MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlipgt0 Structured version   Unicode version

Theorem hlipgt0 26028
Description: The inner product of a Hilbert space vector by itself is positive. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlipgt0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
hlipgt0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
hlipgt0.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
hlipgt0  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  Z )  -> 
0  <  ( A P A ) )

Proof of Theorem hlipgt0
StepHypRef Expression
1 hlnv 26005 . 2  |-  ( U  e.  CHilOLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 hlipgt0.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
42, 3nvcl 25760 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
543adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
6 hlipgt0.5 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
72, 6, 3nvz 25770 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
87biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  A )  =  0  ->  A  =  Z ) )
98necon3d 2678 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  Z  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  =/=  0
) )
1093impia 1191 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  =/=  0
)
115, 10sqgt0d 12320 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  0  <  ( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 ) )
12 hlipgt0.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
132, 3, 12ipidsq 25821 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 ) )
14133adant3 1014 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 ) )
1511, 14breqtrrd 4465 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/= 
Z )  ->  0  <  ( A P A ) )
161, 15syl3an1 1259 1  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  Z )  -> 
0  <  ( A P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617   2c2 10581   ^cexp 12148   NrmCVeccnv 25675   BaseSetcba 25677   0veccn0v 25679   normCVcnmcv 25681   .iOLDcdip 25808   CHilOLDchlo 25999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-nmcv 25691  df-dip 25809  df-cbn 25977  df-hlo 26000
This theorem is referenced by:  axhis4-zf  26112
  Copyright terms: Public domain W3C validator