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Theorem hlrelat2 35524
Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 27482 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p

Proof of Theorem hlrelat2
StepHypRef Expression
1 hllat 35485 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 hlrelat2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 hlrelat2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
62, 3, 4, 5latnlemlt 15913 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <-> 
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X ) )
71, 6syl3an1 1259 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <-> 
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X ) )
8 simp1 994 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
92, 5latmcl 15881 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
101, 9syl3an1 1259 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
11 simp2 995 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
13 hlrelat2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
142, 3, 4, 12, 13hlrelat 35523 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) X )  ->  E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
1514ex 432 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) X  ->  E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) ) )
168, 10, 11, 15syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) X  ->  E. p  e.  A  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  X ) ) )
17 simpl1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  HL )
1817, 1syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
1910adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X
( meet `  K ) Y )  e.  B
)
202, 13atbase 35411 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2120adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
22 simpl2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  X  e.  B )
232, 3, 12latjle12 15891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y )  e.  B  /\  p  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( ( X (
meet `  K ) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
2418, 19, 21, 22, 23syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) 
.<_  X  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X ) )
25 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X ( meet `  K ) Y ) 
.<_  X  /\  p  .<_  X )  ->  p  .<_  X )
2624, 25syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X  ->  p  .<_  X ) )
2726adantld 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  p  .<_  X ) )
28 simpl3 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  Y  e.  B )
292, 3, 5latlem12 15907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y ) ) )
3018, 21, 22, 28, 29syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y ) ) )
3130notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  -.  p  .<_  ( X ( meet `  K ) Y ) ) )
322, 3, 4, 12latnle 15914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( -.  p  .<_  ( X ( meet `  K
) Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3318, 19, 21, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  p  .<_  ( X (
meet `  K ) Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3431, 33bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X
( meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p ) ) )
3534, 24anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X ) )  <-> 
( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  /\  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  X ) ) )
36 pm3.21 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( p 
.<_  Y  ->  ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
37 orcom 385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  \/ 
-.  p  .<_  X )  <-> 
( -.  p  .<_  X  \/  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
38 pm4.55 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( -.  ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X )  <->  ( ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  \/  -.  p  .<_  X ) )
39 imor 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  <-> 
( -.  p  .<_  X  \/  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
4037, 38, 393bitr4ri 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .<_  X  ->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  <->  -.  ( -.  ( p 
.<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X ) )
4136, 40sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( p 
.<_  Y  ->  -.  ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X ) )
4241con2i 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  p  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  Y )
4342adantrl 713 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y )  .<_  X  /\  p  .<_  X ) )  ->  -.  p  .<_  Y )
4435, 43syl6bir 229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  Y ) )
4527, 44jcad 531 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X ( meet `  K ) Y ) ( lt `  K
) ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) p )  .<_  X )  ->  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
4645reximdva 2929 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( ( X ( meet `  K
) Y ) ( lt `  K ) ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
p )  .<_  X )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
4716, 46syld 44 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( lt
`  K ) X  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
487, 47sylbid 215 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
492, 3lattr 15885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
5018, 21, 22, 28, 49syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
5150exp4b 605 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  A  ->  ( p  .<_  X  -> 
( X  .<_  Y  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5251com34 83 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( p  e.  A  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5352com23 78 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( p  e.  A  ->  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) ) )
5453ralrimdv 2870 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  A. p  e.  A  ( p  .<_  X  ->  p  .<_  Y ) ) )
55 iman 422 . . . . . 6  |-  ( ( p  .<_  X  ->  p 
.<_  Y )  <->  -.  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5655ralbii 2885 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  <->  A. p  e.  A  -.  (
p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
57 ralnex 2900 . . . . 5  |-  ( A. p  e.  A  -.  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y )  <->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5856, 57bitri 249 . . . 4  |-  ( A. p  e.  A  (
p  .<_  X  ->  p  .<_  Y )  <->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) )
5954, 58syl6ib 226 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  ->  -.  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
6059con2d 115 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y )  ->  -.  X  .<_  Y ) )
6148, 60impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  X  .<_  Y  <->  E. p  e.  A  ( p  .<_  X  /\  -.  p  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   ltcplt 15769   joincjn 15772   meetcmee 15773   Latclat 15874   Atomscatm 35385   HLchlt 35472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473
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