Theorem hmeoopn 15899

Description: Homeomorphisms preserve openness.

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoopn.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
hmeoopn	|- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> (A e. J <-> (F"A) e. K))

Proof of Theorem hmeoopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaeq2 4260	. . . . . 6 |- (x = A -> (F"x) = (F"A))
2	1	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = A -> ((F"x) e. K <-> (F"A) e. K))
3	2	rcla4v 2376	. . . 4 |- (A e. J -> (A.x e. J (F"x) e. K -> (F"A) e. K))
4		hmeocnb 10238	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. J (F"x) e. K))
5	4	imp 377	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) -> A.x e. J (F"x) e. K)
6	3, 5	syl5com 63	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) -> (A e. J -> (F"A) e. K))
7	6	adantrr 431	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> (A e. J -> (F"A) e. K))
8		imaeq2 4260	. . . . . . 7 |- (y = (F"A) -> (`'F"y) = (`'F"(F"A)))
9	8	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = (F"A) -> ((`'F"y) e. J <-> (`'F"(F"A)) e. J))
10	9	rcla4v 2376	. . . . 5 |- ((F"A) e. K -> (A.y e. K (`'F"y) e. J -> (`'F"(F"A)) e. J))
11		hmeocna 10237	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> A.y e. K (`'F"y) e. J))
12	11	imp 377	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) -> A.y e. K (`'F"y) e. J)
13	10, 12	syl5com 63	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) -> ((F"A) e. K -> (`'F"(F"A)) e. J))
14	13	adantrr 431	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> ((F"A) e. K -> (`'F"(F"A)) e. J))
15		f1imacnv 4656	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1->U.K /\ A C_ X) -> (`'F"(F"A)) = A)
16		hmeoopn.1	. . . . . . . . 9 |- X = U.J
17		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- U.K = U.K
18	16, 17	hmeomap 10236	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> F:X-1-1-onto->U.K))
19	18	imp 377	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) -> F:X-1-1-onto->U.K)
20		f1of1 4634	. . . . . . 7 |- (F:X-1-1-onto->U.K -> F:X-1-1->U.K)
21	19, 20	syl 12	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) -> F:X-1-1->U.K)
22	15, 21	sylan 497	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Homeo K)) /\ A C_ X) -> (`'F"(F"A)) = A)
23	22	anasss 488	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> (`'F"(F"A)) = A)
24	23	eleq1d 1963	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> ((`'F"(F"A)) e. J <-> A e. J))
25	14, 24	sylibd 219	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> ((F"A) e. K -> A e. J))
26	7, 25	impbid 574	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (F e. (J Homeo K) /\ A C_ X)) -> (A e. J <-> (F"A) e. K))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  -1-1->wf1 3995  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230

This theorem is referenced by:  hmeocld 15900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-homeo 10232

Copyright terms: Public domain