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Theorem hlmod1i 33503
Description: A version of the modular law pmod1i 33495 that holds in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 13-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmod.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlmod.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlmod.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlmod.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
hlmod.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
hlmod.p  |-  .+  =  ( +P `  K
)
Assertion
Ref Expression
hlmod1i  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) ) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )

Proof of Theorem hlmod1i
StepHypRef Expression
1 hlmod.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlmod.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hllat 33011 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
433ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp21 1021 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  X  e.  B )
6 simp22 1022 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
7 hlmod.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
81, 7latjcl 15224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
94, 5, 6, 8syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B
)
10 simp23 1023 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  Z  e.  B )
11 hlmod.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
121, 11latmcl 15225 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  e.  B )
134, 9, 10, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  e.  B )
141, 11latmcl 15225 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  ./\  Z
)  e.  B )
154, 6, 10, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( Y  ./\ 
Z )  e.  B
)
161, 7latjcl 15224 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  e.  B )
174, 5, 15, 16syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) )  e.  B
)
18 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
19 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
20 hlmod.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( pmap `  K
)
211, 19, 20pmapssat 33406 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
2218, 5, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K ) )
231, 19, 20pmapssat 33406 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
2418, 6, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
25 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
261, 25, 20pmapsub 33415 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  Z
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
274, 10, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  Z )  e.  (
PSubSp `  K ) )
28 simp3l 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  X  .<_  Z )
291, 2, 20pmaple 33408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .<_  Z  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
) )
3018, 5, 10, 29syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .<_  Z  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
) )
3128, 30mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
)
32 hlmod.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +P `  K
)
3319, 25, 32pmod1i 33495 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  Z )  e.  (
PSubSp `  K ) ) )  ->  ( ( F `  X )  C_  ( F `  Z
)  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( ( F `  Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) ) )
34333impia 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  Z )  e.  (
PSubSp `  K ) )  /\  ( F `  X )  C_  ( F `  Z )
)  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( ( F `  Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) )
3518, 22, 24, 27, 31, 34syl131anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( ( F `  Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) )
361, 11, 19, 20pmapmeet 33420 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z ) ) )
3718, 9, 10, 36syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z ) ) )
38 simp3r 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) )
3938ineq1d 3554 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) ) )
4037, 39eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) ) )
411, 11, 19, 20pmapmeet 33420 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  ( Y  ./\  Z ) )  =  ( ( F `
 Y )  i^i  ( F `  Z
) ) )
4218, 6, 10, 41syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( Y  ./\  Z
) )  =  ( ( F `  Y
)  i^i  ( F `  Z ) ) )
4342oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  ( Y  ./\  Z ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
.+  ( ( F `
 Y )  i^i  ( F `  Z
) ) ) )
4435, 40, 433eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
451, 7, 20, 32pmapjoin 33499 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  Z )  e.  B )  -> 
( ( F `  X )  .+  ( F `  ( Y  ./\ 
Z ) ) ) 
C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y 
./\  Z ) ) ) )
464, 5, 15, 45syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  ( Y  ./\  Z ) ) )  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
4744, 46eqsstrd 3393 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
481, 2, 20pmaple 33408 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  e.  B
)  ->  ( (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .<_  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  <-> 
( F `  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) ) )
4918, 13, 17, 48syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .<_  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  <-> 
( F `  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) ) )
5047, 49mpbird 232 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  .<_  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) ) )
511, 2, 7, 11mod1ile 15278 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Z  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) )  .<_  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) ) )
52513impia 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  X  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) )  .<_  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) )
534, 5, 6, 10, 28, 52syl131anc 1231 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z
) )  .<_  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) )
541, 2, 4, 13, 17, 50, 53latasymd 15230 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .<_  Z  /\  ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) ) ) )  ->  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  =  ( X 
.\/  ( Y  ./\  Z ) ) )
55543expia 1189 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) ) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  ./\  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3330    C_ wss 3331   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Basecbs 14177   lecple 14248   joincjn 15117   meetcmee 15118   Latclat 15218   Atomscatm 32911   HLchlt 32998   PSubSpcpsubsp 33143   pmapcpmap 33144   +Pcpadd 33442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-poset 15119  df-plt 15131  df-lub 15147  df-glb 15148  df-join 15149  df-meet 15150  df-p0 15212  df-lat 15219  df-clat 15281  df-oposet 32824  df-ol 32826  df-oml 32827  df-covers 32914  df-ats 32915  df-atl 32946  df-cvlat 32970  df-hlat 32999  df-psubsp 33150  df-pmap 33151  df-padd 33443
This theorem is referenced by:  atmod1i1  33504  atmod1i2  33506  llnmod1i2  33507
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