Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Unicode version

Theorem hlrelat3 33056
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 33046. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
hlrelat3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlrelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
hlrelat3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    .< , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hints:    C( p)    .\/ ( p)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlrelat3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlrelat3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
4 hlrelat3.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
51, 2, 3, 4hlrelat1 33044 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
65imp 429 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )
7 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
8 simp1l1 1081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
9 simp1l2 1082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
10 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A
)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
131, 2, 11, 12, 4cvr1 33054 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
157, 14mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
16 simp1l 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
17 simp1r 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<  Y )
182, 3pltle 15131 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )
1916, 17, 18sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
20 simp3r 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
21 hllat 33008 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
228, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
231, 4atbase 32934 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2410, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B
)
25 simp1l3 1083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
261, 2, 11latjle12 15232 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
.<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2819, 20, 27mpbi2and 912 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  .<_  Y )
2915, 28jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X C ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
30293exp 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  -> 
( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) ) )
3130reximdvai 2826 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) )
326, 31mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   ltcplt 15111   joincjn 15114   Latclat 15215    <o ccvr 32907   Atomscatm 32908   HLchlt 32995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996
This theorem is referenced by:  cvrval3  33057  athgt  33100  llnle  33162  lplnle  33184  llncvrlpln2  33201  lplncvrlvol2  33259  lhprelat3N  33684
  Copyright terms: Public domain W3C validator