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Theorem hlrelat2 29885
Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 23821 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem hlrelat2
StepHypRef Expression
1 hllat 29846 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 hlrelat2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 hlrelat2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
62, 3, 4, 5latnlemlt 14468 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <-> 
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X ) )
71, 6syl3an1 1217 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <-> 
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X ) )
8 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
92, 5latmcl 14435 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
101, 9syl3an1 1217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
11 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
13 hlrelat2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
142, 3, 4, 12, 13hlrelat 29884 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) X )  ->  E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
1514ex 424 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X  ->  E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) ) )
168, 10, 11, 15syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) X  ->  E. p  e.  A  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  X ) ) )
17 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
1910adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X
( meet `  K ) Y )  e.  B
)
202, 13atbase 29772 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2120adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
22 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  X  e.  B )
232, 3, 12latjle12 14446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K ) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
2418, 19, 21, 22, 23syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) 
.<_  X  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
25 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) Y ) 
.<_  X  /\  p  .<_  X )  ->  p  .<_  X )
2624, 25syl6bir 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X  ->  p  .<_  X ) )
2726adantld 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  p  .<_  X ) )
28 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  Y  e.  B )
292, 3, 5latlem12 14462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y ) ) )
3018, 21, 22, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y ) ) )
3130notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  -.  p  .<_  ( X ( meet `  K ) Y ) ) )
322, 3, 4, 12latnle 14469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3318, 19, 21, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  p  .<_  ( X (
meet `  K ) Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3431, 33bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3534, 24anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X ) )  <-> 
( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  X ) ) )
36 pm3.21 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( p 
.<_  Y  ->  ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
37 orcom 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  \/ 
-.  p  .<_  X )  <-> 
( -.  p  .<_  X  \/  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
38 pm4.55 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( -.  ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  \/  -.  p  .<_  X ) )
39 imor 402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  <-> 
( -.  p  .<_  X  \/  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
4037, 38, 393bitr4ri 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  <->  -.  ( -.  ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X ) )
4136, 40sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( p 
.<_  Y  ->  -.  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X ) )
4241con2i 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  Y )
4342adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X ) )  ->  -.  p  .<_  Y )
4435, 43syl6bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  Y ) )
4527, 44jcad 520 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
4645reximdva 2778 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
4716, 46syld 42 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) X  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
487, 47sylbid 207 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
492, 3lattr 14440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
5018, 21, 22, 28, 49syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
5150exp4b 591 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  A  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5251com34 79 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  A  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5352com23 74 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( p  e.  A  ->  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5453ralrimdv 2755 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
55 iman 414 . . . . . 6  |-  ( ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y )  <->  -.  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5655ralbii 2690 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
57 ralnex 2676 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y )  <->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5856, 57bitri 241 . . . 4  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  <->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5954, 58syl6ib 218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
6059con2d 109 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y )  ->  -.  X  .<_  Y ) )
6148, 60impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   ltcplt 14353   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833
This theorem is referenced by:  lhpj1  30504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834
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