Theorem hmopidmchi 11723

Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64.

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	|- H = {x e. ~H | (T` x) = x}
hmopidmch.2	|- (T e. HrmOp /\ (T o. T) = T)

Assertion

Ref	Expression
hmopidmchi	|- H e. CH

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem hmopidmchi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 10726	. 2 |- (H e. CH <-> (H e. SH /\ A.fA.y((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> y e. H)))
2		hmopidmch.1	. . . . 5 |- H = {x e. ~H | (T` x) = x}
3		ssrab2 2692	. . . . 5 |- {x e. ~H | (T` x) = x} C_ ~H
4	2, 3	eqsstri 2647	. . . 4 |- H C_ ~H
5		sh2 10724	. . . 4 |- (H C_ ~H -> (H e. SH <-> (0h e. H /\ (A.y e. H A.z e. H (y +h z) e. H /\ A.y e. CC A.z e. H (y .h z) e. H))))
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- (H e. SH <-> (0h e. H /\ (A.y e. H A.z e. H (y +h z) e. H /\ A.y e. CC A.z e. H (y .h z) e. H)))
7		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (x = 0h -> (T` x) = (T` 0h))
8		id 73	. . . . . . 7 |- (x = 0h -> x = 0h)
9	7, 8	eqeq12d 1899	. . . . . 6 |- (x = 0h -> ((T` x) = x <-> (T` 0h) = 0h))
10	9	elrab 2414	. . . . 5 |- (0h e. {x e. ~H | (T` x) = x} <-> (0h e. ~H /\ (T` 0h) = 0h))
11		ax-hv0cl 10505	. . . . 5 |- 0h e. ~H
12		hmopidmch.2	. . . . . . . 8 |- (T e. HrmOp /\ (T o. T) = T)
13	12	simpli 347	. . . . . . 7 |- T e. HrmOp
14		hmoplin 11503	. . . . . . 7 |- (T e. HrmOp -> T e. LinOp)
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- T e. LinOp
16	15	lnop0i 11531	. . . . 5 |- (T` 0h) = 0h
17	10, 11, 16	mpbir2an 800	. . . 4 |- 0h e. {x e. ~H | (T` x) = x}
18	17, 2	eleqtrri 1970	. . 3 |- 0h e. H
19		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y +h z) e. ~H)
20	19	ad2ant2r 445	. . . . . . . . 9 |- (((y e. ~H /\ (T` y) = y) /\ (z e. ~H /\ (T` z) = z)) -> (y +h z) e. ~H)
21	15	lnopaddi 11532	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (T` (y +h z)) = ((T` y) +h (T` z)))
22		opreq12 4891	. . . . . . . . . . 11 |- (((T` y) = y /\ (T` z) = z) -> ((T` y) +h (T` z)) = (y +h z))
23	21, 22	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ ((T` y) = y /\ (T` z) = z)) -> (T` (y +h z)) = (y +h z))
24	23	an4s 566	. . . . . . . . 9 |- (((y e. ~H /\ (T` y) = y) /\ (z e. ~H /\ (T` z) = z)) -> (T` (y +h z)) = (y +h z))
25	20, 24	jca 310	. . . . . . . 8 |- (((y e. ~H /\ (T` y) = y) /\ (z e. ~H /\ (T` z) = z)) -> ((y +h z) e. ~H /\ (T` (y +h z)) = (y +h z)))
26		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (T` x) = (T` y))
27		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> x = y)
28	26, 27	eqeq12d 1899	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> ((T` x) = x <-> (T` y) = y))
29	28, 2	elrab2 2416	. . . . . . . 8 |- (y e. H <-> (y e. ~H /\ (T` y) = y))
30		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (T` x) = (T` z))
31		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> x = z)
32	30, 31	eqeq12d 1899	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> ((T` x) = x <-> (T` z) = z))
33	32, 2	elrab2 2416	. . . . . . . 8 |- (z e. H <-> (z e. ~H /\ (T` z) = z))
34	25, 29, 33	syl2anb 504	. . . . . . 7 |- ((y e. H /\ z e. H) -> ((y +h z) e. ~H /\ (T` (y +h z)) = (y +h z)))
35		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (x = (y +h z) -> (T` x) = (T` (y +h z)))
36		id 73	. . . . . . . . 9 |- (x = (y +h z) -> x = (y +h z))
37	35, 36	eqeq12d 1899	. . . . . . . 8 |- (x = (y +h z) -> ((T` x) = x <-> (T` (y +h z)) = (y +h z)))
38	37	elrab 2414	. . . . . . 7 |- ((y +h z) e. {x e. ~H | (T` x) = x} <-> ((y +h z) e. ~H /\ (T` (y +h z)) = (y +h z)))
39	34, 38	sylibr 217	. . . . . 6 |- ((y e. H /\ z e. H) -> (y +h z) e. {x e. ~H | (T` x) = x})
40	39, 2	syl6eleqr 1982	. . . . 5 |- ((y e. H /\ z e. H) -> (y +h z) e. H)
41	40	rgen2a 2160	. . . 4 |- A.y e. H A.z e. H (y +h z) e. H
42		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. CC /\ z e. ~H) -> (y .h z) e. ~H)
43	42	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. CC /\ z e. ~H) /\ (T` z) = z) -> (y .h z) e. ~H)
44	15	lnopmuli 11533	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. CC /\ z e. ~H) -> (T` (y .h z)) = (y .h (T` z)))
45		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- ((T` z) = z -> (y .h (T` z)) = (y .h z))
46	44, 45	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. CC /\ z e. ~H) /\ (T` z) = z) -> (T` (y .h z)) = (y .h z))
