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Theorem hlpasch 24798
Description: An application of the axiom of Pasch for half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hlpasch.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
hlpasch.i  |-  I  =  (Itv `  G )
hlpasch.k  |-  K  =  (hlG `  G )
hlpasch.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
hlpasch.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
hlpasch.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
hlpasch.3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
hlpasch.4  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
hlpasch.5  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
hlpasch.6  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
hlpasch.7  |-  ( ph  ->  C ( K `  B ) D )
hlpasch.8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X I C ) )
Assertion
Ref Expression
hlpasch  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
Distinct variable groups:    A, e    B, e    C, e    D, e   
e, G    e, I    e, K    P, e    e, X    ph, e

Proof of Theorem hlpasch
StepHypRef Expression
1 hlpasch.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 hlpasch.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
4 hlpasch.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  G  e. TarskiG )
6 hlpasch.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  D  e.  P )
8 hlpasch.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
98adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  X  e.  P )
10 hlpasch.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1110adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  C  e.  P )
12 hlpasch.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1312adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  B  e.  P )
14 hlpasch.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1514adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  A  e.  P )
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
17 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  C  e.  ( B I D ) )
181, 16, 2, 5, 13, 11, 7, 17tgbtwncom 24532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  C  e.  ( D I B ) )
19 hlpasch.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X I C ) )
2019adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  A  e.  ( X I C ) )
211, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 20outpasch 24797 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )
22 hlpasch.k . . . . . . 7  |-  K  =  (hlG `  G )
23 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  e  e.  P )
2413ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  B  e.  P )
2515ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  A  e.  P )
265ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
27 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  A  e.  ( B I e ) )
281, 16, 2, 26, 24, 25, 23, 27tgbtwncom 24532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  A  e.  ( e I B ) )
2926adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  G  e. TarskiG )
3024adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  e.  P )
3125adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  A  e.  P )
3227adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  A  e.  ( B I e ) )
33 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  e  =  B )
3433oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  ( B I e )  =  ( B I B ) )
3532, 34eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  A  e.  ( B I B ) )
361, 16, 2, 29, 30, 31, 35axtgbtwnid 24514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  =  A )
3736eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  A  =  B )
38 hlpasch.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
3938ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  A  =/=  B )
4039adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  A  =/=  B )
4140neneqd 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  /\  e  =  B )  ->  -.  A  =  B )
4237, 41pm2.65da 580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  -.  e  =  B )
4342neqned 2631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  e  =/=  B )
441, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 25, 28, 43, 39btwnhl2 24658 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  A
( K `  B
) e )
457ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  D  e.  P )
469ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  X  e.  P )
47 simprl 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  e  e.  ( D I X ) )
481, 16, 2, 26, 45, 23, 46, 47tgbtwncom 24532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  e  e.  ( X I D ) )
4944, 48jca 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  /\  ( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) ) )  ->  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
5049ex 436 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  /\  e  e.  P )  ->  (
( e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) )  ->  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) ) )
5150reximdva 2862 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  ( E. e  e.  P  (
e  e.  ( D I X )  /\  A  e.  ( B I e ) )  ->  E. e  e.  P  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) ) )
5221, 51mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  ( B I D ) )  ->  E. e  e.  P  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
536ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  D  e.  P )
5453adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  D  e.  P )
55 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =  B )  /\  e  =  D )  ->  e  =  D )
5655breq2d 4414 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =  B )  /\  e  =  D )  ->  ( A ( K `  B ) e  <->  A ( K `  B ) D ) )
5755eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =  B )  /\  e  =  D )  ->  (
e  e.  ( X I D )  <->  D  e.  ( X I D ) ) )
5856, 57anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =  B )  /\  e  =  D )  ->  (
( A ( K `
 B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) )  <->  ( A ( K `  B ) D  /\  D  e.  ( X I D ) ) ) )
5914ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  A  e.  P )
6059adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  A  e.  P )
