MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeores Unicode version

Theorem hmeores 17756
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17745 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 17303 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 649 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 17259 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 16953 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 189 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4850 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3363 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5175 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 17264 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3319 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 17304 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 202 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 17746 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 17264 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F : U. K --> X )
27 ffun 5552 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
28 funcnvres 5481 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2926, 27, 283syl 19 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
308cnrest 17303 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3124, 19, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3229, 31eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
33 cntop1 17258 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
353toptopon 16953 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3634, 35sylib 189 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
37 dfdm4 5022 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
38 fssres 5569 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3916, 38sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
40 fdm 5554 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4237, 41syl5eqr 2450 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
43 eqimss 3360 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
45 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
46 cnrest2 17304 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4832, 47mpbid 202 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
49 ishmeo 17744 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738
This theorem is referenced by:  cvmsss2  24914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-hmeo 17740
  Copyright terms: Public domain W3C validator