Theorem hmeoqtop 20402

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> K = ( J qTop F ) )

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 20387	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop2 19869	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K e. Top )
4		eqid 2457	. . . 4 |- U. K = U. K
5	4	toptopon 19561	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
6	3, 5	sylib 196	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
7		eqid 2457	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7, 4	hmeof1o 20391	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9		f1ofo 5829	. . 3 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
10		forn 5804	. . 3 |- ( F : U. J -onto-> U. K -> ran F = U. K )
11	8, 9, 10	3syl 20	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ran F = U. K )
12		hmeoima 20392	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
13	6, 1, 11, 12	qtopomap 20345	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K = ( J qTop F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   U.cuni 4251   ran crn 5009   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   qTop cqtop 14920   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Cn ccn 19852   Homeochmeo 20380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-qtop 14924  df-top 19526  df-topon 19529  df-cn 19855  df-hmeo 20382

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  20438