MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocn Structured version   Unicode version

Theorem hmeocn 19475
Description: A homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocn  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem hmeocn
StepHypRef Expression
1 ishmeo 19474 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   `'ccnv 4950  (class class class)co 6203    Cn ccn 18970   Homeochmeo 19468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-top 18645  df-topon 18648  df-cn 18973  df-hmeo 19470
This theorem is referenced by:  hmeocnv  19477  hmeof1o2  19478  hmeof1o  19479  hmeoopn  19481  hmeocld  19482  hmeocls  19483  hmeontr  19484  hmeoimaf1o  19485  hmeores  19486  hmeoco  19487  hmeoqtop  19490  hmphen  19500  haushmphlem  19502  cmphmph  19503  conhmph  19504  reghmph  19508  nrmhmph  19509  txhmeo  19518  xpstopnlem1  19524  tgpconcompeqg  19824  tgpconcomp  19825  divstgpopn  19832  mbfimaopnlem  21276  mndpluscn  26524  hmeocldb  28700
  Copyright terms: Public domain W3C validator