Theorem hlpasch 24877

Description: An application of the axiom of Pasch for half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpasch.p	|- P = ( Base ` G )
hlpasch.i	|- I = (Itv ` G )
hlpasch.k	|- K = (hlG ` G )
hlpasch.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
hlpasch.1	|- ( ph -> A e. P )
hlpasch.2	|- ( ph -> B e. P )
hlpasch.3	|- ( ph -> C e. P )
hlpasch.4	|- ( ph -> X e. P )
hlpasch.5	|- ( ph -> D e. P )
hlpasch.6	|- ( ph -> A =/= B )
hlpasch.7	|- ( ph -> C ( K ` B ) D )
hlpasch.8	|- ( ph -> A e. ( X I C ) )

Assertion

Ref	Expression
hlpasch	|- ( ph -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )

Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, G   e, I   e, K   P, e   e, X   ph, e

Proof of Theorem hlpasch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlpasch.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
2		hlpasch.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
3		eqid 2471	. . . 4 |- (LineG ` G ) = (LineG ` G )
4		hlpasch.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> G e. TarskiG )
6		hlpasch.5	. . . . 5 |- ( ph -> D e. P )
7	6	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> D e. P )
8		hlpasch.4	. . . . 5 |- ( ph -> X e. P )
9	8	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> X e. P )
10		hlpasch.3	. . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
11	10	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> C e. P )
12		hlpasch.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
13	12	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> B e. P )
14		hlpasch.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
15	14	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> A e. P )
16		eqid 2471	. . . . 5 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
17		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> C e. ( B I D ) )
18	1, 16, 2, 5, 13, 11, 7, 17	tgbtwncom 24611	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> C e. ( D I B ) )
19		hlpasch.8	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( X I C ) )
20	19	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> A e. ( X I C ) )
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 20	outpasch 24876	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) )
22		hlpasch.k	. . . . . . 7 |- K = (hlG ` G )
23		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e e. P )
24	13	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> B e. P )
25	15	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A e. P )
26	5	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> G e. TarskiG )
27		simprr 774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A e. ( B I e ) )
28	1, 16, 2, 26, 24, 25, 23, 27	tgbtwncom 24611	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A e. ( e I B ) )
29	26	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> G e. TarskiG )
30	24	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> B e. P )
31	25	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A e. P )
32	27	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A e. ( B I e ) )
33		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> e = B )
34	33	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> ( B I e ) = ( B I B ) )
35	32, 34	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A e. ( B I B ) )
36	1, 16, 2, 29, 30, 31, 35	axtgbtwnid 24593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> B = A )
37	36	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A = B )
38		hlpasch.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A =/= B )
39	38	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A =/= B )
40	39	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> A =/= B )
41	40	neneqd 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) /\ e = B ) -> -. A = B )
42	37, 41	pm2.65da 586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> -. e = B )
43	42	neqned 2650	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e =/= B )
44	1, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 25, 28, 43, 39	btwnhl2 24737	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> A ( K ` B ) e )
45	7	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> D e. P )
46	9	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> X e. P )
47		simprl 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e e. ( D I X ) )
48	1, 16, 2, 26, 45, 23, 46, 47	tgbtwncom 24611	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> e e. ( X I D ) )
49	44, 48	jca 541	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
50	49	ex 441	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) /\ e e. P ) -> ( ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
51	50	reximdva 2858	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> ( E. e e. P ( e e. ( D I X ) /\ A e. ( B I e ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
52	21, 51	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ C e. ( B I D ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
53	6	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> D e. P )
54	53	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D e. P )
55		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> e = D )
56	55	breq2d 4407	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> ( A ( K ` B ) e <-> A ( K ` B ) D ) )
57	55	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> ( e e. ( X I D ) <-> D e. ( X I D ) ) )
58	56, 57	anbi12d 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) /\ e = D ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) ) )
59	14	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> A e. P )
60	59	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A e. P )
61	12	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> B e. P )
62	61	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> B e. P )
63	4	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> G e. TarskiG )
64	63	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> G e. TarskiG )
65		hlpasch.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C ( K ` B ) D )
66	1, 2, 22, 10, 6, 12, 4, 65	hlcomd 24728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D ( K ` B ) C )
67	66	ad3antrrr 744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D ( K ` B ) C )
68	10	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> C e. P )
69	68	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> C e. P )
70	19	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> A e. ( X I C ) )
71	70	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A e. ( X I C ) )
72		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> X = B )
73	72	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> ( X I C ) = ( B I C ) )
74	71, 73	eleqtrd 2551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A e. ( B I C ) )
75	1, 2, 22, 10, 6, 12, 4	ishlg 24726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ( K ` B ) D <-> ( C =/= B /\ D =/= B /\ ( C e. ( B I D ) \/ D e. ( B I C ) ) ) ) )
76	65, 75	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C =/= B /\ D =/= B /\ ( C e. ( B I D ) \/ D e. ( B I C ) ) ) )
77	76	simp1d 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C =/= B )
78	77	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> C =/= B )
79	38	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> A =/= B )
80	79	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A =/= B )
81	1, 2, 22, 54, 69, 62, 64, 60, 74, 78, 80	hlbtwn 24735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> ( D ( K ` B ) C <-> D ( K ` B ) A ) )
82	67, 81	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D ( K ` B ) A )
83	1, 2, 22, 54, 60, 62, 64, 82	hlcomd 24728	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> A ( K ` B ) D )
84	8	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> X e. P )
85	84	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> X e. P )
86	1, 16, 2, 64, 85, 54	tgbtwntriv2 24610	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> D e. ( X I D ) )
87	83, 86	jca 541	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) )
88	54, 58, 87	rspcedvd 3143	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X = B ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
89	84	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> X e. P )
90		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> e = X )
91	90	breq2d 4407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> ( A ( K ` B ) e <-> A ( K ` B ) X ) )
92	90	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> ( e e. ( X I D ) <-> X e. ( X I D ) ) )
93	91, 92	anbi12d 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e = X ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) X /\ X e. ( X I D ) ) ) )
94	93	ad4ant14 1259	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) /\ e = X ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) X /\ X e. ( X I D ) ) ) )
95		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> A ( K ` B ) X )
96	1, 16, 2, 63, 84, 53	tgbtwntriv1 24614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> X e. ( X I D ) )
97	96	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> X e. ( X I D ) )
98	95, 97	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> ( A ( K ` B ) X /\ X e. ( X I D ) ) )
99	89, 94, 98	rspcedvd 3143	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ A ( K ` B ) X ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
100	53	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D e. P )
101		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> e = D )
102	101	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> ( A ( K ` B ) e <-> A ( K ` B ) D ) )
103	101	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> ( e e. ( X I D ) <-> D e. ( X I D ) ) )
104	102, 103	anbi12d 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) /\ e = D ) -> ( ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) <-> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) ) )
105	79	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A =/= B )
106	1, 2, 22, 10, 6, 12, 4, 65	hlne2 24730	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D =/= B )
107	106	ad4antr 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D =/= B )
108	63	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> G e. TarskiG )
109	61	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> B e. P )
110	59	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A e. P )
111	68	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> C e. P )
112	111	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> C e. P )
113	84	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> X e. P )
114		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> B e. ( X I A ) )
115	70	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> A e. ( X I C ) )
116	115	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A e. ( X I C ) )
117	1, 16, 2, 108, 113, 109, 110, 112, 114, 116	tgbtwnexch3 24617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A e. ( B I C ) )
118		simp-4r 785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D e. ( B I C ) )
119	1, 2, 108, 109, 110, 100, 112, 117, 118	tgbtwnconn3 24701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) )
120	105, 107, 119	3jca 1210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A =/= B /\ D =/= B /\ ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) ) )
121	1, 2, 22, 14, 6, 12, 4	ishlg 24726	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ( K ` B ) D <-> ( A =/= B /\ D =/= B /\ ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) ) ) )
122	121	ad4antr 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A ( K ` B ) D <-> ( A =/= B /\ D =/= B /\ ( A e. ( B I D ) \/ D e. ( B I A ) ) ) ) )
123	120, 122	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> A ( K ` B ) D )
124	1, 16, 2, 108, 113, 100	tgbtwntriv2 24610	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> D e. ( X I D ) )
125	123, 124	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> ( A ( K ` B ) D /\ D e. ( X I D ) ) )
126	100, 104, 125	rspcedvd 3143	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ B e. ( X I A ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
127	8	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X e. P )
128	12	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> B e. P )
129	14	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> A e. P )
130	4	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> G e. TarskiG )
131		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X =/= B )
132	131	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> -. X = B )
133	63	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> G e. TarskiG )
134	133	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> G e. TarskiG )
135	127	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> X e. P )
136	129	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> A e. P )
137	115	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> A e. ( X I C ) )
138		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> X = C )
139	138	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> ( X I X ) = ( X I C ) )
140	137, 139	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> A e. ( X I X ) )
141	1, 16, 2, 134, 135, 136, 140	axtgbtwnid 24593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> X = A )
142	141	olcd 400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X = C ) -> ( B e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
143	133	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> G e. TarskiG )
144	128	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> B e. P )
145	111	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> C e. P )
146	127	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> X e. P )
147	129	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> A e. P )
148		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> X =/= C )
149	148	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> C =/= X )
150	149	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> -. C = X )
151	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D e. P )
152	106	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D =/= B )
153		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X e. ( B (LineG ` G ) D ) )
154	1, 2, 3, 133, 151, 128, 127, 152, 153	lncom 24746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> X e. ( D (LineG ` G ) B ) )
155	77	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> B =/= C )
156	155	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> B =/= C )
157	66	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D ( K ` B ) C )
158	1, 2, 22, 151, 111, 128, 133, 3, 157	hlln 24731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D e. ( C (LineG ` G ) B ) )
159	1, 2, 3, 133, 128, 111, 151, 156, 158	lncom 24746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> D e. ( B (LineG ` G ) C ) )
160	159	orcd 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( D e. ( B (LineG ` G ) C ) \/ B = C ) )
161	1, 2, 3, 133, 127, 151, 128, 111, 154, 160	coltr 24771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( X e. ( B (LineG ` G ) C ) \/ B = C ) )
162	1, 3, 2, 133, 128, 111, 127, 161	colrot1 24683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( B e. ( C (LineG ` G ) X ) \/ C = X ) )
163	162	orcomd 395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( C = X \/ B e. ( C (LineG ` G ) X ) ) )
164	163	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( C = X \/ B e. ( C (LineG ` G ) X ) ) )
165	164	ord 384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( -. C = X -> B e. ( C (LineG ` G ) X ) ) )
166	150, 165	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> B e. ( C (LineG ` G ) X ) )
167	1, 3, 2, 133, 127, 129, 111, 115	btwncolg3 24681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( C e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
168	167	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( C e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
169	1, 2, 3, 143, 144, 145, 146, 147, 166, 168	coltr 24771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) /\ X =/= C ) -> ( B e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
170	142, 169	pm2.61dane 2730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( B e. ( X (LineG ` G ) A ) \/ X = A ) )
171	1, 3, 2, 133, 127, 129, 128, 170	colrot2 24684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( A e. ( B (LineG ` G ) X ) \/ B = X ) )
172	1, 3, 2, 133, 128, 127, 129, 171	colcom 24682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( A e. ( X (LineG ` G ) B ) \/ X = B ) )
173	172	orcomd 395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( X = B \/ A e. ( X (LineG ` G ) B ) ) )
174	173	ord 384	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( -. X = B -> A e. ( X (LineG ` G ) B ) ) )
175	132, 174	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> A e. ( X (LineG ` G ) B ) )
176	1, 2, 22, 127, 128, 129, 130, 129, 3, 175	lnhl 24739	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> ( A ( K ` B ) X \/ B e. ( X I A ) ) )
177	99, 126, 176	mpjaodan 803	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ X =/= B ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
178	88, 177	pm2.61dane 2730	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
179	4	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> G e. TarskiG )
180	8	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> X e. P )
181	12	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> B e. P )
182	14	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> A e. P )
183	6	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> D e. P )
184		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> D e. ( B I C ) )
185	1, 16, 2, 179, 180, 181, 68, 182, 183, 70, 184	axtgpasch 24594	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> E. e e. P ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) )
186	185	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> E. e e. P ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) )
187		simplr 770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. P )
188	182	ad3antrrr 744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> A e. P )
189	181	ad3antrrr 744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> B e. P )
190	179	ad3antrrr 744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> G e. TarskiG )
191		simprl 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. ( A I B ) )
192	1, 16, 2, 190, 188, 187, 189, 191	tgbtwncom 24611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. ( B I A ) )
193	38	necomd 2698	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= A )
194	193	ad4antr 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> B =/= A )
195	190	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> G e. TarskiG )
196	6	ad5antr 748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D e. P )
197	8	ad5antr 748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> X e. P )
198	189	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B e. P )
199		simp-4r 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) )
200	106	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B =/= D )
201	200	ad5antr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B =/= D )
202	201	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. B = D )
203	199, 202	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> ( -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) /\ -. B = D ) )
204		ioran 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( X e. ( B (LineG ` G ) D ) \/ B = D ) <-> ( -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) /\ -. B = D ) )
205	203, 204	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. ( X e. ( B (LineG ` G ) D ) \/ B = D ) )
206	1, 3, 2, 195, 198, 196, 197, 205	ncolrot2 24687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. ( D e. ( X (LineG ` G ) B ) \/ X = B ) )
207		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e = B )
208	187	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e e. P )
209	1, 2, 3, 195, 196, 197, 198, 206	ncolne1 24749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D =/= X )
210		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e e. ( D I X ) )
211	1, 2, 3, 195, 196, 197, 208, 209, 210	btwnlng1 24743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> e e. ( D (LineG ` G ) X ) )
212	207, 211	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B e. ( D (LineG ` G ) X ) )
213	1, 3, 2, 195, 196, 197, 212	tglngne 24674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D =/= X )
214	1, 2, 3, 195, 196, 197, 213	tglinerflx1 24757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D e. ( D (LineG ` G ) X ) )
215	106	ad5antr 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D =/= B )
216	215	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B =/= D )
217	1, 2, 3, 195, 198, 196, 216	tglinerflx1 24757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B e. ( B (LineG ` G ) D ) )
218	1, 2, 3, 195, 198, 196, 216	tglinerflx2 24758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D e. ( B (LineG ` G ) D ) )
219	1, 2, 3, 195, 196, 197, 198, 196, 206, 212, 214, 217, 218	tglineinteq 24769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> B = D )
220	219	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> D = B )
221	215	neneqd 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) /\ e = B ) -> -. D = B )
222	220, 221	pm2.65da 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> -. e = B )
223	222	neqned 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e =/= B )
224	1, 2, 22, 189, 188, 187, 190, 188, 192, 194, 223	btwnhl1 24736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e ( K ` B ) A )
225	1, 2, 22, 187, 188, 189, 190, 224	hlcomd 24728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> A ( K ` B ) e )
226	179	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> G e. TarskiG )
227	183	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> D e. P )
228		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> e e. P )
229	180	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> X e. P )
230		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> e e. ( D I X ) )
231	1, 16, 2, 226, 227, 228, 229, 230	tgbtwncom 24611	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ e e. ( D I X ) ) -> e e. ( X I D ) )
232	231	adantrl 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> e e. ( X I D ) )
233	225, 232	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) /\ ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
234	233	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) /\ e e. P ) -> ( ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) -> ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
235	234	reximdva 2858	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> ( E. e e. P ( e e. ( A I B ) /\ e e. ( D I X ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) ) )
236	186, 235	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) /\ -. X e. ( B (LineG ` G ) D ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
237	178, 236	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ( ph /\ D e. ( B I C ) ) -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )
238	76	simp3d 1044	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( B I D ) \/ D e. ( B I C ) ) )
239	52, 237, 238	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> E. e e. P ( A ( K ` B ) e /\ e e. ( X I D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   distcds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  hlGchlg 24724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkgld 24579  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707  df-hlg 24725  df-mir 24777  df-rag 24818  df-perpg 24820

This theorem is referenced by:  inaghl  24960