Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoimaf1o Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hmeoimaf1o 20797
 Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoimaf1o.1
Assertion
Ref Expression
hmeoimaf1o
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hmeoimaf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeoimaf1o.1 . 2
2 hmeoima 20792 . 2
3 hmeocn 20787 . . 3
4 cnima 20293 . . 3
53, 4sylan 474 . 2
6 eqid 2453 . . . . . . 7
7 eqid 2453 . . . . . . 7
86, 7hmeof1o 20791 . . . . . 6
98adantr 467 . . . . 5
10 f1of1 5818 . . . . 5
119, 10syl 17 . . . 4
12 elssuni 4230 . . . . 5
1312ad2antrl 735 . . . 4
14 cnvimass 5191 . . . . 5
15 f1dm 5788 . . . . . 6
1611, 15syl 17 . . . . 5
1714, 16syl5sseq 3482 . . . 4
18 f1imaeq 6171 . . . 4
1911, 13, 17, 18syl12anc 1267 . . 3
20 f1ofo 5826 . . . . . . 7
219, 20syl 17 . . . . . 6
22 elssuni 4230 . . . . . . 7
2322ad2antll 736 . . . . . 6
24 foimacnv 5836 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 667 . . . . 5
2625eqeq2d 2463 . . . 4
27 eqcom 2460 . . . 4
2826, 27syl6bb 265 . . 3
2919, 28bitr3d 259 . 2
301, 2, 5, 29f1o2d 6526 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wss 3406  cuni 4201   cmpt 4464  ccnv 4836   cdm 4837  cima 4840  wf1 5582  wfo 5583  wf1o 5584  (class class class)co 6295   ccn 20252  chmeo 20780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479  df-top 19933  df-topon 19935  df-cn 20255  df-hmeo 20782 This theorem is referenced by:  hmphen  20812
 Copyright terms: Public domain W3C validator