Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Unicode version

Theorem hlrelat3 32697
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 32687. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
hlrelat3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlrelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
hlrelat3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    .< , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hints:    C( p)    .\/ ( p)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlrelat3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlrelat3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
4 hlrelat3.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
51, 2, 3, 4hlrelat1 32685 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
65imp 430 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )
7 simp3l 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
8 simp1l1 1098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
9 simp1l2 1099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
10 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A
)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
131, 2, 11, 12, 4cvr1 32695 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
157, 14mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
16 simp1l 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
17 simp1r 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<  Y )
182, 3pltle 16162 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )
1916, 17, 18sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
20 simp3r 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
21 hllat 32649 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
228, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
231, 4atbase 32575 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2410, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B
)
25 simp1l3 1100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
261, 2, 11latjle12 16263 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
.<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2819, 20, 27mpbi2and 929 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  .<_  Y )
2915, 28jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X C ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
30293exp 1204 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  -> 
( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) ) )
3130reximdvai 2904 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) )
326, 31mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15160   ltcplt 16141   joincjn 16144   Latclat 16246    <o ccvr 32548   Atomscatm 32549   HLchlt 32636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16128  df-poset 16146  df-plt 16159  df-lub 16175  df-glb 16176  df-join 16177  df-meet 16178  df-p0 16240  df-lat 16247  df-clat 16309  df-oposet 32462  df-ol 32464  df-oml 32465  df-covers 32552  df-ats 32553  df-atl 32584  df-cvlat 32608  df-hlat 32637
This theorem is referenced by:  cvrval3  32698  athgt  32741  llnle  32803  lplnle  32825  llncvrlpln2  32842  lplncvrlvol2  32900  lhprelat3N  33325
  Copyright terms: Public domain W3C validator