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Theorem hmeores 20863
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 20852 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 472 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 20378 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 680 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 20334 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 20025 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 201 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4852 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3473 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5185 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 20339 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 20379 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 215 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 20853 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 20339 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
26 ffun 5742 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
27 funcnvres 5662 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2824, 25, 26, 274syl 19 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
298cnrest 20378 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3024, 19, 29syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3128, 30eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
32 cntop1 20333 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
332, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
343toptopon 20025 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3533, 34sylib 201 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
36 dfdm4 5032 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
37 fssres 5761 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3816, 37sylancom 680 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
39 fdm 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4038, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4136, 40syl5eqr 2519 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
42 eqimss 3470 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4341, 42syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
44 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
45 cnrest2 20379 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4635, 43, 44, 45syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4731, 46mpbid 215 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
48 ishmeo 20851 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4922, 47, 48sylanbrc 677 1  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )
Homeo ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317   Homeochmeo 20845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-hmeo 20847
This theorem is referenced by:  cvmsss2  30069
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