Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeores Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hmeores 20863
 Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1
Assertion
Ref Expression
hmeores t t

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 20852 . . . . 5
21adantr 472 . . . 4
3 hmeores.1 . . . . 5
43cnrest 20378 . . . 4 t
52, 4sylancom 680 . . 3 t
6 cntop2 20334 . . . . . 6
72, 6syl 17 . . . . 5
8 eqid 2471 . . . . . 6
98toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
107, 9sylib 201 . . . 4 TopOn
11 df-ima 4852 . . . . . 6
1211eqimss2i 3473 . . . . 5
1312a1i 11 . . . 4
14 imassrn 5185 . . . . 5
153, 8cnf 20339 . . . . . . 7
162, 15syl 17 . . . . . 6
17 frn 5747 . . . . . 6
1816, 17syl 17 . . . . 5
1914, 18syl5ss 3429 . . . 4
20 cnrest2 20379 . . . 4 TopOn t t t
2110, 13, 19, 20syl3anc 1292 . . 3 t t t
225, 21mpbid 215 . 2 t t
23 hmeocnvcn 20853 . . . . . 6
2423adantr 472 . . . . 5
258, 3cnf 20339 . . . . 5
26 ffun 5742 . . . . 5
27 funcnvres 5662 . . . . 5
2824, 25, 26, 274syl 19 . . . 4
298cnrest 20378 . . . . 5 t
3024, 19, 29syl2anc 673 . . . 4 t
3128, 30eqeltrd 2549 . . 3 t
32 cntop1 20333 . . . . . 6
332, 32syl 17 . . . . 5
343toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
3533, 34sylib 201 . . . 4 TopOn
36 dfdm4 5032 . . . . . 6
37 fssres 5761 . . . . . . . 8
3816, 37sylancom 680 . . . . . . 7
39 fdm 5745 . . . . . . 7
4038, 39syl 17 . . . . . 6
4136, 40syl5eqr 2519 . . . . 5
42 eqimss 3470 . . . . 5
4341, 42syl 17 . . . 4
44 simpr 468 . . . 4
45 cnrest2 20379 . . . 4 TopOn t t t
4635, 43, 44, 45syl3anc 1292 . . 3 t t t
4731, 46mpbid 215 . 2 t t
48 ishmeo 20851 . 2 t t t t t t
4922, 47, 48sylanbrc 677 1 t t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390  cuni 4190  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317  chmeo 20845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-hmeo 20847 This theorem is referenced by:  cvmsss2  30069
 Copyright terms: Public domain W3C validator