MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocnv Structured version   Unicode version

Theorem hmeocnv 19333
Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocnv  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K Homeo J ) )

Proof of Theorem hmeocnv
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 19332 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2 hmeocn 19331 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2441 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 18848 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
6 frel 5560 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Rel  F )
72, 5, 63syl 20 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  Rel  F )
8 dfrel2 5286 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
97, 8sylib 196 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' `' F  =  F )
109, 2eqeltrd 2515 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' `' F  e.  ( J  Cn  K ) )
11 ishmeo 19330 . 2  |-  ( `' F  e.  ( K
Homeo J )  <->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  `' `' F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
121, 10, 11sylanbrc 664 1  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K Homeo J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4089   `'ccnv 4837   Rel wrel 4843   -->wf 5412  (class class class)co 6089    Cn ccn 18826   Homeochmeo 19324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-map 7214  df-top 18501  df-topon 18504  df-cn 18829  df-hmeo 19326
This theorem is referenced by:  hmeocnvb  19345  hmphsym  19353  xpstopnlem2  19382
  Copyright terms: Public domain W3C validator