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Theorem hmopco 25606
Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopco  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )

Proof of Theorem hmopco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 25457 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 hmopf 25457 . . . 4  |-  ( U  e.  HrmOp  ->  U : ~H
--> ~H )
3 fco 5679 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  ->  ( T  o.  U
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
543adant3 1008 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
6 fvco3 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  U ) `  y
)  =  ( T `
 ( U `  y ) ) )
72, 6sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T  o.  U
) `  y )  =  ( T `  ( U `  y ) ) )
87oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y ) ) ) )
98ad2ant2l 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( T `
 ( U `  y ) ) ) )
10 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  HrmOp
)
11 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  ~H )
122ffvelrnda 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
1312ad2ant2l 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
14 hmop 25505 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  ( U `
 y )  e. 
~H )  ->  (
x  .ih  ( T `  ( U `  y
) ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y )
) )
1510, 11, 13, 14syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y )
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) ) )
16 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  U  e.  HrmOp
)
171ffvelrnda 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
1817ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
19 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
20 hmop 25505 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) )  =  ( ( U `  ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2116, 18, 19, 20syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
229, 15, 213eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
23 fvco3 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U  o.  T ) `  x
)  =  ( U `
 ( T `  x ) ) )
241, 23sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( U  o.  T
) `  x )  =  ( U `  ( T `  x ) ) )
2524oveq1d 6218 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( U `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2625ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( U  o.  T
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
2722, 26eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
28273adantl3 1146 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
29 fveq1 5801 . . . . . . 7  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( T  o.  U
) `  x )  =  ( ( U  o.  T ) `  x ) )
3029oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `
 x )  .ih  y ) )
31303ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3328, 32eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
3433ralrimivva 2914 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
35 elhmop 25456 . 2  |-  ( ( T  o.  U )  e.  HrmOp 
<->  ( ( T  o.  U ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `
 y ) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `
 x )  .ih  y ) ) )
365, 34, 35sylanbrc 664 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ~Hchil 24500    .ih csp 24503   HrmOpcho 24531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-hilex 24580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-hmop 25427
This theorem is referenced by:  leopsq  25712  opsqrlem4  25726  opsqrlem6  25728
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