Theorem hmeoqtop 20867

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> K = ( J qTop F ) )

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 20852	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop2 20334	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K e. Top )
4		eqid 2471	. . . 4 |- U. K = U. K
5	4	toptopon 20025	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
6	3, 5	sylib 201	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
7		eqid 2471	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7, 4	hmeof1o 20856	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9		f1ofo 5835	. . 3 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
10		forn 5809	. . 3 |- ( F : U. J -onto-> U. K -> ran F = U. K )
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ran F = U. K )
12		hmeoima 20857	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
13	6, 1, 11, 12	qtopomap 20810	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K = ( J qTop F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1452   e. wcel 1904   U.cuni 4190   ran crn 4840   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   qTop cqtop 15479   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317   Homeochmeo 20845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-qtop 15484  df-top 19998  df-topon 20000  df-cn 20320  df-hmeo 20847

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  20903