MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocnv Unicode version

Theorem hmeocnv 17747
Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocnv  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Homeo  J ) )

Proof of Theorem hmeocnv
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 17746 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2 hmeocn 17745 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 17264 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
6 frel 5553 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Rel  F )
72, 5, 63syl 19 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  Rel  F )
8 dfrel2 5280 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
97, 8sylib 189 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' `' F  =  F )
109, 2eqeltrd 2478 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' `' F  e.  ( J  Cn  K ) )
11 ishmeo 17744 . 2  |-  ( `' F  e.  ( K 
Homeo  J )  <->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  `' `' F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
121, 10, 11sylanbrc 646 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Homeo  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   Rel wrel 4842   -->wf 5409  (class class class)co 6040    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738
This theorem is referenced by:  hmeocnvb  17759  hmphsym  17767  xpstopnlem2  17796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-top 16918  df-topon 16921  df-cn 17245  df-hmeo 17740
  Copyright terms: Public domain W3C validator