MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocn Structured version   Unicode version

Theorem hmeocn 20551
Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocn  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem hmeocn
StepHypRef Expression
1 ishmeo 20550 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
21simplbi 458 1  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   `'ccnv 4821  (class class class)co 6277    Cn ccn 20016   Homeochmeo 20544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-top 19689  df-topon 19692  df-cn 20019  df-hmeo 20546
This theorem is referenced by:  hmeocnv  20553  hmeof1o2  20554  hmeof1o  20555  hmeoopn  20557  hmeocld  20558  hmeocls  20559  hmeontr  20560  hmeoimaf1o  20561  hmeores  20562  hmeoco  20563  hmeoqtop  20566  hmphen  20576  haushmphlem  20578  cmphmph  20579  conhmph  20580  reghmph  20584  nrmhmph  20585  txhmeo  20594  xpstopnlem1  20600  tgpconcompeqg  20900  tgpconcomp  20901  qustgpopn  20908  mbfimaopnlem  22352  mndpluscn  28347  hmeocldb  30549
  Copyright terms: Public domain W3C validator