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Theorem hmeores 20035
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 20024 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 19580 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 667 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 19536 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 19229 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 196 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 5012 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3559 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5348 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 19541 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5737 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3515 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 19581 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 20025 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 19541 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
26 ffun 5733 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
27 funcnvres 5657 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2824, 25, 26, 274syl 21 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
298cnrest 19580 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3024, 19, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3128, 30eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
32 cntop1 19535 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
332, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
343toptopon 19229 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3533, 34sylib 196 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
36 dfdm4 5195 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
37 fssres 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3816, 37sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
39 fdm 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4038, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4136, 40syl5eqr 2522 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
42 eqimss 3556 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4341, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
44 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
45 cnrest2 19581 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4635, 43, 44, 45syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4731, 46mpbid 210 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
48 ishmeo 20023 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4922, 47, 48sylanbrc 664 1  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾t crest 14676   Topctop 19189  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519   Homeochmeo 20017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cn 19522  df-hmeo 20019
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