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Theorem hmeoimaf1o 20797
Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoimaf1o.1  |-  G  =  ( x  e.  J  |->  ( F " x
) )
Assertion
Ref Expression
hmeoimaf1o  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  G : J
-1-1-onto-> K )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeoimaf1o.1 . 2  |-  G  =  ( x  e.  J  |->  ( F " x
) )
2 hmeoima 20792 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
3 hmeocn 20787 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4 cnima 20293 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
53, 4sylan 474 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
6 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
7 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
86, 7hmeof1o 20791 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
98adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10 f1of1 5818 . . . . 5  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -1-1-> U. K )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -1-1-> U. K )
12 elssuni 4230 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
1312ad2antrl 735 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  x  C_  U. J
)
14 cnvimass 5191 . . . . 5  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 f1dm 5788 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -1-1-> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
1611, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  dom  F  = 
U. J )
1714, 16syl5sseq 3482 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( `' F " y )  C_  U. J )
18 f1imaeq 6171 . . . 4  |-  ( ( F : U. J -1-1-> U. K  /\  ( x 
C_  U. J  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J ) )  ->  ( ( F
" x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  x  =  ( `' F " y ) ) )
1911, 13, 17, 18syl12anc 1267 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  x  =  ( `' F " y ) ) )
20 f1ofo 5826 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -onto-> U. K )
219, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -onto-> U. K )
22 elssuni 4230 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_ 
U. K )
2322ad2antll 736 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  y  C_  U. K )
24 foimacnv 5836 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J -onto-> U. K  /\  y  C_ 
U. K )  -> 
( F " ( `' F " y ) )  =  y )
2521, 23, 24syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  y )
2625eqeq2d 2463 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  ( F "
x )  =  y ) )
27 eqcom 2460 . . . 4  |-  ( ( F " x )  =  y  <->  y  =  ( F " x ) )
2826, 27syl6bb 265 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  y  =  ( F " x ) ) )
2919, 28bitr3d 259 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J
Homeo K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x  =  ( `' F " y )  <->  y  =  ( F " x ) ) )
301, 2, 5, 29f1o2d 6526 1  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  G : J
-1-1-onto-> K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    C_ wss 3406   U.cuni 4201    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   -1-1->wf1 5582   -onto->wfo 5583   -1-1-onto->wf1o 5584  (class class class)co 6295    Cn ccn 20252   Homeochmeo 20780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479  df-top 19933  df-topon 19935  df-cn 20255  df-hmeo 20782
This theorem is referenced by:  hmphen  20812
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