Theorem hmdmadj 25495

Description: Every Hermitian operator has an adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmdmadj	|- ( T e. HrmOp -> T e. dom adjh )

Proof of Theorem hmdmadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopf 25429	. . . 4 |- ( T e. HrmOp -> T : ~H --> ~H )
2		hon0 25348	. . . 4 |- ( T : ~H --> ~H -> -. T = (/) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( T e. HrmOp -> -. T = (/) )
4		hmopadj 25494	. . . 4 |- ( T e. HrmOp -> ( adjh ` T ) = T )
5	4	eqeq1d 2456	. . 3 |- ( T e. HrmOp -> ( ( adjh ` T ) = (/) <-> T = (/) ) )
6	3, 5	mtbird 301	. 2 |- ( T e. HrmOp -> -. ( adjh ` T ) = (/) )
7		ndmfv 5822	. 2 |- ( -. T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) = (/) )
8	6, 7	nsyl2 127	1 |- ( T e. HrmOp -> T e. dom adjh )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   (/)c0 3744   dom cdm 4947   -->wf 5521   ` cfv 5525   ~Hchil 24472   HrmOpcho 24503   adjhcado 24508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-hilex 24552  ax-hfvadd 24553  ax-hvcom 24554  ax-hvass 24555  ax-hv0cl 24556  ax-hvaddid 24557  ax-hfvmul 24558  ax-hvmulid 24559  ax-hvdistr2 24562  ax-hvmul0 24563  ax-hfi 24632  ax-his1 24635  ax-his2 24636  ax-his3 24637  ax-his4 24638

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-2 10490  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-hvsub 24524  df-hmop 25399  df-adjh 25404

This theorem is referenced by: (None)