47	43, 46	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (((y e. CC /\ z e. ~H) /\ (T` z) = z) -> ((y .h z) e. ~H /\ (T` (y .h z)) = (y .h z)))
48	47	anasss 488	. . . . . . . 8 |- ((y e. CC /\ (z e. ~H /\ (T` z) = z)) -> ((y .h z) e. ~H /\ (T` (y .h z)) = (y .h z)))
49	48, 33	sylan2b 501	. . . . . . 7 |- ((y e. CC /\ z e. H) -> ((y .h z) e. ~H /\ (T` (y .h z)) = (y .h z)))
50		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (x = (y .h z) -> (T` x) = (T` (y .h z)))
51		id 73	. . . . . . . . 9 |- (x = (y .h z) -> x = (y .h z))
52	50, 51	eqeq12d 1899	. . . . . . . 8 |- (x = (y .h z) -> ((T` x) = x <-> (T` (y .h z)) = (y .h z)))
53	52	elrab 2414	. . . . . . 7 |- ((y .h z) e. {x e. ~H | (T` x) = x} <-> ((y .h z) e. ~H /\ (T` (y .h z)) = (y .h z)))
54	49, 53	sylibr 217	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ z e. H) -> (y .h z) e. {x e. ~H | (T` x) = x})
55	54, 2	syl6eleqr 1982	. . . . 5 |- ((y e. CC /\ z e. H) -> (y .h z) e. H)
56	55	rgen2 2186	. . . 4 |- A.y e. CC A.z e. H (y .h z) e. H
57	41, 56	pm3.2i 307	. . 3 |- (A.y e. H A.z e. H (y +h z) e. H /\ A.y e. CC A.z e. H (y .h z) e. H)
58	6, 18, 57	mpbir2an 800	. 2 |- H e. SH
59		visset 2295	. . . . . 6 |- f e. _V
60		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
61	59, 60	hlimveci 10691	. . . . 5 |- (f ~~>v y -> y e. ~H)
62	61	adantl 424	. . . 4 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> y e. ~H)
63	15	lnopfi 11530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T:~H-->~H
64	63	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ~H -> (T` y) e. ~H)
65	61, 64	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (f ~~>v y -> (T` y) e. ~H)
66		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T` y) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` y) -h y) e. ~H)
67	65, 61, 66	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (f ~~>v y -> ((T` y) -h y) e. ~H)
68		normcl 10624	. . . . . . . . . . 11 |- (((T` y) -h y) e. ~H -> (normh` ((T` y) -h y)) e. RR)
69	67, 68	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (f ~~>v y -> (normh` ((T` y) -h y)) e. RR)
70		rehalfcl 7220	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` ((T` y) -h y)) e. RR -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR)
71	69, 70	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (f ~~>v y -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR)
72	71	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR)
73		normge0 10625	. . . . . . . . . . 11 |- (((T` y) -h y) e. ~H -> 0 <_ (normh` ((T` y) -h y)))
74	67, 73	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (f ~~>v y -> 0 <_ (normh` ((T` y) -h y)))
75		halfnneg2 7224	. . . . . . . . . . 11 |- ((normh` ((T` y) -h y)) e. RR -> (0 <_ (normh` ((T` y) -h y)) <-> 0 <_ ((normh` ((T` y) -h y)) / 2)))
76	69, 75	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (f ~~>v y -> (0 <_ (normh` ((T` y) -h y)) <-> 0 <_ ((normh` ((T` y) -h y)) / 2)))
77	74, 76	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- (f ~~>v y -> 0 <_ ((normh` ((T` y) -h y)) / 2))
78	77	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> 0 <_ ((normh` ((T` y) -h y)) / 2))
79	59, 60	hlimconvi 10692	. . . . . . . . . 10 |- (f ~~>v y -> A.z e. RR (0 < z -> E.m e. NN A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z)))
80	79	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> A.z e. RR (0 < z -> E.m e. NN A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z)))
81		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. NN -> m e. RR)
82		leid 6701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. RR -> m <_ m)
83	81, 82	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN -> m <_ m)
84		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n = m -> (m <_ n <-> m <_ m))
85		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (n = m -> (f` n) = (f` m))
86	85	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n = m -> ((f` n) -h y) = ((f` m) -h y))
87	86	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n = m -> (normh` ((f` n) -h y)) = (normh` ((f` m) -h y)))
88	87	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n = m -> ((normh` ((f` n) -h y)) < z <-> (normh` ((f` m) -h y)) < z))
89	84, 88	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n = m -> ((m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z) <-> (m <_ m -> (normh` ((f` m) -h y)) < z)))
90	89	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN -> (A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z) -> (m <_ m -> (normh` ((f` m) -h y)) < z)))
