Theorem hmopco 11585

Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian.

Assertion

Ref	Expression
hmopco	|- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) -> (T o. U) e. HrmOp)

Proof of Theorem hmopco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhmop 11437	. 2 |- ((T o. U) e. HrmOp <-> ((T o. U):~H-->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih ((T o. U)` y)) = (((T o. U)` x) .ih y)))
2		fco 4573	. . . 4 |- ((T:~H-->~H /\ U:~H-->~H) -> (T o. U):~H-->~H)
3		hmopf 11438	. . . 4 |- (T e. HrmOp -> T:~H-->~H)
4		hmopf 11438	. . . 4 |- (U e. HrmOp -> U:~H-->~H)
5	2, 3, 4	syl2an 503	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T o. U):~H-->~H)
6	5	3adant3 896	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) -> (T o. U):~H-->~H)
7		fvco3 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun T /\ U:~H-->~H /\ y e. ~H) -> ((T o. U)` y) = (T` (U` y)))
8		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . 13 |- (T:~H-->~H -> Fun T)
9	3, 8	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (T e. HrmOp -> Fun T)
10		id 73	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ~H -> y e. ~H)
11	7, 9, 4, 10	syl3an 1139	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ y e. ~H) -> ((T o. U)` y) = (T` (U` y)))
12	11	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ y e. ~H) -> ((T o. U)` y) = (T` (U` y)))
13	12	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ y e. ~H) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = (x .ih (T` (U` y))))
14	13	adantrl 430	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = (x .ih (T` (U` y))))
15		simpll 448	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> T e. HrmOp)
16		simprl 450	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> x e. ~H)
17		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . 11 |- ((U:~H-->~H /\ y e. ~H) -> (U` y) e. ~H)
18	17, 4	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. HrmOp /\ y e. ~H) -> (U` y) e. ~H)
19	18	ad2ant2l 444	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (U` y) e. ~H)
20		hmop 11483	. . . . . . . . 9 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H /\ (U` y) e. ~H) -> (x .ih (T` (U` y))) = ((T` x) .ih (U` y)))
21	15, 16, 19, 20	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih (T` (U` y))) = ((T` x) .ih (U` y)))
22		simplr 449	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> U e. HrmOp)
23		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
24	23, 3	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> (T` x) e. ~H)
25	24	ad2ant2r 445	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (T` x) e. ~H)
26		simprr 451	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> y e. ~H)
27		hmop 11483	. . . . . . . . 9 |- ((U e. HrmOp /\ (T` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((T` x) .ih (U` y)) = ((U` (T` x)) .ih y))
28	22, 25, 26, 27	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((T` x) .ih (U` y)) = ((U` (T` x)) .ih y))
29	14, 21, 28	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = ((U` (T` x)) .ih y))
30		fvco3 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun U /\ T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> ((U o. T)` x) = (U` (T` x)))
31		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U:~H-->~H -> Fun U)
32	4, 31	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (U e. HrmOp -> Fun U)
33		id 73	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> x e. ~H)
34	30, 32, 3, 33	syl3an 1139	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. HrmOp /\ T e. HrmOp /\ x e. ~H) -> ((U o. T)` x) = (U` (T` x)))
35	34	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. HrmOp /\ T e. HrmOp) /\ x e. ~H) -> ((U o. T)` x) = (U` (T` x)))
36	35	ancom1s 548	. . . . . . . . 9 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. ~H) -> ((U o. T)` x) = (U` (T` x)))
37	36	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. ~H) -> (((U o. T)` x) .ih y) = ((U` (T` x)) .ih y))
38	37	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((U o. T)` x) .ih y) = ((U` (T` x)) .ih y))
39	29, 38	eqtr4d 1928	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = (((U o. T)` x) .ih y))
40	39	3adantl3 1034	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = (((U o. T)` x) .ih y))
41		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- ((T o. U) = (U o. T) -> ((T o. U)` x) = ((U o. T)` x))
42	41	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- ((T o. U) = (U o. T) -> (((T o. U)` x) .ih y) = (((U o. T)` x) .ih y))
43	42	3ad2ant3 899	. . . . . 6 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) -> (((T o. U)` x) .ih y) = (((U o. T)` x) .ih y))
44	43	adantr 425	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (((T o. U)` x) .ih y) = (((U o. T)` x) .ih y))
45	40, 44	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = (((T o. U)` x) .ih y))
46	45	ex 402	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) -> ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x .ih ((T o. U)` y)) = (((T o. U)` x) .ih y)))
47	46	r19.21aivv 2183	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) -> A.x e. ~H A.y e. ~H (x .ih ((T o. U)` y)) = (((T o. U)` x) .ih y))
48	1, 6, 47	sylanbrc 527	1 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp /\ (T o. U) = (U o. T)) -> (T o. U) e. HrmOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  HrmOpcho 10451

This theorem is referenced by:  leopsq 11700  opsqrlem3 11713  opsqrlem6 11716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-hmop 11407

Copyright terms: Public domain