MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoqtop Structured version   Unicode version

Theorem hmeoqtop 20402
Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoqtop  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  K  =  ( J qTop  F )
)

Proof of Theorem hmeoqtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeocn 20387 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2 cntop2 19869 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  K  e.  Top )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
54toptopon 19561 . . 3  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
63, 5sylib 196 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7 eqid 2457 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87, 4hmeof1o 20391 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9 f1ofo 5829 . . 3  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -onto-> U. K )
10 forn 5804 . . 3  |-  ( F : U. J -onto-> U. K  ->  ran  F  =  U. K )
118, 9, 103syl 20 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  ran  F  = 
U. K )
12 hmeoima 20392 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
136, 1, 11, 12qtopomap 20345 1  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   U.cuni 4251   ran crn 5009   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   qTop cqtop 14920   Topctop 19521  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852   Homeochmeo 20380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-qtop 14924  df-top 19526  df-topon 19529  df-cn 19855  df-hmeo 20382
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  20438
  Copyright terms: Public domain W3C validator