Theorem hmeoqtop 19353

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> K = ( J qTop F ) )

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 19338	. . . 4 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop2 18850	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K e. Top )
4		eqid 2443	. . . 4 |- U. K = U. K
5	4	toptopon 18543	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
6	3, 5	sylib 196	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
7		eqid 2443	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7, 4	hmeof1o 19342	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9		f1ofo 5653	. . 3 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
10		forn 5628	. . 3 |- ( F : U. J -onto-> U. K -> ran F = U. K )
11	8, 9, 10	3syl 20	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ran F = U. K )
12		hmeoima 19343	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
13	6, 1, 11, 12	qtopomap 19296	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> K = ( J qTop F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756   U.cuni 4096   ran crn 4846   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   qTop cqtop 14446   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   Cn ccn 18833   Homeochmeo 19331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-qtop 14450  df-top 18508  df-topon 18511  df-cn 18836  df-hmeo 19333

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  19389