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Theorem hlmod1i 30338
Description: A version of the modular law pmod1i 30330 that holds in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 13-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmod.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlmod.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlmod.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlmod.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
hlmod.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
hlmod.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
hlmod1i  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) ) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )

Proof of Theorem hlmod1i
StepHypRef Expression
1 hlmod.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlmod.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hllat 29846 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
433ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  X  e.  B )
6 simp22 991 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
7 hlmod.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
81, 7latjcl 14434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
94, 5, 6, 8syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
10 simp23 992 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  Z  e.  B )
11 hlmod.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
121, 11latmcl 14435 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  e.  B )
134, 9, 10, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  e.  B )
141, 11latmcl 14435 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  ./\  Z
)  e.  B )
154, 6, 10, 14syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( Y  ./\ 
Z )  e.  B
)
161, 7latjcl 14434 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  e.  B )
174, 5, 15, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) )  e.  B
)
18 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
19 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
20 hlmod.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( pmap `  K
)
211, 19, 20pmapssat 30241 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
2218, 5, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K ) )
231, 19, 20pmapssat 30241 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
2418, 6, 23syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
25 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
261, 25, 20pmapsub 30250 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  Z
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
274, 10, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  Z )  e.  (
PSubSp `  K ) )
28 simp3l 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  X  .<_  Z )
291, 2, 20pmaple 30243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .<_  Z  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
) )
3018, 5, 10, 29syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .<_  Z  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
) )
3128, 30mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
)
32 hlmod.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
3319, 25, 32pmod1i 30330 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  Z )  e.  (
PSubSp `  K ) ) )  ->  ( ( F `  X )  C_  ( F `  Z
)  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( ( F `  Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) ) )
34333impia 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  Z )  e.  (
PSubSp `  K ) )  /\  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
)  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( ( F `  Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) )
3518, 22, 24, 27, 31, 34syl131anc 1197 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( ( F `  Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) )
361, 11, 19, 20pmapmeet 30255 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z ) ) )
3718, 9, 10, 36syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z ) ) )
38 simp3r 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) )
3938ineq1d 3501 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) ) )
4037, 39eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) ) )
411, 11, 19, 20pmapmeet 30255 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  ( Y  ./\  Z ) )  =  ( ( F `
 Y )  i^i  ( F `  Z
) ) )
4218, 6, 10, 41syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( Y  ./\  Z
) )  =  ( ( F `  Y
)  i^i  ( F `  Z ) ) )
4342oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  ( Y  ./\  Z ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
.+  ( ( F `
 Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) )
4435, 40, 433eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
451, 7, 20, 32pmapjoin 30334 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  Z )  e.  B )  -> 
( ( F `  X )  .+  ( F `  ( Y  ./\ 
Z ) ) ) 
C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y 
./\  Z ) ) ) )
464, 5, 15, 45syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  ( Y  ./\  Z ) ) )  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
4744, 46eqsstrd 3342 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
481, 2, 20pmaple 30243 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  e.  B
)  ->  ( (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .<_  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  <-> 
( F `  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) ) )
4918, 13, 17, 48syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .<_  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  <-> 
( F `  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) ) )
5047, 49mpbird 224 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  .<_  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) ) )
511, 2, 7, 11mod1ile 14489 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Z  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  .<_  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) ) )
52513impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) )  .<_  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) )
534, 5, 6, 10, 28, 52syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) )  .<_  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) )
541, 2, 4, 13, 17, 50, 53latasymd 14441 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  =  ( X 
.\/  ( Y  ./\  Z ) ) )
55543expia 1155 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) ) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   PSubSpcpsubsp 29978   pmapcpmap 29979   + Pcpadd 30277
This theorem is referenced by:  atmod1i1  30339  atmod1i2  30341  llnmod1i2  30342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278
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