6112ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  B  e.  P )
6261adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  B  e.  P )
634ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  G  e. TarskiG )
6463adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  G  e. TarskiG )
65 hlpasch.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C ( K `  B ) D )
661, 2, 22, 10, 6, 12, 4, 65hlcomd 24649 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D ( K `  B ) C )
6766ad3antrrr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  D ( K `  B ) C )
6810adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  C  e.  P )
6968ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  C  e.  P )
7019adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  A  e.  ( X I C ) )
7170ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  A  e.  ( X I C ) )
72 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  X  =  B )
7372oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  ( X I C )  =  ( B I C ) )
7471, 73eleqtrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  A  e.  ( B I C ) )
751, 2, 22, 10, 6, 12, 4ishlg 24647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ( K `
 B ) D  <-> 
( C  =/=  B  /\  D  =/=  B  /\  ( C  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I C ) ) ) ) )
7665, 75mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  =/=  B  /\  D  =/=  B  /\  ( C  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I C ) ) ) )
7776simp1d 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =/=  B )
7877ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  C  =/=  B )
7938ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  A  =/=  B )
8079adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  A  =/=  B )
811, 2, 22, 54, 69, 62, 64, 60, 74, 78, 80hlbtwn 24656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  ( D ( K `
 B ) C  <-> 
D ( K `  B ) A ) )
8267, 81mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  D ( K `  B ) A )
831, 2, 22, 54, 60, 62, 64, 82hlcomd 24649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  A ( K `  B ) D )
848ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  X  e.  P )
8584adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  X  e.  P )
861, 16, 2, 64, 85, 54tgbtwntriv2 24531 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  D  e.  ( X I D ) )
8783, 86jca 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  ( A ( K `
 B ) D  /\  D  e.  ( X I D ) ) )
8854, 58, 87rspcedvd 3155 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =  B )  ->  E. e  e.  P  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
8984ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  A ( K `  B ) X )  ->  X  e.  P )
90 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  e  =  X )  ->  e  =  X )
9190breq2d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  e  =  X )  ->  ( A ( K `
 B ) e  <-> 
A ( K `  B ) X ) )
9290eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  e  =  X )  ->  ( e  e.  ( X I D )  <-> 
X  e.  ( X I D ) ) )
9391, 92anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  e  =  X )  ->  ( ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) )  <->  ( A
( K `  B
) X  /\  X  e.  ( X I D ) ) ) )
9493ad4ant14 1235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/= 
B )  /\  A
( K `  B
) X )  /\  e  =  X )  ->  ( ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) )  <->  ( A
( K `  B
) X  /\  X  e.  ( X I D ) ) ) )
95 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  A ( K `  B ) X )  ->  A
( K `  B
) X )
961, 16, 2, 63, 84, 53tgbtwntriv1 24535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  X  e.  ( X I D ) )
9796ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  A ( K `  B ) X )  ->  X  e.  ( X I D ) )
9895, 97jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  A ( K `  B ) X )  ->  ( A ( K `  B ) X  /\  X  e.  ( X I D ) ) )
9989, 94, 98rspcedvd 3155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  A ( K `  B ) X )  ->  E. e  e.  P  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
10053ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  D  e.  P )
101 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/= 
B )  /\  B  e.  ( X I A ) )  /\  e  =  D )  ->  e  =  D )
102101breq2d 4414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/= 
B )  /\  B  e.  ( X I A ) )  /\  e  =  D )  ->  ( A ( K `  B ) e  <->  A ( K `  B ) D ) )
103101eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/= 
B )  /\  B  e.  ( X I A ) )  /\  e  =  D )  ->  (
e  e.  ( X I D )  <->  D  e.  ( X I D ) ) )
104102, 103anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/= 
B )  /\  B  e.  ( X I A ) )  /\  e  =  D )  ->  (
( A ( K `
 B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) )  <->  ( A ( K `  B ) D  /\  D  e.  ( X I D ) ) ) )
10579ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  A  =/=  B )
1061, 2, 22, 10, 6, 12, 4, 65hlne2 24651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  =/=  B )
107106ad4antr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  D  =/=  B )
10863ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  G  e. TarskiG )
10961ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  B  e.  P )
11059ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  A  e.  P )
11168ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  C  e.  P )
112111adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  C  e.  P )
11384ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  X  e.  P )
114 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  B  e.  ( X I A ) )
11570ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  A  e.  ( X I C ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  A  e.  ( X I C ) )
1171, 16, 2, 108, 113, 109, 110, 112, 114, 116tgbtwnexch3 24538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  A  e.  ( B I C ) )
118 simp-4r 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  D  e.  ( B I C ) )
1191, 2, 108, 109, 110, 100, 112, 117, 118tgbtwnconn3 24622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  ( A  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I A ) ) )
120105, 107, 1193jca 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  ( A  =/=  B  /\  D  =/= 
B  /\  ( A  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I A ) ) ) )
