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Theorem hmopco 26733
Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopco  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )

Proof of Theorem hmopco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 26584 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 hmopf 26584 . . . 4  |-  ( U  e.  HrmOp  ->  U : ~H
--> ~H )
3 fco 5746 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  ->  ( T  o.  U
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
543adant3 1016 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
6 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  U ) `  y
)  =  ( T `
 ( U `  y ) ) )
72, 6sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T  o.  U
) `  y )  =  ( T `  ( U `  y ) ) )
87oveq2d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y ) ) ) )
98ad2ant2l 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( T `
 ( U `  y ) ) ) )
10 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  HrmOp
)
11 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  ~H )
122ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
1312ad2ant2l 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
14 hmop 26632 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  ( U `
 y )  e. 
~H )  ->  (
x  .ih  ( T `  ( U `  y
) ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y )
) )
1510, 11, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y )
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) ) )
16 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  U  e.  HrmOp
)
171ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
1817ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
19 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
20 hmop 26632 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) )  =  ( ( U `  ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2116, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
229, 15, 213eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
23 fvco3 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U  o.  T ) `  x
)  =  ( U `
 ( T `  x ) ) )
241, 23sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( U  o.  T
) `  x )  =  ( U `  ( T `  x ) ) )
2524oveq1d 6309 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( U `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2625ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( U  o.  T
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
2722, 26eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
28273adantl3 1154 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
29 fveq1 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( T  o.  U
) `  x )  =  ( ( U  o.  T ) `  x ) )
3029oveq1d 6309 . . . . . 6  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `
 x )  .ih  y ) )
31303ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3328, 32eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
3433ralrimivva 2888 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
35 elhmop 26583 . 2  |-  ( ( T  o.  U )  e.  HrmOp 
<->  ( ( T  o.  U ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `
 y ) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `
 x )  .ih  y ) ) )
365, 34, 35sylanbrc 664 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    o. ccom 5008   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   ~Hchil 25627    .ih csp 25630   HrmOpcho 25658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-hilex 25707
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-map 7432  df-hmop 26554
This theorem is referenced by:  leopsq  26839  opsqrlem4  26853  opsqrlem6  26855
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