91	83, 90	mpid 58	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. NN -> (A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z) -> (normh` ((f` m) -h y)) < z))
92	91	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ z e. RR) /\ m e. NN) -> (A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z) -> (normh` ((f` m) -h y)) < z))
93	64, 66	mpancom 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. ~H -> ((T` y) -h y) e. ~H)
94	93, 68	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. ~H -> (normh` ((T` y) -h y)) e. RR)
95	94	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h y)) e. RR)
96		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((T` y) e. ~H /\ (f` m) e. ~H) -> ((T` y) -h (f` m)) e. ~H)
97	4	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((f` m) e. H -> (f` m) e. ~H)
98	96, 64, 97	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. ~H /\ (f` m) e. H) -> ((T` y) -h (f` m)) e. ~H)
99	98	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((T` y) -h (f` m)) e. ~H)
100		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((T` y) -h (f` m)) e. ~H -> (normh` ((T` y) -h (f` m))) e. RR)
101	99, 100	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h (f` m))) e. RR)
102		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((f` m) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((f` m) -h y) e. ~H)
103	102, 97	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((f` m) -h y) e. ~H)
104		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m) -h y) e. ~H -> (normh` ((f` m) -h y)) e. RR)
105	103, 104	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((f` m) -h y)) e. RR)
106		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((normh` ((T` y) -h (f` m))) e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR) -> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))) e. RR)
107	101, 105, 106	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))) e. RR)
108		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((normh` ((f` m) -h y)) e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR) -> ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y))) e. RR)
109	105, 105, 108	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y))) e. RR)
110	64	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
111		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> y e. ~H)
112	97	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (f` m) e. ~H)
113		norm3dif 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((T` y) e. ~H /\ y e. ~H /\ (f` m) e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h y)) <_ ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))))
114	110, 111, 112, 113	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h y)) <_ ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))))
115		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. ~H /\ (f` m) e. ~H) -> (y -h (f` m)) e. ~H)
116	115	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((f` m) e. ~H /\ y e. ~H) -> (y -h (f` m)) e. ~H)
117	116, 97	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (y -h (f` m)) e. ~H)
118	2, 12	hmopidmchlem 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y -h (f` m)) e. ~H -> (normh` (T` (y -h (f` m)))) <_ (normh` (y -h (f` m))))
119	117, 118	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` (T` (y -h (f` m)))) <_ (normh` (y -h (f` m))))
120	15	lnopsubi 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. ~H /\ (f` m) e. ~H) -> (T` (y -h (f` m))) = ((T` y) -h (T` (f` m))))
121	120	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((f` m) e. ~H /\ y e. ~H) -> (T` (y -h (f` m))) = ((T` y) -h (T` (f` m))))
122	121, 97	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (T` (y -h (f` m))) = ((T` y) -h (T` (f` m))))
123		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (x = (f` m) -> (T` x) = (T` (f` m)))
124		id 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (x = (f` m) -> x = (f` m))
125	123, 124	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (x = (f` m) -> ((T` x) = x <-> (T` (f` m)) = (f` m)))
126	125, 2	elrab2 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((f` m) e. H <-> ((f` m) e. ~H /\ (T` (f` m)) = (f` m)))
127	126	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((f` m) e. H -> (T` (f` m)) = (f` m))
128	127	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (T` (f` m)) = (f` m))
