Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeoclda Structured version   Unicode version

Theorem hmeoclda 30561
Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
hmeoclda  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J Homeo K ) )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )

Proof of Theorem hmeoclda
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 20554 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
213ad2ant3 1020 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J Homeo K ) )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
3 imacnvcnv 5288 . . 3  |-  ( `' `' F " S )  =  ( F " S )
4 cnclima 20062 . . 3  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( `' `' F " S )  e.  (
Clsd `  K )
)
53, 4syl5eqelr 2495 . 2  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )
62, 5sylan 469 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J Homeo K ) )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   `'ccnv 4822   "cima 4826   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Topctop 19686   Clsdccld 19809    Cn ccn 20018   Homeochmeo 20546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-top 19691  df-topon 19694  df-cld 19812  df-cn 20021  df-hmeo 20548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator