Theorem hlpasch 24798

Description: An application of the axiom of Pasch for half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpasch.p	|- P = ( Base ` G )
hlpasch.i	|- I = (Itv ` G )
hlpasch.k	|- K = (hlG ` G )
hlpasch.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
hlpasch.1	|- ( ph -> A e. P )
hlpasch.2	|- ( ph -> B e. P )
hlpasch.3	|- ( ph -> C e. P )
hlpasch.4	|- ( ph -> X e. P )
hlpasch.5	|- ( ph -> D e. P )
hlpasch.6	|- ( ph -> A =/= B )
hlpasch.7	|- ( ph -> C ( K ` B ) D )
hlpasch.8	|- ( ph -> A e. ( X I C ) )

Assertion

Ref	Expression
hlpasch	|- ( ph -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )

Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, G   e, I   e, K   P, e   e, X   ph, e

Proof of Theorem hlpasch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpasch.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
2		hlpasch.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
3		eqid 2451	. . . 4 |- (LineG ` G ) = (LineG ` G )
4		hlpasch.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> G e. TarskiG )
6		hlpasch.5	. . . . 5 |- ( ph -> D e. P )
7	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> D e. P )
8		hlpasch.4	. . . . 5 |- ( ph -> X e. P )
9	8	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> X e. P )
10		hlpasch.3	. . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
11	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> C e. P )
12		hlpasch.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
13	12	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> B e. P )
14		hlpasch.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
15	14	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> A e. P )
16		eqid 2451	. . . . 5 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
17		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> C e. ( B I D ) )
18	1, 16, 2, 5, 13, 11, 7, 17	tgbtwncom 24532	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> C e. ( D I B ) )
19		hlpasch.8	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( X I C ) )
20	19	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> A e. ( X I C ) )
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 20	outpasch 24797	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) )
22		hlpasch.k	. . . . . . 7 |- K = (hlG ` G )
23		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e e. P )
24	13	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> B e. P )
25	15	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A e. P )
26	5	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> G e. TarskiG )
27		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A e. ( B I e ) )
28	1, 16, 2, 26, 24, 25, 23, 27	tgbtwncom 24532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A e. ( e I B ) )
29	26	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> G e. TarskiG )
30	24	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> B e. P )
31	25	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A e. P )
32	27	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A e. ( B I e ) )
33		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> e = B )
34	33	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> ( B I e ) = ( B I B ) )
35	32, 34	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A e. ( B I B ) )
36	1, 16, 2, 29, 30, 31, 35	axtgbtwnid 24514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> B = A )
37	36	eqcomd 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A = B )
38		hlpasch.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A =/= B )
39	38	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A =/= B )
40	39	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A =/= B )
41	40	neneqd 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> -. A = B )
42	37, 41	pm2.65da 580	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> -. e = B )
43	42	neqned 2631	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e =/= B )
44	1, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 25, 28, 43, 39	btwnhl2 24658	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A ( K ` B ) e )
45	7	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> D e. P )
46	9	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> X e. P )
47		simprl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e e. ( D I X ) )
48	1, 16, 2, 26, 45, 23, 46, 47	tgbtwncom 24532	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e e. ( X I D ) )
49	44, 48	jca 535	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
50	49	ex 436	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) -> ( ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
51	50	reximdva 2862	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> ( E. e e. P ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
52	21, 51	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
53	6	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> D e. P )
54	53	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D e. P )
55		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> e = D )
56	55	breq2d 4414	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> ( A ( K ` B ) e <-> A ( K ` B ) D ) )
57	55	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> ( e e. ( X I D ) <-> D e. ( X I D ) ) )
58	56, 57	anbi12d 717	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) ) )
59	14	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> A e. P )
60	59	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A e. P )
61	12	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> B e. P )
62	61	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> B e. P )
63	4	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> G e. TarskiG )
64	63	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> G e. TarskiG )
65		hlpasch.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C ( K ` B ) D )
66	1, 2, 22, 10, 6, 12, 4, 65	hlcomd 24649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D ( K ` B ) C )
67	66	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D ( K ` B ) C )
68	10	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> C e. P )
69	68	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> C e. P )
70	19	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> A e. ( X I C ) )
71	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A e. ( X I C ) )
72		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> X = B )
73	72	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> ( X I C ) = ( B I C ) )
74	71, 73	eleqtrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A e. ( B I C ) )
75	1, 2, 22, 10, 6, 12, 4	ishlg 24647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ( K ` B ) D <-> ( C =/= B /\ D =/= B /\ ( C e. ( B I D ) \/ D e. ( B I C ) ) ) ) )
76	65, 75	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C =/= B /\ D =/= B /\ ( C e. ( B I D ) \/ D e. ( B I C ) ) ) )
77	76	simp1d 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C =/= B )
78	77	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> C =/= B )
79	38	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> A =/= B )
80	79	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A =/= B )
81	1, 2, 22, 54, 69, 62, 64, 60, 74, 78, 80	hlbtwn 24656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> ( D ( K ` B ) C <-> D ( K ` B ) A ) )
82	67, 81	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D ( K ` B ) A )
83	1, 2, 22, 54, 60, 62, 64, 82	hlcomd 24649	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A ( K ` B ) D )
84	8	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> X e. P )
85	84	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> X e. P )
86	1, 16, 2, 64, 85, 54	tgbtwntriv2 24531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D e. ( X I D ) )
87	83, 86	jca 535	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) )
88	54, 58, 87	rspcedvd 3155	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
89	84	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> X e. P )
90		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> e = X )
91	90	breq2d 4414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> ( A ( K ` B ) e <-> A ( K ` B ) X ) )
92	90	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> ( e e. ( X I D ) <-> X e. ( X I D ) ) )
93	91, 92	anbi12d 717	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) X /\ X e. ( X I D ) ) ) )
94	93	ad4ant14 1235	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) /\ e = X ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) X /\ X e. ( X I D ) ) ) )
95		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> A ( K ` B ) X )
96	1, 16, 2, 63, 84, 53	tgbtwntriv1 24535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> X e. ( X I D ) )
97	96	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> X e. ( X I D ) )
98	95, 97	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> ( A ( K ` B ) X /\ X e. ( X I D ) ) )
99	89, 94, 98	rspcedvd 3155	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
100	53	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D e. P )
101		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> e = D )
102	101	breq2d 4414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> ( A ( K ` B ) e <-> A ( K ` B ) D ) )
103	101	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> ( e e. ( X I D ) <-> D e. ( X I D ) ) )
104	102, 103	anbi12d 717	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) ) )
105	79	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A =/= B )
106	1, 2, 22, 10, 6, 12, 4, 65	hlne2 24651	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D =/= B )
107	106	ad4antr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D =/= B )
108	63	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> G e. TarskiG )
109	61	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> B e. P )
110	59	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A e. P )
111	68	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> C e. P )
112	111	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> C e. P )
113	84	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> X e. P )
114		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> B e. ( X I A ) )
115	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> A e. ( X I C ) )
116	115	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A e. ( X I C ) )
117	1, 16, 2, 108, 113, 109, 110, 112, 114, 116	tgbtwnexch3 24538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A e. ( B I C ) )
118		simp-4r 777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D e. ( B I C ) )
119	1, 2, 108, 109, 110, 100, 112, 117, 118	tgbtwnconn3 24622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) )
120	105, 107, 119	3jca 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A =/= B /\ D =/= B /\ ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) ) )
121	1, 2, 22, 14, 6, 12, 4	ishlg 24647	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ( K ` B ) D <-> ( A =/= B /\ D =/= B /\ ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) ) ) )
122	121	ad4antr 738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A ( K ` B ) D <-> ( A =/= B /\ D =/= B /\ ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) ) ) )
123	120, 122	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A ( K ` B ) D )
124	1, 16, 2, 108, 113, 100	tgbtwntriv2 24531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D e. ( X I D ) )
125	123, 124	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) )
126	100, 104, 125	rspcedvd 3155	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
127	8	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X e. P )
128	12	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> B e. P )
129	14	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> A e. P )
130	4	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> G e. TarskiG )
131		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X =/= B )
132	131	neneqd 2629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> -. X = B )
133	63	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> G e. TarskiG )
134	133	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> G e. TarskiG )
135	127	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> X e. P )
136	129	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> A e. P )
137	115	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> A e. ( X I C ) )
138		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> X = C )
139	138	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> ( X I X ) = ( X I C ) )
140	137, 139	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> A e. ( X I X ) )
141	1, 16, 2, 134, 135, 136, 140	axtgbtwnid 24514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> X = A )
142	141	olcd 395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> ( B e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
143	133	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> G e. TarskiG )
144	128	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> B e. P )
145	111	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> C e. P )
146	127	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> X e. P )
147	129	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> A e. P )
148		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> X =/= C )
149	148	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> C =/= X )
150	149	neneqd 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> -. C = X )
151	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D e. P )
152	106	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D =/= B )
153		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X e. ( B (LineG ` G ) D ) )
154	1, 2, 3, 133, 151, 128, 127, 152, 153	lncom 24667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X e. ( D (LineG ` G ) B ) )
155	77	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> B =/= C )
156	155	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> B =/= C )
157	66	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D ( K ` B ) C )
158	1, 2, 22, 151, 111, 128, 133, 3, 157	hlln 24652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D e. ( C (LineG ` G ) B ) )
159	1, 2, 3, 133, 128, 111, 151, 156, 158	lncom 24667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D e. ( B (LineG ` G ) C ) )
160	159	orcd 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( D e. ( B (LineG ` G ) C ) \/ B = C ) )
161	1, 2, 3, 133, 127, 151, 128, 111, 154, 160	coltr 24692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( X e. ( B (LineG ` G ) C ) \/ B = C ) )
162	1, 3, 2, 133, 128, 111, 127, 161	colrot1 24604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( B e. ( C (LineG ` G ) X ) \/ C = X ) )
163	162	orcomd 390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( C = X \/ B e. ( C (LineG ` G ) X ) ) )
164	163	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( C = X \/ B e. ( C (LineG ` G ) X ) ) )
165	164	ord 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( -. C = X -> B e. ( C (LineG ` G ) X ) ) )
166	150, 165	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> B e. ( C (LineG ` G ) X ) )
167	1, 3, 2, 133, 127, 129, 111, 115	btwncolg3 24602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( C e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
168	167	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( C e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
169	1, 2, 3, 143, 144, 145, 146, 147, 166, 168	coltr 24692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( B e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
170	142, 169	pm2.61dane 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( B e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
171	1, 3, 2, 133, 127, 129, 128, 170	colrot2 24605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( A e. ( B (LineG ` G ) X ) \/ B = X ) )
172	1, 3, 2, 133, 128, 127, 129, 171	colcom 24603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( A e. ( X (LineG ` G ) B ) \/ X = B ) )
173	172	orcomd 390	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( X = B \/ A e. ( X (LineG ` G ) B ) ) )
174	173	ord 379	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( -. X = B -> A e. ( X (LineG ` G ) B ) ) )
175	132, 174	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> A e. ( X (LineG ` G ) B ) )
176	1, 2, 22, 127, 128, 129, 130, 129, 3, 175	lnhl 24660	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( A ( K ` B ) X \/ B e. ( X I A ) ) )
177	99, 126, 176	mpjaodan 795	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
178	88, 177	pm2.61dane 2711	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
179	4	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> G e. TarskiG )
180	8	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> X e. P )
181	12	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> B e. P )
182	14	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> A e. P )
183	6	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> D e. P )
184		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> D e. ( B I C ) )
185	1, 16, 2, 179, 180, 181, 68, 182, 183, 70, 184	axtgpasch 24515	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> E. e e. P ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) )
186	185	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> E. e e. P ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) )
187		simplr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. P )
188	182	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> A e. P )
189	181	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> B e. P )
190	179	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> G e. TarskiG )
191		simprl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. ( A I B ) )
192	1, 16, 2, 190, 188, 187, 189, 191	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. ( B I A ) )
193	38	necomd 2679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= A )
194	193	ad4antr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> B =/= A )
195	190	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> G e. TarskiG )
196	6	ad5antr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D e. P )
197	8	ad5antr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> X e. P )
198	189	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B e. P )
199		simp-4r 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) )
200	106	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B =/= D )
201	200	ad5antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B =/= D )
202	201	neneqd 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. B = D )
203	199, 202	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> ( -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) /\ -. B = D ) )
204		ioran 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( X e. ( B (LineG ` G ) D ) \/ B = D ) <-> ( -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) /\ -. B = D ) )
205	203, 204	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. ( X e. ( B (LineG ` G ) D ) \/ B = D ) )
206	1, 3, 2, 195, 198, 196, 197, 205	ncolrot2 24608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. ( D e. ( X (LineG ` G ) B ) \/ X = B ) )
207		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e = B )
208	187	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e e. P )
209	1, 2, 3, 195, 196, 197, 198, 206	ncolne1 24670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D =/= X )
210		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e e. ( D I X ) )
211	1, 2, 3, 195, 196, 197, 208, 209, 210	btwnlng1 24664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e e. ( D (LineG ` G ) X ) )
212	207, 211	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B e. ( D (LineG ` G ) X ) )
213	1, 3, 2, 195, 196, 197, 212	tglngne 24595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D =/= X )
214	1, 2, 3, 195, 196, 197, 213	tglinerflx1 24678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D e. ( D (LineG ` G ) X ) )
215	106	ad5antr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D =/= B )
216	215	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B =/= D )
217	1, 2, 3, 195, 198, 196, 216	tglinerflx1 24678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B e. ( B (LineG ` G ) D ) )
218	1, 2, 3, 195, 198, 196, 216	tglinerflx2 24679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D e. ( B (LineG ` G ) D ) )
219	1, 2, 3, 195, 196, 197, 198, 196, 206, 212, 214, 217, 218	tglineinteq 24690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B = D )
220	219	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D = B )
221	215	neneqd 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. D = B )
222	220, 221	pm2.65da 580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> -. e = B )
223	222	neqned 2631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e =/= B )
224	1, 2, 22, 189, 188, 187, 190, 188, 192, 194, 223	btwnhl1 24657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e ( K ` B ) A )
225	1, 2, 22, 187, 188, 189, 190, 224	hlcomd 24649	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> A ( K ` B ) e )
226	179	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> G e. TarskiG )
227	183	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> D e. P )
228		simplr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> e e. P )
229	180	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> X e. P )
230		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> e e. ( D I X ) )
231	1, 16, 2, 226, 227, 228, 229, 230	tgbtwncom 24532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> e e. ( X I D ) )
232	231	adantrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. ( X I D ) )
233	225, 232	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
234	233	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) -> ( ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
235	234	reximdva 2862	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> ( E. e e. P ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
236	186, 235	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
237	178, 236	pm2.61dan 800	. 2 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
238	76	simp3d 1022	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( B I D ) \/ D e. ( B I C ) ) )
239	52, 237, 238	mpjaodan 795	1 |- ( ph -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  hlGchlg 24645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkgld 24500  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-hlg 24646  df-mir 24698  df-rag 24739  df-perpg 24741

This theorem is referenced by:  inaghl  24881