129	128	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((T` y) -h (T` (f` m))) = ((T` y) -h (f` m)))
130	122, 129	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((T` y) -h (f` m)) = (T` (y -h (f` m))))
131	130	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h (f` m))) = (normh` (T` (y -h (f` m)))))
132		normsub 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((f` m) e. ~H /\ y e. ~H) -> (normh` ((f` m) -h y)) = (normh` (y -h (f` m))))
133	132, 97	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((f` m) -h y)) = (normh` (y -h (f` m))))
134	119, 131, 133	3brtr4d 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h (f` m))) <_ (normh` ((f` m) -h y)))
135		leadd1 6808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((normh` ((T` y) -h (f` m))) e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR) -> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) <_ (normh` ((f` m) -h y)) <-> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))) <_ ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y)))))
136	101, 105, 105, 135	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) <_ (normh` ((f` m) -h y)) <-> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))) <_ ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y)))))
137	134, 136	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((normh` ((T` y) -h (f` m))) + (normh` ((f` m) -h y))) <_ ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y))))
138	95, 107, 109, 114, 137	letrd 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h y)) <_ ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y))))
139	105	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((f` m) -h y)) e. CC)
140		2times 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((normh` ((f` m) -h y)) e. CC -> (2 x. (normh` ((f` m) -h y))) = ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y))))
141	139, 140	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (2 x. (normh` ((f` m) -h y))) = ((normh` ((f` m) -h y)) + (normh` ((f` m) -h y))))
142	138, 141	breqtrrd 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (normh` ((T` y) -h y)) <_ (2 x. (normh` ((f` m) -h y))))
143		2re 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
144		2pos 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 2
145		ledivmulOLD 7052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((normh` ((T` y) -h y)) e. RR /\ 2 e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR) /\ 0 < 2) -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)) <-> (normh` ((T` y) -h y)) <_ (2 x. (normh` ((f` m) -h y)))))
146	144, 145	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((normh` ((T` y) -h y)) e. RR /\ 2 e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR) -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)) <-> (normh` ((T` y) -h y)) <_ (2 x. (normh` ((f` m) -h y)))))
147	143, 146	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((normh` ((T` y) -h y)) e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR) -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)) <-> (normh` ((T` y) -h y)) <_ (2 x. (normh` ((f` m) -h y)))))
148	95, 105, 147	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)) <-> (normh` ((T` y) -h y)) <_ (2 x. (normh` ((f` m) -h y)))))
149	142, 148	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((f` m) e. H /\ y e. ~H) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)))
150	149	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((f` m) e. H /\ y e. ~H) /\ z e. RR) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)))
151	94, 70	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. ~H -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR)
152	151	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((f` m) e. H /\ y e. ~H) /\ z e. RR) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR)
153	105	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((f` m) e. H /\ y e. ~H) /\ z e. RR) -> (normh` ((f` m) -h y)) e. RR)
154		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((f` m) e. H /\ y e. ~H) /\ z e. RR) -> z e. RR)
155		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR /\ (normh` ((f` m) -h y)) e. RR /\ z e. RR) -> ((((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)) /\ (normh` ((f` m) -h y)) < z) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
