Theorem hmdmadj 26975

Description: Every Hermitian operator has an adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmdmadj	|- ( T e. HrmOp -> T e. dom adjh )

Proof of Theorem hmdmadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 26909	. . . 4 |- ( T e. HrmOp -> T : ~H --> ~H )
2		hon0 26828	. . . 4 |- ( T : ~H --> ~H -> -. T = (/) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( T e. HrmOp -> -. T = (/) )
4		hmopadj 26974	. . . 4 |- ( T e. HrmOp -> ( adjh ` T ) = T )
5	4	eqeq1d 2384	. . 3 |- ( T e. HrmOp -> ( ( adjh ` T ) = (/) <-> T = (/) ) )
6	3, 5	mtbird 299	. 2 |- ( T e. HrmOp -> -. ( adjh ` T ) = (/) )
7		ndmfv 5798	. 2 |- ( -. T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) = (/) )
8	6, 7	nsyl2 127	1 |- ( T e. HrmOp -> T e. dom adjh )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1399   e. wcel 1826   (/)c0 3711   dom cdm 4913   -->wf 5492   ` cfv 5496   ~Hchil 25953   HrmOpcho 25984   adjhcado 25989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-hvsub 26005  df-hmop 26879  df-adjh 26884

This theorem is referenced by: (None)