1211, 2, 22, 14, 6, 12, 4ishlg 24647 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ( K `
 B ) D  <-> 
( A  =/=  B  /\  D  =/=  B  /\  ( A  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I A ) ) ) ) )
122121ad4antr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  ( A
( K `  B
) D  <->  ( A  =/=  B  /\  D  =/= 
B  /\  ( A  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I A ) ) ) ) )
123120, 122mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  A ( K `  B ) D )
1241, 16, 2, 108, 113, 100tgbtwntriv2 24531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  D  e.  ( X I D ) )
125123, 124jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  ( A
( K `  B
) D  /\  D  e.  ( X I D ) ) )
126100, 104, 125rspcedvd 3155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  B  e.  ( X I A ) )  ->  E. e  e.  P  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
1278ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  X  e.  P )
12812ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  B  e.  P )
12914ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  A  e.  P )
1304ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  G  e. TarskiG )
131 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  X  =/=  B )
132131neneqd 2629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  -.  X  =  B
)
13363adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  G  e. TarskiG )
134133adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
135127adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  X  e.  P )
136129adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  A  e.  P )
137115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  A  e.  ( X I C ) )
138 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  X  =  C )
139138oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  ( X I X )  =  ( X I C ) )
140137, 139eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  A  e.  ( X I X ) )
1411, 16, 2, 134, 135, 136, 140axtgbtwnid 24514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  X  =  A )
142141olcd 395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =  C )  ->  ( B  e.  ( X
(LineG `  G ) A )  \/  X  =  A ) )
143133adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
144128adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  B  e.  P )
145111adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  C  e.  P )
146127adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  X  e.  P )
147129adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  A  e.  P )
148 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  X  =/=  C )
149148necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  C  =/=  X )
150149neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  -.  C  =  X )
15153adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  D  e.  P )
152106ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  D  =/=  B )
153 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )
1541, 2, 3, 133, 151, 128, 127, 152, 153lncom 24667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  X  e.  ( D
(LineG `  G ) B ) )
15577necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  B  =/=  C )
156155ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  B  =/=  C )
15766ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  D ( K `  B ) C )
1581, 2, 22, 151, 111, 128, 133, 3, 157hlln 24652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  D  e.  ( C
(LineG `  G ) B ) )
1591, 2, 3, 133, 128, 111, 151, 156, 158lncom 24667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  D  e.  ( B
(LineG `  G ) C ) )
160159orcd 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( D  e.  ( B (LineG `  G
) C )  \/  B  =  C ) )
1611, 2, 3, 133, 127, 151, 128, 111, 154, 160coltr 24692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( X  e.  ( B (LineG `  G
) C )  \/  B  =  C ) )
1621, 3, 2, 133, 128, 111, 127, 161colrot1 24604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( B  e.  ( C (LineG `  G
) X )  \/  C  =  X ) )
163162orcomd 390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( C  =  X  \/  B  e.  ( C (LineG `  G
) X ) ) )
164163adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  ( C  =  X  \/  B  e.  ( C (LineG `  G ) X ) ) )
165164ord 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  ( -.  C  =  X  ->  B  e.  ( C (LineG `  G ) X ) ) )
166150, 165mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  B  e.  ( C (LineG `  G
) X ) )
1671, 3, 2, 133, 127, 129, 111, 115btwncolg3 24602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( C  e.  ( X (LineG `  G
) A )  \/  X  =  A ) )
168167adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  ( C  e.  ( X (LineG `  G ) A )  \/  X  =  A ) )
1691, 2, 3, 143, 144, 145, 146, 147, 166, 168coltr 24692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )  /\  X  =/=  B
)  /\  X  =/=  C )  ->  ( B  e.  ( X (LineG `  G ) A )  \/  X  =  A ) )
170142, 169pm2.61dane 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( B  e.  ( X (LineG `  G
) A )  \/  X  =  A ) )
1711, 3, 2, 133, 127, 129, 128, 170colrot2 24605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( A  e.  ( B (LineG `  G
) X )  \/  B  =  X ) )
1721, 3, 2, 133, 128, 127, 129, 171colcom 24603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( A  e.  ( X (LineG `  G
) B )  \/  X  =  B ) )
173172orcomd 390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( X  =  B  \/  A  e.  ( X (LineG `  G
) B ) ) )
174173ord 379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( -.  X  =  B  ->  A  e.  ( X (LineG `  G
) B ) ) )
175132, 174mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  A  e.  ( X
(LineG `  G ) B ) )
1761, 2, 22, 127, 128, 129, 130, 129, 3, 175lnhl 24660 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  -> 
( A ( K `
 B ) X  \/  B  e.  ( X I A ) ) )
17799, 126, 176mpjaodan 795 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  /\  X  =/=  B )  ->  E. e  e.  P  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
17888, 177pm2.61dane 2711 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  ->  E. e  e.  P  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
1794adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  G  e. TarskiG )
1808adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  X  e.  P )
