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Theorem hmeores 20786
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 20775 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 467 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 20301 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 673 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 20257 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2451 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 19948 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 200 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4847 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3487 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5179 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 20262 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3443 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 20302 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 214 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 20776 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 20262 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
26 ffun 5731 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
27 funcnvres 5652 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2824, 25, 26, 274syl 19 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
298cnrest 20301 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3024, 19, 29syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3128, 30eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
32 cntop1 20256 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
332, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
343toptopon 19948 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3533, 34sylib 200 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
36 dfdm4 5027 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
37 fssres 5749 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3816, 37sylancom 673 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
39 fdm 5733 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4038, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4136, 40syl5eqr 2499 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
42 eqimss 3484 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4341, 42syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
44 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
45 cnrest2 20302 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4635, 43, 44, 45syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4731, 46mpbid 214 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
48 ishmeo 20774 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4922, 47, 48sylanbrc 670 1  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   U.cuni 4198   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾t crest 15319   Topctop 19917  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240   Homeochmeo 20768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-hmeo 20770
This theorem is referenced by:  cvmsss2  29997
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