156	152, 153, 154, 155	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((f` m) e. H /\ y e. ~H) /\ z e. RR) -> ((((normh` ((T` y) -h y)) / 2) <_ (normh` ((f` m) -h y)) /\ (normh` ((f` m) -h y)) < z) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
157	150, 156	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((f` m) e. H /\ y e. ~H) /\ z e. RR) -> ((normh` ((f` m) -h y)) < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
158		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((f:NN-->H /\ m e. NN) -> (f` m) e. H)
159	158, 61	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((f:NN-->H /\ m e. NN) /\ f ~~>v y) -> ((f` m) e. H /\ y e. ~H))
160	159	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ m e. NN) -> ((f` m) e. H /\ y e. ~H))
161	157, 160	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ m e. NN) /\ z e. RR) -> ((normh` ((f` m) -h y)) < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
162	161	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ z e. RR) /\ m e. NN) -> ((normh` ((f` m) -h y)) < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
163	92, 162	syld 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ z e. RR) /\ m e. NN) -> (A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
164	163	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ z e. RR) -> (E.m e. NN A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
165	164	imim2d 28	. . . . . . . . . 10 |- (((f:NN-->H /\ f ~~>v y) /\ z e. RR) -> ((0 < z -> E.m e. NN A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z)) -> (0 < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z)))
166	165	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> (A.z e. RR (0 < z -> E.m e. NN A.n e. NN (m <_ n -> (normh` ((f` n) -h y)) < z)) -> A.z e. RR (0 < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z)))
167	80, 166	mpd 29	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> A.z e. RR (0 < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z))
168		squeeze0 7107	. . . . . . . 8 |- ((((normh` ((T` y) -h y)) / 2) e. RR /\ 0 <_ ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) /\ A.z e. RR (0 < z -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) < z)) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) = 0)
169	72, 78, 167, 168	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> ((normh` ((T` y) -h y)) / 2) = 0)
170	69	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- (f ~~>v y -> (normh` ((T` y) -h y)) e. CC)
171		half0 7221	. . . . . . . . 9 |- ((normh` ((T` y) -h y)) e. CC -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) = 0 <-> (normh` ((T` y) -h y)) = 0))
172	170, 171	syl 12	. . . . . . . 8 |- (f ~~>v y -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) = 0 <-> (normh` ((T` y) -h y)) = 0))
173	172	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> (((normh` ((T` y) -h y)) / 2) = 0 <-> (normh` ((T` y) -h y)) = 0))
174	169, 173	mpbid 212	. . . . . 6 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> (normh` ((T` y) -h y)) = 0)
175		norm-i 10629	. . . . . . . 8 |- (((T` y) -h y) e. ~H -> ((normh` ((T` y) -h y)) = 0 <-> ((T` y) -h y) = 0h))
176	67, 175	syl 12	. . . . . . 7 |- (f ~~>v y -> ((normh` ((T` y) -h y)) = 0 <-> ((T` y) -h y) = 0h))
177	176	adantl 424	. . . . . 6 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> ((normh` ((T` y) -h y)) = 0 <-> ((T` y) -h y) = 0h))
178	174, 177	mpbid 212	. . . . 5 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> ((T` y) -h y) = 0h)
179		hvsubeq0 10567	. . . . . . 7 |- (((T` y) e. ~H /\ y e. ~H) -> (((T` y) -h y) = 0h <-> (T` y) = y))
180	65, 61, 179	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (f ~~>v y -> (((T` y) -h y) = 0h <-> (T` y) = y))
181	180	adantl 424	. . . . 5 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> (((T` y) -h y) = 0h <-> (T` y) = y))
182	178, 181	mpbid 212	. . . 4 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> (T` y) = y)
183	29, 62, 182	sylanbrc 527	. . 3 |- ((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> y e. H)
184	183	gen2 1329	. 2 |- A.fA.y((f:NN-->H /\ f ~~>v y) -> y e. H)
185	1, 58, 184	mpbir2an 800	1 |- H e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423   -h cmv 10424  normhcno 10426   ~~>v chli 10428  SHcsh 10429  CHcch 10430  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451

This theorem is referenced by:  hmopidmpji 11724  hmopidmch 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-lnop 11404  df-hmop 11407

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