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Theorem hlrelat2 32641
Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 25592 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem hlrelat2
StepHypRef Expression
1 hllat 32602 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 hlrelat2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 hlrelat2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
5 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
62, 3, 4, 5latnlemlt 15237 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <-> 
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X ) )
71, 6syl3an1 1244 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <-> 
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X ) )
8 simp1 981 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
92, 5latmcl 15205 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
101, 9syl3an1 1244 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
11 simp2 982 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
13 hlrelat2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
142, 3, 4, 12, 13hlrelat 32640 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) X )  ->  E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
1514ex 434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X  ->  E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) ) )
168, 10, 11, 15syl3anc 1211 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) X  ->  E. p  e.  A  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  X ) ) )
17 simpl1 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
1910adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X
( meet `  K ) Y )  e.  B
)
202, 13atbase 32528 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2120adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
22 simpl2 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  X  e.  B )
232, 3, 12latjle12 15215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K ) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
2418, 19, 21, 22, 23syl13anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) 
.<_  X  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
25 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) Y ) 
.<_  X  /\  p  .<_  X )  ->  p  .<_  X )
2624, 25syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X  ->  p  .<_  X ) )
2726adantld 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  p  .<_  X ) )
28 simpl3 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  Y  e.  B )
292, 3, 5latlem12 15231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y ) ) )
3018, 21, 22, 28, 29syl13anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y ) ) )
3130notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  -.  p  .<_  ( X ( meet `  K ) Y ) ) )
322, 3, 4, 12latnle 15238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3318, 19, 21, 32syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  p  .<_  ( X (
meet `  K ) Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3431, 33bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3534, 24anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X ) )  <-> 
( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  X ) ) )
36 pm3.21 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( p 
.<_  Y  ->  ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
37 orcom 387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  \/ 
-.  p  .<_  X )  <-> 
( -.  p  .<_  X  \/  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
38 pm4.55 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( -.  ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  \/  -.  p  .<_  X ) )
39 imor 412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  <-> 
( -.  p  .<_  X  \/  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
4037, 38, 393bitr4ri 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  <->  -.  ( -.  ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X ) )
4136, 40sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( p 
.<_  Y  ->  -.  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X ) )
4241con2i 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  Y )
4342adantrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X ) )  ->  -.  p  .<_  Y )
4435, 43syl6bir 229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  Y ) )
4527, 44jcad 530 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
4645reximdva 2818 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
4716, 46syld 44 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) X  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
487, 47sylbid 215 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
492, 3lattr 15209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
5018, 21, 22, 28, 49syl13anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
5150exp4b 602 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  A  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5251com34 83 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  A  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5352com23 78 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( p  e.  A  ->  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5453ralrimdv 2795 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
55 iman 424 . . . . . 6  |-  ( ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y )  <->  -.  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5655ralbii 2729 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
57 ralnex 2715 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y )  <->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5856, 57bitri 249 . . . 4  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  <->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5954, 58syl6ib 226 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
6059con2d 115 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y )  ->  -.  X  .<_  Y ) )
6148, 60impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   lecple 14228   ltcplt 15094   joincjn 15097   meetcmee 15098   Latclat 15198   Atomscatm 32502   HLchlt 32589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-poset 15099  df-plt 15111  df-lub 15127  df-glb 15128  df-join 15129  df-meet 15130  df-p0 15192  df-lat 15199  df-clat 15261  df-oposet 32415  df-ol 32417  df-oml 32418  df-covers 32505  df-ats 32506  df-atl 32537  df-cvlat 32561  df-hlat 32590
This theorem is referenced by:  lhpj1  33260
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