18112adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  B  e.  P )
18214adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  A  e.  P )
1836adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  D  e.  P )
184 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  D  e.  ( B I C ) )
1851, 16, 2, 179, 180, 181, 68, 182, 183, 70, 184axtgpasch 24515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )
186185adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )
187 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  e  e.  P
)
188182ad3antrrr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  A  e.  P
)
189181ad3antrrr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  B  e.  P
)
190179ad3antrrr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
191 simprl 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  e  e.  ( A I B ) )
1921, 16, 2, 190, 188, 187, 189, 191tgbtwncom 24532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  e  e.  ( B I A ) )
19338necomd 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
194193ad4antr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  B  =/=  A
)
195190adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  G  e. TarskiG )
1966ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  e.  P )
1978ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  X  e.  P )
198189adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  e.  P )
199 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )
200106necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  =/=  D )
201200ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  =/=  D )
202201neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  -.  B  =  D )
203199, 202jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  ( -.  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D )  /\  -.  B  =  D )
)
204 ioran 493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( X  e.  ( B (LineG `  G
) D )  \/  B  =  D )  <-> 
( -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D )  /\  -.  B  =  D ) )
205203, 204sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  -.  ( X  e.  ( B
(LineG `  G ) D )  \/  B  =  D ) )
2061, 3, 2, 195, 198, 196, 197, 205ncolrot2 24608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  -.  ( D  e.  ( X
(LineG `  G ) B )  \/  X  =  B ) )
207 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  e  =  B )
208187adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  e  e.  P )
2091, 2, 3, 195, 196, 197, 198, 206ncolne1 24670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  =/=  X )
210 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  e  e.  ( D I X ) )
2111, 2, 3, 195, 196, 197, 208, 209, 210btwnlng1 24664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  e  e.  ( D (LineG `  G
) X ) )
212207, 211eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  e.  ( D (LineG `  G
) X ) )
2131, 3, 2, 195, 196, 197, 212tglngne 24595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  =/=  X )
2141, 2, 3, 195, 196, 197, 213tglinerflx1 24678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  e.  ( D (LineG `  G
) X ) )
215106ad5antr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  =/=  B )
216215necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  =/=  D )
2171, 2, 3, 195, 198, 196, 216tglinerflx1 24678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )
2181, 2, 3, 195, 198, 196, 216tglinerflx2 24679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  e.  ( B (LineG `  G
) D ) )
2191, 2, 3, 195, 196, 197, 198, 196, 206, 212, 214, 217, 218tglineinteq 24690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  B  =  D )
220219eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  D  =  B )
221215neneqd 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  /\  e  =  B )  ->  -.  D  =  B )
222220, 221pm2.65da 580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  -.  e  =  B )
223222neqned 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  e  =/=  B
)
2241, 2, 22, 189, 188, 187, 190, 188, 192, 194, 223btwnhl1 24657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  e ( K `
 B ) A )
2251, 2, 22, 187, 188, 189, 190, 224hlcomd 24649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  A ( K `
 B ) e )
226179ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  G  e. TarskiG )
227183ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  D  e.  P )
228 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  e  e.  P )
229180ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  X  e.  P )
230 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  e  e.  ( D I X ) )
2311, 16, 2, 226, 227, 228, 229, 230tgbtwncom 24532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  e  e.  ( X I D ) )
232231adantrl 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  e  e.  ( X I D ) )
233225, 232jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  /\  (
e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) ) )  ->  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
234233ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B (LineG `  G ) D ) )  /\  e  e.  P )  ->  ( ( e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) ) )
235234reximdva 2862 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  -> 
( E. e  e.  P  ( e  e.  ( A I B )  /\  e  e.  ( D I X ) )  ->  E. e  e.  P  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) ) )
236186, 235mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  /\  -.  X  e.  ( B
(LineG `  G ) D ) )  ->  E. e  e.  P  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
237178, 236pm2.61dan 800 . 2  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( B I C ) )  ->  E. e  e.  P  ( A
( K `  B
) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
23876simp3d 1022 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( B I D )  \/  D  e.  ( B I C ) ) )
23952, 237, 238mpjaodan 795 1  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( A ( K `  B ) e  /\  e  e.  ( X I D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  hlGchlg 24645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkgld 24500  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-hlg 24646  df-mir 24698  df-rag 24739  df-perpg 24741
This theorem is referenced by:  inaghl  24881
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