -> (0 <_ (normh` (T` A)) <-> (0 < (normh` (T` A)) \/ 0 = (normh` (T` A)))))
14		normsq 10634	. . . . . . . . . 10 |- ((T` A) e. ~H -> ((normh` (T` A))^2) = ((T` A) .ih (T` A)))
15	6, 14	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A e. ~H -> ((normh` (T` A))^2) = ((T` A) .ih (T` A)))
16	6, 9	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. ~H -> (normh` (T` A)) e. RR)
17	16	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (A e. ~H -> (normh` (T` A)) e. CC)
18		sqval 7854	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` (T` A)) e. CC -> ((normh` (T` A))^2) = ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))))
19	17, 18	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A e. ~H -> ((normh` (T` A))^2) = ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))))
20		hmop 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T e. HrmOp /\ (T` A) e. ~H /\ A e. ~H) -> ((T` A) .ih (T` A)) = ((T` (T` A)) .ih A))
21	2, 20	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T` A) e. ~H /\ A e. ~H) -> ((T` A) .ih (T` A)) = ((T` (T` A)) .ih A))
22	6, 21	mpancom 769	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. ~H -> ((T` A) .ih (T` A)) = ((T` (T` A)) .ih A))
23	5, 5	hocoi 11327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. ~H -> ((T o. T)` A) = (T` (T` A)))
24	1	simpri 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (T o. T) = T
25	24	fveq1i 4682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T o. T)` A) = (T` A)
26	23, 25	syl5reqr 1943	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. ~H -> (T` (T` A)) = (T` A))
27	26	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. ~H -> ((T` (T` A)) .ih A) = ((T` A) .ih A))
28	22, 27	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. ~H -> ((T` A) .ih A) = ((T` A) .ih (T` A)))
29	28	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (A e. ~H -> (abs` ((T` A) .ih A)) = (abs` ((T` A) .ih (T` A))))
30		hiidrcl 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T` A) e. ~H -> ((T` A) .ih (T` A)) e. RR)
31	6, 30	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. ~H -> ((T` A) .ih (T` A)) e. RR)
32		hiidge0 10597	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T` A) e. ~H -> 0 <_ ((T` A) .ih (T` A)))
33	6, 32	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. ~H -> 0 <_ ((T` A) .ih (T` A)))
34		absid 8113	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T` A) .ih (T` A)) e. RR /\ 0 <_ ((T` A) .ih (T` A))) -> (abs` ((T` A) .ih (T` A))) = ((T` A) .ih (T` A)))
35	31, 33, 34	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (A e. ~H -> (abs` ((T` A) .ih (T` A))) = ((T` A) .ih (T` A)))
36	29, 35	eqtr2d 1926	. . . . . . . . 9 |- (A e. ~H -> ((T` A) .ih (T` A)) = (abs` ((T` A) .ih A)))
37	15, 19, 36	3eqtr3d 1934	. . . . . . . 8 |- (A e. ~H -> ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))) = (abs` ((T` A) .ih A)))
38		bcs 10681	. . . . . . . . 9 |- (((T` A) e. ~H /\ A e. ~H) -> (abs` ((T` A) .ih A)) <_ ((normh` (T` A)) x. (normh` A)))
39	6, 38	mpancom 769	. . . . . . . 8 |- (A e. ~H -> (abs` ((T` A) .ih A)) <_ ((normh` (T` A)) x. (normh` A)))
40	37, 39	eqbrtrd 3357	. . . . . . 7 |- (A e. ~H -> ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))) <_ ((normh` (T` A)) x. (normh` A)))
41	40	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. ~H /\ 0 < (normh` (T` A))) -> ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))) <_ ((normh` (T` A)) x. (normh` A)))
42		lemul2OLD 7014	. . . . . . 7 |- ((((normh` (T` A)) e. RR /\ (normh` A) e. RR /\ (normh` (T` A)) e. RR) /\ 0 < (normh` (T` A))) -> ((normh` (T` A)) <_ (normh` A) <-> ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))) <_ ((normh` (T` A)) x. (normh` A))))
43		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- (A e. ~H -> (normh` A) e. RR)
44	16, 43, 16	3jca 1050	. . . . . . 7 |- (A e. ~H -> ((normh` (T` A)) e. RR /\ (normh` A) e. RR /\ (normh` (T` A)) e. RR))
45	42, 44	sylan 497	. . . . . 6 |- ((A e. ~H /\ 0 < (normh` (T` A))) -> ((normh` (T` A)) <_ (normh` A) <-> ((normh` (T` A)) x. (normh` (T` A))) <_ ((normh` (T` A)) x. (normh` A))))
46	41, 45	mpbird 213	. . . . 5 |- ((A e. ~H /\ 0 < (normh` (T` A))) -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A))
47		simpr 350	. . . . . 6 |- ((A e. ~H /\ 0 = (normh` (T` A))) -> 0 = (normh` (T` A)))
48		normge0 10625	. . . . . . 7 |- (A e. ~H -> 0 <_ (normh` A))
49	48	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. ~H /\ 0 = (normh` (T` A))) -> 0 <_ (normh` A))
50	47, 49	eqbrtrrd 3359	. . . . 5 |- ((A e. ~H /\ 0 = (normh` (T` A))) -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A))
51	46, 50	jaodan 471	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ (0 < (normh` (T` A)) \/ 0 = (normh` (T` A)))) -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A))
52	51	ex 402	. . 3 |- (A e. ~H -> ((0 < (normh` (T` A)) \/ 0 = (normh` (T` A))) -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A)))
53	13, 52	sylbid 220	. 2 |- (A e. ~H -> (0 <_ (normh` (T` A)) -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A)))
54	8, 53	mpd 29	1 |- (A e. ~H -> (normh` (T` A)) <_ (normh` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811  abscabs 8000  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  normhcno 10426  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451

This theorem is referenced by:  hmopidmchi 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-lnop 11404  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain